2021_2022学年新教材高中数学章末综合测评：空间向量与立体几何（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021_2022学年新教材高中数学章末综合测评：空间向量与立体几何（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 641.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-10 21:28:39 | ||
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文档简介
空间向量与立体几何
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0，34，10) B．(－3，19，7) C．44 D．23
2．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C． D．2
3．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
①＋2＋2＋；②2＋2＋3＋3＋；③＋＋；④－＋－．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
4．在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．
6．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则＋＋等于( )
A． B． C． D．
7．直三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，BC＝BB1，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
8．在三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
10．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．④
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF翻折，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是( )
A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．二面角P EF D的余弦值为
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
12．直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量＝(2，4，5)，＝(3，x，y)，若∥，则xy＝________．
15．如图，在四面体A BCD中，△ABC为正三角形，四面体的高AH＝3，若二面角A BC D的大小为，则△ABC的面积为________．
16．在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a＝(x，－1，3)，b＝(1，2，－1)，c＝(1，0，1)，c∥(2a＋b)．
(1)求实数x的值；
(2)若(a－b)⊥(λa＋b)，求实数λ的值．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥M ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝1，MD＝1，MD⊥平面ABCD，H是MB的中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角A MD C的大小是；
②∠BAD＝．
若________，求CH与平面MCD所成角的正弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，AA1＝AB＝AC＝2．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．
22．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，动点P在线段EF(包含端点E，F)上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．
(1)若P为EF的中点，求点N到平面PDM的距离；
(2)设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cos θ的最大值并求出此时点P的位置．
参考答案：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0，34，10) B．(－3，19，7) C．44 D．23
C [a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44．]
2．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C． D．2
D [∵a⊥(a－λb)，
∴a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝0，∴|a|2＝λa·b，
∴14＝λ(2＋2＋3)＝7λ，
解得λ＝2．故选D．]
3．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
①＋2＋2＋；②2＋2＋3＋3＋；③＋＋；④－＋－．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
C [①中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；②中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；③中，原式＝，不符合题意；④中，原式＝(－)＋(－)＝0．故选C．]
4．在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
A [以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B，C1(0，0，)，＝，
平面ACC1A1的法向量n＝(0，1，0)，设BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为θ，
则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°，∴BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为30°，故选A．
]
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．
D [由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴]
6．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则＋＋等于( )
A． B． C． D．
C [∵M，G分别是BC，CD的中点，∴＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝．]
7．直三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，BC＝BB1，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
A [因为直三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，
故以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝1，则BB1＝，B(1，0，0)，B1(1，0，)，C1(0，1，)，＝(1，0，)，＝(－1，1，)，cos〈，〉＝＝＝．
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．]
8．在三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是( )
A． B． C． D．
B [∵在三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0，4，0)，P(0，4，4)，A(0，0，0)，B(4，0，0)，＝(0，4，0)，＝(4，0，0)，＝(0，4，4)，
