3.4.1.3 相似三角形判定定理2 (含答案)

3.4　相似三角形的判定与性质
3.4.1　相似三角形的判定
第3课时 相似三角形判定定理2
一、选择题
1.在△ABC和△A′B′C′中，两个三角形能够相似的是(　　)
A.＝，∠C＝∠C′ B.＝，∠B＝∠B′
C.＝，∠A＝∠A′ D.＝，∠C＝∠C′
2.如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则必须具备的条件可以是(　　)
A.＝ B.＝ C．CD2＝AD·DB D．AC2＝AD·AB
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有(　　)
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
4.如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是(　　)
5.【中考·河北】如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)
6.在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，＝，那么∠B的度数是(　　)
A．40° B．60° C．80° D．100°
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED的是(　　)
A.＝ B.＝ C．∠ADE＝∠C D．∠AED＝∠B
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
9.【2021·金华期末】如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(　　)
A．F B．G C．H D．K
10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是(　　)
A．EA∶BD＝ED∶BF B．EA∶BF＝ED∶BD C．AD∶BD＝AE∶BF D．BD∶BF＝BA∶BC
11.如图,在 ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是(　　)
A.8.2 B.6.4 C.5 D.1.8
第11题图 第12题图
12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时,△PAD与△PBC相似(　　)
A. B.1 C.6 D.或1或6
二、填空题
13.两边成比例且夹角________的两个三角形相似．
14.如图，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，则当BD＝____________时，△ABD∽△DBC.
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15.如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，FC＝3BF.写出一个与△ADE相似的三角形：__________________．
16.【2020·苏州】如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD.若E是AD的中点，则EC＝________．
17.如图,已知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是四个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG,GI在同一条直线上,且AB=2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI= 　.
18.如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝4 cm，点D从点B以每秒2 cm的速度向点A移动，点E从点A以每秒1 cm的速度向点C移动，若D，E同时出发，同时停止，则经过____________，△ADE与△ABC相似．
三、解答题
19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，AC上的点，且AD·AB＝AE·AC, 求证：DE⊥AB.
20.如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点．
(1)当BD，BC和CE满足什么条件时，△ADB∽△EAC？请说明理由；
(2)当△ADB∽△EAC时，求∠DAE的度数．
21.已知：如图，在△ABC中，点D，G分别在边AB，BC上，∠ACD＝∠B，AG与CD相交于点F.
(1)求证：AC2＝AD·AB.
(2)若＝，求证：CG2＝DF·BG.
22.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接BE.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
23.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°,将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或边AD)于点E,PN交边AD(或边CD)于点F,当PN旋转至PC处时,∠MPN的旋转随即停止.
(1)特殊情形:如图2,发现当PM过点A时,PN也恰好过点D.此时,△ABP　 　△PCD.(填“≌”或“∽”)
(2)类比探究:如图3,在旋转过程中,的值是否为定值 若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
24.如图，在菱形ABCD中，E，F分别为边AD，CD上的点，且AE＝CF，BE和BF分别交AC于点M，N.
(1)求证：AM＝CN；
(2)连接BD，如果BD2＝AC·MN，求证：BE⊥AD.
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参考答案
一、选择题
1.在△ABC和△A′B′C′中，两个三角形能够相似的是(　B　)
A.＝，∠C＝∠C′ B.＝，∠B＝∠B′
C.＝，∠A＝∠A′ D.＝，∠C＝∠C′
2.如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则必须具备的条件可以是(　D　)
A.＝ B.＝ C．CD2＝AD·DB D．AC2＝AD·AB
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有(　B　)
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
4.如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是(　C　)
5.【中考·河北】如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　C　)
6.在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，＝，那么∠B的度数是(　B　)
A．40° B．60° C．80° D．100°
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED的是(　A　)
A.＝ B.＝ C．∠ADE＝∠C D．∠AED＝∠B
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(　B　)
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
9.【2021·金华期末】如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(　C　)
A．F B．G C．H D．K
10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是(　C　)
A．EA∶BD＝ED∶BF B．EA∶BF＝ED∶BD C．AD∶BD＝AE∶BF D．BD∶BF＝BA∶BC
11.如图,在 ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是(　D　)
A.8.2 B.6.4 C.5 D.1.8
第11题图 第12题图
12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时,△PAD与△PBC相似(　D　)
A. B.1 C.6 D.或1或6
二、填空题
13.两边成比例且夹角________的两个三角形相似．
【答案】相等
14.如图，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，则当BD＝____________时，△ABD∽△DBC.
