3.1.2 成比例线段 同步练习题（含答案）

3.1　比例线段
3.1.2　成比例线段
一、选择题
1.在比例尺是1∶6 000的地图上，某路的长度约为25 cm，它的实际长度约为(　　)
A．1 200 m B．1 500 m C．2 000 m D．2 400 m
2.下列说法正确的是(　　)
A．线段m，n的比就是线段n，m的比
B．若线段m∶n＝4∶5，则m＝4 cm，n＝5 cm
C．线段a与b的比值没有单位，且比值是一个正数
D．若线段a＝10 cm，b＝30 dm，则a∶b＝1∶3
3.直角三角形两直角边的长分别为3和4，那么斜边与斜边上的高的比是(　　)
A．5∶3 B．5∶4 C．5∶12 D．25∶12
4.下列四条线段是比例线段的是(　　)
A．1 cm，2 cm，4 cm，6 cm
B．3 cm，4 cm，7 cm，8 cm
C．2 cm，4 cm，8 cm，16 cm
D．1 cm，3 cm，5 cm，7 cm
5.已知在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔的高为(　　)
A．60米 B．40米 C．30米 D．25米
6.已知三个数2，，4.如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是(　　)
A．2 B．2或
C．2，4或8 D．2，或4
7.【2020·金昌】如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2 m，则a约为(　　)
A．1.24 m 　　　B．1.38 m C．1.42 m 　　　D．1.62 m
8.已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(　　)
A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
D．0.618是黄金比的近似值
9.【2020·泸州】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为(　　)
A．10－4 　　B．3－5 C. 　　 D．20－8
10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有(　　)
A．AB2＝AP·PB B．AP2＝PB·AB C．PB2＝AP·AB D．AP＝AB
11.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走(　　)才最理想．
A．(18－6)米 B．(6－6)米 C．(6＋6)米 D．(18－6)米或(6－6)米
12.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
二、填空题
13.延长线段AB到C，使BC＝2AB，则AC∶AB为_______．
14.正方形的对角线的长与边长的比是________．
15.在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，AB＝12 cm，AE＝6 cm，EC＝3 cm，且＝，则AD的长为________．
16.已知四条线段a，3，a＋1，4是成比例线段，则a的值为________．
17.我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是________．
18.已知三条线段的长分别为1，，2(单位：cm)，请添一条线段，使它们的长成比例，你添加的线段长为________________cm.
三、解答题
19.如图，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，其中AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.
(1)求和；
(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？
20.【2020秋·沧州期中】三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°.
(1)在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD(保留作图痕迹)；
(2)请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
21.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长；
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
22.如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形长与宽的比．
23.【2020·长沙市第一中学期中】如图，在 ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
24.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数；
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比.
①写出图中所有的黄金三角形；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A，B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在图中画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
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参考答案
一、选择题
1.在比例尺是1∶6 000的地图上，某路的长度约为25 cm，它的实际长度约为(　B　)
A．1 200 m B．1 500 m C．2 000 m D．2 400 m
2.下列说法正确的是(　C　)
A．线段m，n的比就是线段n，m的比
B．若线段m∶n＝4∶5，则m＝4 cm，n＝5 cm
C．线段a与b的比值没有单位，且比值是一个正数
D．若线段a＝10 cm，b＝30 dm，则a∶b＝1∶3
【点拨】本题易错点是根据两条线段的比为m∶n, 直接认定这两条线段的长分别为m，n.
3.直角三角形两直角边的长分别为3和4，那么斜边与斜边上的高的比是(　D　)
A．5∶3 B．5∶4 C．5∶12 D．25∶12
4.下列四条线段是比例线段的是(　C　)
A．1 cm，2 cm，4 cm，6 cm
B．3 cm，4 cm，7 cm，8 cm
C．2 cm，4 cm，8 cm，16 cm
D．1 cm，3 cm，5 cm，7 cm
5.已知在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔的高为(　C　)
A．60米 B．40米 C．30米 D．25米
6.已知三个数2，，4.如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是(　D　)
A．2 B．2或
C．2，4或8 D．2，或4
【点拨】本题易忽略线段成比例的顺序性而漏解．
7.【2020·金昌】如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2 m，则a约为(　A　)
A．1.24 m 　　　B．1.38 m C．1.42 m 　　　D．1.62 m
8.已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(　C　)
A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
D．0.618是黄金比的近似值
9.【2020·泸州】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为(　A　)
A．10－4 　　B．3－5 C. 　　 D．20－8
【点拨】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH＝BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH＝，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE＝CD＝BC＝2－2，则计算出DE＝4－8，然后根据三角形面积公式计算．
10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有(　B　)
A．AB2＝AP·PB B．AP2＝PB·AB C．PB2＝AP·AB D．AP＝AB
11.主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走(　A　)才最理想．
A．(18－6)米 B．(6－6)米 C．(6＋6)米 D．(18－6)米或(6－6)米
【点拨】如图所示，AP∵BP＝AB＝×12＝(6－6)(米)，
∴AP＝AB－BP＝(18－6)米．故选A.