设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝(0，－，1)，
∴点C到平面PAB的距离d＝＝＝．故选B．]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
ABC [A．|a|－|b|＝|a＋b| a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；B．b需为非零向量，故不正确；C．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D．由基底的定义知正确．]
10．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．④
ABC [·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则C正确．
由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，
∴与不平行，故D错误．]
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF翻折，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是( )
A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．二面角P EF D的余弦值为
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
ABC [如图，取EF的中点H，连接PH，DH，
由题意知△PEF和△DEF为等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确．根据折起前后，可知PE，PF，PD两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确．根据A选项可知∠PHD为二面角P EF D的平面角．设正方形的边长为2，则PE＝PF＝1，PH＝，DH＝＝＝，PD＝＝2，所以PH2＋PD2＝DH2，所以PH⊥PD，所以cos∠PHD＝＝，故C正确．过点P作PG⊥DH于点G，则点G为点P在平面DEF上的投影，PG＝，DG＝，HG＝，连接FG，则FG＝，因为FG≠DG，所以点G不是△DEF的外心，故D错误．]
12．直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为
BCD [若a⊥n，则直线a∥平面α或在平面α内，故选项A不正确；
若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线a⊥平面α，故选项B正确；
直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为，故选项C正确；
两个平面夹角与他们法向量所成的不大于90°的角相等，故选项D正确．故选BCD．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量＝(2，4，5)，＝(3，x，y)，若∥，则xy＝________．
45 [∵∥，∴存在实数k使得＝k．
∴则xy＝＝＝45．]
14．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则与的夹角为________．
60° [由题意得＝(0，1，1)，＝(－1，1，0)，cos〈，〉＝＝＝，所以与的夹角为60°．]
15．如图，在四面体A BCD中，△ABC为正三角形，四面体的高AH＝3，若二面角A BC D的大小为，则△ABC的面积为________．
4 [由H向BC作垂线，垂足为E，连接AE，由三垂线定理的逆定理知AE⊥BC，
∴∠AEH为二面角A BC D的平面角，即∠AEH＝．
∵AH＝3，∴AE＝2．
设正△ABC的边长为a，则a＝2，∴a＝4．
∴△ABC的面积S＝×4×2＝4．]
16．在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
[取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，
如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0，0，1)，
C，
＝，
＝．
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令x＝2，z＝3，y＝0，
∴n＝(2，0，3)，
又为平面ABC的法向量，＝(0，0，1)，
∴cos〈n·〉＝＝．
∴平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为．
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量，
又＝，
∴cos〈，〉＝－，
设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
则sin α＝|cos〈，〉|＝．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a＝(x，－1，3)，b＝(1，2，－1)，c＝(1，0，1)，c∥(2a＋b)．
(1)求实数x的值；
(2)若(a－b)⊥(λa＋b)，求实数λ的值．
[解] (1)2a＋b＝2(x，－1，3)＋(1，2，－1)＝(2x＋1，0，5)．
∵c∥(2a＋b)，
∴设c＝λ(2a＋b)(λ≠0)，
∴(1，0，1)＝(λ(2x＋1)，0，5λ)，
∴即
∴x的值为2．
(2)a－b＝(2，－1，3)－(1，2，－1)＝(1，－3，4)，
λa＋b＝λ(2，－1，3)＋(1，2，－1)＝(2λ＋1，－λ＋2，3λ－1)．
∵(a－b)⊥(λa＋b)，
∴2λ＋1－3(－λ＋2)＋4(3λ－1)＝0，
∴λ＝．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
[解] (1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD
．
因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1．
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D．
(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2)．
所以cos〈，〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ∈，故θ＝．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥M ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝1，MD＝1，MD⊥平面ABCD，H是MB的中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角A MD C的大小是；
②∠BAD＝．
若________，求CH与平面MCD所成角的正弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 若选①：
因为MD⊥平面ABCD，所以AD⊥MD，CD⊥MD，
所以∠ADC就是二面角A MD C的平面角，所以∠ADC＝．过D作x轴⊥DC，以D为坐标原点，以DC，DM所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则C(0，1，0)，H．
所以＝．
取平面MCD的一个法向量n＝(1，0，0)．
设CH与平面MCD所成角为θ，则sin θ＝＝＝．
所以CH与平面MCD所成角的正弦值是．
若选②：
因为MD⊥平面ABCD，∠BAD＝，所以DA，DC，DM两两垂直．
以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，1，0)，H．
所以＝．
取平面MCD的一个法向量n＝(1，0，0)．设CH与平面MCD所成角为θ，
则sin θ＝＝＝．所以CH与平面MCD所成角的正弦值是．
20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，AA1＝AB＝AC＝2．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
