2021_2022学年新教材高中数学2.5.2椭圆的几何性质（Word含答案解析）

椭圆的几何性质
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的(　　)
A．长轴长　 B．焦点
C．焦距　　　 D．离心率
3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(　　)
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
4．若椭圆＋＝1(其中a＞b＞0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P7，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　)
A．21　　 B．28
C．35　　　　 D．42
二、填空题
6．若椭圆＋＝1上一点到两焦点的距离之和为m－3，则m的值为________．
7．已知椭圆W：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两点A(0，0)，B(2，0)．若椭圆W上存在点C，使得△ABC为正三角形，则椭圆W方程为________．
8．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为F(2，0)，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为2；③离心率为；④一个顶点坐标为(2，0)．其中可求得椭圆方程为＋＝1的条件有________(填序号)．
三、解答题
9．已知椭圆的标准方程为＋＝1．
(1)求椭圆的长轴长和短轴长；
(2)求椭圆的离心率；
(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．
10．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
能力练
1．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　)
A．椭圆C的方程为＋x2＝1
B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．|PQ|＝
D．△PF2Q的周长为4
2．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
3．如图，已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．若a＝3，则圆面积为________．
4．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________cm．
拓展
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)
A．＋＝1　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D　[由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，
∴b2＝62－22＝32，
∵焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋＝1．]
2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的(　　)
A．长轴长　 B．焦点
C．焦距　　　 D．离心率
C　[椭圆＋＝1的焦点在x轴上，a＝4，c＝＝1，长轴长为8，焦点分别为(－1，0)，(1，0)，焦距为2，离心率为．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，a＝，c＝＝1，长轴长为2，焦点分别为(0，－1)，(0，1)，焦距为2，离心率为，所以椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的焦距，故选C．]
3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(　　)
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
C　[由题意得
解得a＝5，b＝3，c＝4．
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1．]
4．若椭圆＋＝1(其中a＞b＞0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D　[由题意知2a＋2c＝16．又e＝＝，所以a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆方程为＋＝1．]
5．把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P7，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　)
A．21　　 B．28
C．35　　　　 D．42
C　[设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义，得|P1F|＋|P1F′|＝10，由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|，
∴|P1F|＋|P7F|＝10．同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，|P3F|＋|P5F|＝10．又|P4F|＝5，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35．]
二、填空题
6．若椭圆＋＝1上一点到两焦点的距离之和为m－3，则m的值为________．
9　[若椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝2，由题意知，2a＝m－3＝4，
∴m＝7，由4＞m知m＝7(舍去)；
若焦点在y轴，有m＞4，则a＝，由2a＝m－3＝2，得m＝9．]
7．已知椭圆W：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两点A(0，0)，B(2，0)．若椭圆W上存在点C，使得△ABC为正三角形，则椭圆W方程为________．
＋＝1　[因为A(0，0)、B(2，0)，且△ABC为正三角形，所以根据正三角形的性质可得点C(1，)或(1，－)，
又∵点C在椭圆W上，∴＋＝1，
∴解得
∴椭圆W的方程为＋＝1．]
8．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为F(2，0)，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为2；③离心率为；④一个顶点坐标为(2，0)．其中可求得椭圆方程为＋＝1的条件有________(填序号)．
①②③　[只需保证a＝2，b＝2，c＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±2，0)，故①②③可求得椭圆方程为＋＝1．]
三、解答题
9．已知椭圆的标准方程为＋＝1．
(1)求椭圆的长轴长和短轴长；
(2)求椭圆的离心率；
(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．
[解]　(1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．
(2)c＝＝，
所以椭圆的离心率e＝＝．
(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为＋＝1，又椭圆过点P(－4，1)，
将点P(－4，1)代入得＋＝1，
解得a′2＝18．故所求椭圆方程为＋＝1．
10．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
[解]　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．
所以a＝c，e＝＝．
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2 (c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B．
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2． ①
又由·＝(－c，－b)·＝ b2－c2＝1，
即有a2－2c2＝1． ②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2．
所以椭圆方程为＋＝1．
能力练
1．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　)
A．椭圆C的方程为＋x2＝1
B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．|PQ|＝
D．△PF2Q的周长为4
ACD　[由已知得2b＝2，b＝1，＝，
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3．
∴椭圆方程为x2＋＝1，又|PQ|＝＝＝．
△PF2Q的周长为4a＝4．]
2．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
A　[由题意得2a＝＝8(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝＝2cm，∴e＝＝．故选A．]
3．如图，已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．若a＝3，则圆面积为________．
　4π　[由题意知OQ垂直平分PF2．
所以|PO|＝|OF2|＝c．
又O为F1F2的中点，Q为PF2的中点，所以PF1∥OQ，∴PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|OQ|＝2b，∴|PF2|＝＝＝2．
由椭圆的定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2b＋2，即a－b＝，两边平方整理可得3b2＝2ab，
∴3b＝2a，∴9b2＝4a2，∴9(a2－c2)＝4a2，
即5a2＝9c2，∴a＝3c，∴e＝＝．
由a＝3结合上述解法知，3b＝2a，
∴b＝2，∴圆的半径为2，S＝π×22＝4π．]
4．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________cm．
20　[因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，＝，即＝．所以＝，所以＝，所以小椭圆的长轴长为20 cm．]
拓展
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．
[解]　(1)由题意得解得a2＝2．
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1．
易知直线PA的方程为y－1＝x，
所以xM＝，即M．
(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．
设N(xN，0)，则直线PB的方程为y－1＝x，故xN＝．
“存在点Q(0，yQ)，使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)，使得＝”，
即yQ满足y＝|xM||xN|．
因为xM＝，xN＝，＋n2＝1，
所以y＝|xM||xN|＝＝2．
所以yQ＝或yQ＝－．
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且点Q的坐标为(0，)或(0，－)．
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