12.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【点拨】设BC＝a，则AC＝2a，由勾股定理，得AB＝＝a.由题意，得AE＝(－1)a，EC＝(3－)a.∴＝＝，A正确，不符合题意；＝，B正确，不符合题意；＝，C错误，符合题意；＝，D正确，不符合题意．故选C.
【答案】C
二、填空题
13.延长线段AB到C，使BC＝2AB，则AC∶AB为_______．
【答案】3∶1
14.正方形的对角线的长与边长的比是________．
【答案】∶1
15.在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，AB＝12 cm，AE＝6 cm，EC＝3 cm，且＝，则AD的长为________．
【答案】8 cm
16.已知四条线段a，3，a＋1，4是成比例线段，则a的值为________．
【答案】3
17.我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是________．
【答案】
18.已知三条线段的长分别为1，，2(单位：cm)，请添一条线段，使它们的长成比例，你添加的线段长为________________cm.
【答案】2或或
解：设另外一条线段的长为x cm，则有三种情况：
①1×2＝x，解得x＝；
②2×＝1·x，解得x＝2；
③1×＝2x，解得x＝.
综上所述，另外一条线段的长为2 cm或 cm或 cm.
三、解答题
19.如图，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，其中AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.
(1)求和；
解：∵AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm，
∴＝＝，＝＝.
(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？
解：由(1)知＝＝，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
20.【2020秋·沧州期中】三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°.
(1)在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD(保留作图痕迹)；
解：作图如图所示．
(2)请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
解：△BDC是黄金三角形，证明如下：
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°.
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°－36°)＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝72°－36°＝36°.
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，∴△BDC是黄金三角形．
21.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长；
解：根据题意可知AB＝AD＝2，∠BAD＝90°.
∵点P是AB的中点，∴AP＝1.
∴PD＝＝.
∵PF＝PD，∴AF＝－1.
在正方形AMEF中，AM＝AF＝－1.
∴DM＝AD－AM＝3－.
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
解：点M是线段AD的黄金分割点．
理由如下：由(1)得AD·DM＝2(3－)＝6－2，
AM2＝(－1)2＝6－2，
∴AM2＝AD·DM.∴＝.
∴点M是线段AD的黄金分割点．
22.如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形长与宽的比．
解：设原矩形的长是a，宽是b，则DE＝CF＝a－b.
由题意得＝，即＝，
整理得a2－ab－b2＝0，两边同除以b2，
得－－1＝0，解得＝或＝(舍去)．
∴原矩形长与宽的比为.
23.【2020·长沙市第一中学期中】如图，在 ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．
解：AB，BC，BF，DE这四条线段成比例．
∵在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，
∴S ABCD＝AB·DE＝AD·BF.
∵BC＝AD，∴AB·DE＝BC·BF，即＝.
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
解：∵AB·DE＝BC·BF，
∴10×2.5＝5BC，解得BC＝5.
【点拨】在平行四边形中，根据面积为定值，用不同的边为底边和对应的高表示面积，可以得到不同的底和高之间数量的相等关系，从而解决问题．
24.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数；
解：∵DB＝DC＝AC，
∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.
设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.
又∠ACE＝108°，∴∠B＋∠A＝108°，
即x＋2x＝108°，解得x＝36°. ∴∠B＝36°.
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比.
①写出图中所有的黄金三角形；
解：黄金三角形：△BDC，△CDA，△BAC.
②求AD的长；
解：∵△BAC是黄金三角形，
∴＝.
∵BC＝2，∴AC＝－1.
∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝－1，
∴AD＝BA－BD＝2－(－1)＝3－.
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A，B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在图中画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
解：存在. 如图，P1，P2，P3即为所求．
(ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB，BC于点P1，P2.
(ⅱ)以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD长为半径画弧交BC于点 P3.