[解] (1)证明：在直三棱柱ABC A1B1C1中，有AA1⊥A1B1，
又因为AE⊥A1B1，所以A1B1⊥平面AA1C1C，
因为A1C1 平面AA1C1C，所以A1B1⊥A1C1．
所以AB⊥AC，AB⊥AA1，AC⊥AA1，
如图，分别以AC，AA1，AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则C(2，0，0)，B(0，0，2)，A(0，0，0)，A1(0，2，0)，F(1，0，1)，E(2，1，0)．
设D(0，2，t)(0≤t≤2)，则＝(－1，2，t－1)，＝(2，1，0)，·＝(－1，2，t－1)·(2，1，0)＝0，
所以DF⊥AE．
(2)当D为A1B1的中点时，D(0，2，1)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，2，0)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令y＝1，得n＝(2，1，3)，
容易知平面ABC的法向量为n0＝(0，1，0)，
所以cos〈n，n0〉＝＝＝，
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．
[解] (1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，平面CMD∩平面ABCD＝CD．
因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．
而DM 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
(2)以D为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
当三棱锥M ABC体积最大时，M为的中点．
由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，
M(0，1，1)，＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，
＝(2，0，0)．
设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，
则即
取x＝1，得n＝(1，0，2)是平面MAB的一个法向量．
易知是平面MCD的法向量，因此cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝，
所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是．
22．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，动点P在线段EF(包含端点E，F)上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．
(1)若P为EF的中点，求点N到平面PDM的距离；
(2)设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cos θ的最大值并求出此时点P的位置．
[解] 以A点为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
(1)由图可得D(0，2，0)，N(2，1，0)，M(1，0，0)，P(0，1，1)，
则＝(1，－1，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，－1，0)．
设平面PDM的一个法向量为n1＝(1，y1，z1)，
由可得n＝．
设点N到平面PDM的距离为d，则d＝＝．
(2)因为动点P在线段EF(包含端点E，F)上，
可设P(0，t，1)(0≤t≤2)，
则＝(1，－t，－1)，＝(－1，2，0)．
设平面PDM的一个法向量为n2＝(1，y2，z2)，
由可得n＝．
∵平面ABCD的一个法向量n0＝(0，0，1)，
∴cos θ＝＝
＝(0≤t≤2)．
∴当t＝0时，cos θ取得最大值，此时P点与F点重合．
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(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0，34，10) B．(－3，19，7) C．44 D．23
2．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C． D．2
3．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
①＋2＋2＋；②2＋2＋3＋3＋；③＋＋；④－＋－．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
4．在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．
6．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则＋＋等于( )
A． B． C． D．
7．直三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，BC＝BB1，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
8．在三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
10．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．④
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF翻折，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是( )
A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．二面角P EF D的余弦值为
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
12．直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量＝(2，4，5)，＝(3，x，y)，若∥，则xy＝________．
15．如图，在四面体A BCD中，△ABC为正三角形，四面体的高AH＝3，若二面角A BC D的大小为，则△ABC的面积为________．
16．在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a＝(x，－1，3)，b＝(1，2，－1)，c＝(1，0，1)，c∥(2a＋b)．
(1)求实数x的值；
(2)若(a－b)⊥(λa＋b)，求实数λ的值．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥M ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝1，MD＝1，MD⊥平面ABCD，H是MB的中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角A MD C的大小是；
②∠BAD＝．
若________，求CH与平面MCD所成角的正弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，AA1＝AB＝AC＝2．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．
22．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，动点P在线段EF(包含端点E，F)上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．
(1)若P为EF的中点，求点N到平面PDM的距离；
(2)设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cos θ的最大值并求出此时点P的位置．
参考答案：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝( )
A．(0，34，10) B．(－3，19，7) C．44 D．23
C [a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44．]
