3.3 相似图形 同步练习（含答案）

3.3　相似图形
一、选择题
1.下列图形不一定相似的是(　　)
A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个菱形 D．国旗上的五角星
2.如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD：AC等于(　　)
A．AE：AC B．DE ： BC C．AE：BC D．DE ： AB
第2题图 第4题图 第6题图
3.【2019·兰州】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则等于(　　)
A．2 B. C．3 D.
4.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2.若BC＝1，则EF的长是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5.两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(　　)
6.如图是用火柴棒摆出的两个正五边形的图案，它们的相似比为(　　)
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．2：5
7.若△ABC∽△DEF，∠A＝50°，则∠D的度数是(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
8.若△ABC与△DEF的相似比为4∶3，则△DEF与△ABC的相似比为(　　)
A．4∶3 B．3∶4 C．16∶9 D．9∶16
9.若△ABC∽△A′B′C′，AB＝12, AC＝15，A′B′＝16，则A′C′的长为(　　)
A．18 B．20 C．24 D．32
10.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　　)
A．87° B．60° C．75° D．120°
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有(　　)
①＝；②＝；③＝；④＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的点F处，若四边形EFDC(EF＞DF)与矩形ABCD相似，则DF的长为(　　)
A. B. C. D．1
二、填空题
13.如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为________度．
14.一个四边形的边长分别是3,4,5,6,另一个与它相似的四边形的最小边长为6,则另一个四边形的最长边长是　 　.
15.如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝________，m＝________.
16.利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.
17.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.
18.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是________.
三、解答题
19.如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21.求∠D，∠F的大小和AD的长．
20.【2021·宁波期末】如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，求AD的长．
21.如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝7 cm，∠C＝40°.
(1)求∠AED的大小；
(2)求DE的长．
22.【2021·郑州外国语中学校级月考】如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
(1)求∠F的度数；
(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15 cm，求C1D1的长．
23.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
(2)若c＝a1，试给出一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明；
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．
24.一个矩形ABCD的较短边长为2.
(1)如图1,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;
(2)如图2,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下的矩形EFDC的面积.
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参考答案
一、选择题
1.下列图形不一定相似的是(　C　)
A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个菱形 D．国旗上的五角星
2.如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD：AC等于(　B　)
A．AE：AC B．DE ： BC C．AE：BC D．DE ： AB
第2题图 第4题图 第6题图
3.【2019·兰州】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则等于(　B　)
A．2 B. C．3 D.
4.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2.若BC＝1，则EF的长是(　B　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5.两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(　B　)
6.如图是用火柴棒摆出的两个正五边形的图案，它们的相似比为(　A　)
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．2：5
7.若△ABC∽△DEF，∠A＝50°，则∠D的度数是(　A　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
8.若△ABC与△DEF的相似比为4∶3，则△DEF与△ABC的相似比为(　B　)
A．4∶3 B．3∶4 C．16∶9 D．9∶16
【点拨】本题易错点是忽略相似比具有方向性，相似三角形的顺序不同，它们的相似比也可能不同．
9.若△ABC∽△A′B′C′，AB＝12, AC＝15，A′B′＝16，则A′C′的长为(　B　)
A．18 B．20 C．24 D．32
10.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　A　)
A．87° B．60° C．75° D．120°
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有(　A　)
①＝；②＝；③＝；④＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
错解：D
诊断：不能准确找出相似三角形的对应边，从而不能准确写出对应线段所成的比例式．
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的点F处，若四边形EFDC(EF＞DF)与矩形ABCD相似，则DF的长为(　C　)
A. B. C. D．1
二、填空题
13.如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为________度．
【答案】70
14.一个四边形的边长分别是3,4,5,6,另一个与它相似的四边形的最小边长为6,则另一个四边形的最长边长是　 　.
【答案】12
15.如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝________，m＝________.
【答案】125° 12
16.利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.
【答案】
17.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.
【答案】30
18.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是________.
【答案】
三、解答题
19.如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21.求∠D，∠F的大小和AD的长．
解：∵四边形ABCD∽四边形GFEH，∴∠C＝∠E＝120°，∠F＝∠B＝60°，＝.
∵∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝120°，
∴∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝360°－70°－60°－120°＝110°.
∵DC＝24，HE＝18，HG＝21，
∴AD＝28.
20.【2021·宁波期末】如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，求AD的长．
解：∵E为矩形ABCD的边AD的中点，
∴AE＝AD，AD＝BC.
∵矩形ABCD∽矩形EABF，
∴＝，∴＝，
∴AE·AD＝AB2＝1，即AD2＝1，
解得AD＝(负值已舍去)．
21.如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝7 cm，∠C＝40°.
(1)求∠AED的大小；
解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C＝40°.
(2)求DE的长．
解：∵△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，
∴DE＝ cm.
22.【2021·郑州外国语中学校级月考】如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
(1)求∠F的度数；
解：∵多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，且∠C和∠C1，∠D和∠D1，∠E和∠E1是对应角，
∴∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°.
由多边形内角和定理，知六边形的内角和为720°，
∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.
(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15 cm，求C1D1的长．
解：∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5，且CD＝15 cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
23.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
证明：∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k＞1)，
∴＝k，∴a＝ka1.
又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)若c＝a1，试给出一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明；
解：取a＝8，b＝6，c＝4，a1＝4，b1＝3，c1＝2.
∵＝＝＝2，
∴△ABC∽△A1B1C1.(答案不唯一)
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．
解：不存在，理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c.
∴b＝2c. ∴b＋c＝2c＋c＜4c.
又∵4c＝a，∴b＋c＜a，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾．
故不存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.
24.一个矩形ABCD的较短边长为2.
(1)如图1,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;
(2)如图2,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下的矩形EFDC的面积.
解:(1)由已知得MN=AB=2,DM=AD=BC.
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似,∴,
∴DM·BC=AB·MN,即BC2=4,
∴BC=2,即它的另一边长为2.
(2)∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似,∴.
∵AB=CD=2,BC=4,∴DF==1,
∴矩形EFDC的面积=CD·DF=2×1=2.