2．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C． D．2
D [∵a⊥(a－λb)，
∴a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝0，∴|a|2＝λa·b，
∴14＝λ(2＋2＋3)＝7λ，
解得λ＝2．故选D．]
3．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
①＋2＋2＋；②2＋2＋3＋3＋；③＋＋；④－＋－．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
C [①中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；②中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；③中，原式＝，不符合题意；④中，原式＝(－)＋(－)＝0．故选C．]
4．在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
A [以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B，C1(0，0，)，＝，
平面ACC1A1的法向量n＝(0，1，0)，设BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为θ，
则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°，∴BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为30°，故选A．
]
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A． B．
C． D．
D [由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴]
6．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则＋＋等于( )
A． B． C． D．
C [∵M，G分别是BC，CD的中点，∴＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝．]
7．直三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，BC＝BB1，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
A [因为直三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB⊥AC，
故以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝1，则BB1＝，B(1，0，0)，B1(1，0，)，C1(0，1，)，＝(1，0，)，＝(－1，1，)，cos〈，〉＝＝＝．
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．]
8．在三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是( )
A． B． C． D．
B [∵在三棱锥P ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0，4，0)，P(0，4，4)，A(0，0，0)，B(4，0，0)，＝(0，4，0)，＝(4，0，0)，＝(0，4，4)，
设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝(0，－，1)，
∴点C到平面PAB的距离d＝＝＝．故选B．]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．在以下命题中，不正确的命题有( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
ABC [A．|a|－|b|＝|a＋b| a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；B．b需为非零向量，故不正确；C．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D．由基底的定义知正确．]
10．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：
①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是( )
A．① B．② C．③ D．④
ABC [·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则C正确．
由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，
∴与不平行，故D错误．]
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF翻折，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是( )
A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．二面角P EF D的余弦值为
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
ABC [如图，取EF的中点H，连接PH，DH，
由题意知△PEF和△DEF为等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确．根据折起前后，可知PE，PF，PD两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确．根据A选项可知∠PHD为二面角P EF D的平面角．设正方形的边长为2，则PE＝PF＝1，PH＝，DH＝＝＝，PD＝＝2，所以PH2＋PD2＝DH2，所以PH⊥PD，所以cos∠PHD＝＝，故C正确．过点P作PG⊥DH于点G，则点G为点P在平面DEF上的投影，PG＝，DG＝，HG＝，连接FG，则FG＝，因为FG≠DG，所以点G不是△DEF的外心，故D错误．]
12．直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是( )
A．若a⊥n，则直线a∥平面α
B．若a∥n，则直线a⊥平面α
C．若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若cos〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为
BCD [若a⊥n，则直线a∥平面α或在平面α内，故选项A不正确；
若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线a⊥平面α，故选项B正确；
直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为，故选项C正确；
两个平面夹角与他们法向量所成的不大于90°的角相等，故选项D正确．故选BCD．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量＝(2，4，5)，＝(3，x，y)，若∥，则xy＝________．
45 [∵∥，∴存在实数k使得＝k．
∴则xy＝＝＝45．]
14．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则与的夹角为________．
60° [由题意得＝(0，1，1)，＝(－1，1，0)，cos〈，〉＝＝＝，所以与的夹角为60°．]
15．如图，在四面体A BCD中，△ABC为正三角形，四面体的高AH＝3，若二面角A BC D的大小为，则△ABC的面积为________．
4 [由H向BC作垂线，垂足为E，连接AE，由三垂线定理的逆定理知AE⊥BC，
∴∠AEH为二面角A BC D的平面角，即∠AEH＝．
∵AH＝3，∴AE＝2．
设正△ABC的边长为a，则a＝2，∴a＝4．
∴△ABC的面积S＝×4×2＝4．]
16．在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
[取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，
如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0，0，1)，
C，
＝，
＝．
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令x＝2，z＝3，y＝0，
∴n＝(2，0，3)，
又为平面ABC的法向量，＝(0，0，1)，
∴cos〈n·〉＝＝．
∴平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为．
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量，
又＝，
∴cos〈，〉＝－，
设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
则sin α＝|cos〈，〉|＝．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a＝(x，－1，3)，b＝(1，2，－1)，c＝(1，0，1)，c∥(2a＋b)．
(1)求实数x的值；
(2)若(a－b)⊥(λa＋b)，求实数λ的值．
[解] (1)2a＋b＝2(x，－1，3)＋(1，2，－1)＝(2x＋1，0，5)．
∵c∥(2a＋b)，
∴设c＝λ(2a＋b)(λ≠0)，
∴(1，0，1)＝(λ(2x＋1)，0，5λ)，
∴即
∴x的值为2．
(2)a－b＝(2，－1，3)－(1，2，－1)＝(1，－3，4)，
λa＋b＝λ(2，－1，3)＋(1，2，－1)＝(2λ＋1，－λ＋2，3λ－1)．
∵(a－b)⊥(λa＋b)，
∴2λ＋1－3(－λ＋2)＋4(3λ－1)＝0，
∴λ＝．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．
[解] (1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD
．
因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1．
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D．
(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2)．
所以cos〈，〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ∈，故θ＝．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥M ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝1，MD＝1，MD⊥平面ABCD，H是MB的中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角A MD C的大小是；
②∠BAD＝．
若________，求CH与平面MCD所成角的正弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 若选①：
因为MD⊥平面ABCD，所以AD⊥MD，CD⊥MD，
所以∠ADC就是二面角A MD C的平面角，所以∠ADC＝．过D作x轴⊥DC，以D为坐标原点，以DC，DM所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则C(0，1，0)，H．
所以＝．
取平面MCD的一个法向量n＝(1，0，0)．
设CH与平面MCD所成角为θ，则sin θ＝＝＝．
所以CH与平面MCD所成角的正弦值是．
若选②：
因为MD⊥平面ABCD，∠BAD＝，所以DA，DC，DM两两垂直．
以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，1，0)，H．
所以＝．
取平面MCD的一个法向量n＝(1，0，0)．设CH与平面MCD所成角为θ，
则sin θ＝＝＝．所以CH与平面MCD所成角的正弦值是．
20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，AA1＝AB＝AC＝2．
(1)证明：DF⊥AE；
(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
[解] (1)证明：在直三棱柱ABC A1B1C1中，有AA1⊥A1B1，
又因为AE⊥A1B1，所以A1B1⊥平面AA1C1C，
因为A1C1 平面AA1C1C，所以A1B1⊥A1C1．
所以AB⊥AC，AB⊥AA1，AC⊥AA1，
如图，分别以AC，AA1，AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则C(2，0，0)，B(0，0，2)，A(0，0，0)，A1(0，2，0)，F(1，0，1)，E(2，1，0)．
设D(0，2，t)(0≤t≤2)，则＝(－1，2，t－1)，＝(2，1，0)，·＝(－1，2，t－1)·(2，1，0)＝0，
所以DF⊥AE．
(2)当D为A1B1的中点时，D(0，2，1)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，2，0)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令y＝1，得n＝(2，1，3)，
容易知平面ABC的法向量为n0＝(0，1，0)，
所以cos〈n，n0〉＝＝＝，
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
21．(本小题满分12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．
[解] (1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，平面CMD∩平面ABCD＝CD．
因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．
而DM 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
(2)以D为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
当三棱锥M ABC体积最大时，M为的中点．
由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，
M(0，1，1)，＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，
＝(2，0，0)．
设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，
则即
取x＝1，得n＝(1，0，2)是平面MAB的一个法向量．
易知是平面MCD的法向量，因此cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝，
所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是．
22．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，动点P在线段EF(包含端点E，F)上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．
(1)若P为EF的中点，求点N到平面PDM的距离；
(2)设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cos θ的最大值并求出此时点P的位置．
[解] 以A点为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
(1)由图可得D(0，2，0)，N(2，1，0)，M(1，0，0)，P(0，1，1)，
则＝(1，－1，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，－1，0)．
设平面PDM的一个法向量为n1＝(1，y1，z1)，
由可得n＝．
设点N到平面PDM的距离为d，则d＝＝．
(2)因为动点P在线段EF(包含端点E，F)上，
可设P(0，t，1)(0≤t≤2)，
则＝(1，－t，－1)，＝(－1，2，0)．
设平面PDM的一个法向量为n2＝(1，y2，z2)，
由可得n＝．
∵平面ABCD的一个法向量n0＝(0，0，1)，
∴cos θ＝＝
＝(0≤t≤2)．
∴当t＝0时，cos θ取得最大值，此时P点与F点重合．
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