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
【点拨】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴当＝时，△ABD∽△DBC，又AB＝4，BC＝6，
∴＝，解得BD＝2.
【答案】2
15.如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，FC＝3BF.写出一个与△ADE相似的三角形：__________________．
【答案】△BEF(答案不唯一)
16.【2020·苏州】如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD.若E是AD的中点，则EC＝________．
【点拨】∵BD＝2DC，∴＝2.
∵E为AD的中点，∴AD＝2DE，
∴＝2，∴＝＝2.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠EDC＝90°，
∴△ADB∽△EDC.∴＝＝2.
∵AB＝2，∴EC＝1.
【答案】1
17.如图,已知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是四个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG,GI在同一条直线上,且AB=2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI= 　.
【提示】作AM⊥BC于点M.在△ABC中,易得AM=,在Rt△AMI中,可得AI=4.易知△IQG∽△IAC,得,得QI=.
【答案】.
18.如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝4 cm，点D从点B以每秒2 cm的速度向点A移动，点E从点A以每秒1 cm的速度向点C移动，若D，E同时出发，同时停止，则经过____________，△ADE与△ABC相似．
【点拨】设经过t秒，△ADE与△ABC相似．
∵点D从点B以每秒2 cm的速度向点A移动，点E从点A以每秒1 cm的速度向点C移动，D，E同时出发，同时停止，∴BD＝2t cm，AE＝t cm，
∵AB＝6 cm，∴AD＝AB－BD＝(6－2t)cm.分两种情况：
①△ADE∽△ABC时，＝，即＝，解得t＝；②△AED∽△ABC时，＝，即＝，解得t＝.综上所述，经过秒或秒，△ADE与△ABC相似．本题易错点：忽略三角形相似存在两种情况，容易漏解．
【答案】秒或秒
三、解答题
19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，AC上的点，且AD·AB＝AE·AC, 求证：DE⊥AB.
证明：∵AD·AB＝AE·AC，∴＝，
又∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠C＝90°，∴∠ADE＝90°，
∴DE⊥AB.
20.如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点．
(1)当BD，BC和CE满足什么条件时，△ADB∽△EAC？请说明理由；
解：当BC2＝BD·CE时，△ADB∽△EAC，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE＝120°.
∵BC2＝BD·CE，∴AB·AC＝BD·CE，
∴＝，∴△ADB∽△EAC.
(2)当△ADB∽△EAC时，求∠DAE的度数．
解：∵△ADB∽△EAC，
∴∠D＝∠CAE.
∵∠ABC＝∠D＋∠DAB＝60°，
∴∠CAE＋∠DAB＝60°，
∴∠DAE＝∠CAE＋∠DAB＋∠BAC＝60°＋60°＝120°.
21.已知：如图，在△ABC中，点D，G分别在边AB，BC上，∠ACD＝∠B，AG与CD相交于点F.
(1)求证：AC2＝AD·AB.
证明：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，　
∴△ACD∽△ABC.
∴＝.∴AC2＝AD·AB.
(2)若＝，求证：CG2＝DF·BG.
解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF＝∠ACG.
又∵＝，∴△ADF∽△ACG.
∴∠DAF＝∠CAF，即∠BAG＝∠CAG.
过点B作BE∥AC，交AG的延长线于点E，则∠E＝∠CAG.又∵∠BGE＝∠AGC，∴△ACG∽△EBG.∴＝.
又∵∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠E.
∴BA＝BE.∴＝.由(1)知＝，∴＝.
∴CG2＝DF·BG.
22.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接BE.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.
∵AE＝ED，DF＝DC，
∴AE＝ED＝AB，DF＝AB.
∴＝＝2.∴△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
解：∵DF＝DC，∴＝.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BG，
∴∠DEF＝∠G，∠D＝∠DCG.
∴△EFD∽△GFC.∴＝＝.
∵DE＝AB＝2，∴CG＝6.∴BG＝10.
23.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°,将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或边AD)于点E,PN交边AD(或边CD)于点F,当PN旋转至PC处时,∠MPN的旋转随即停止.
(1)特殊情形:如图2,发现当PM过点A时,PN也恰好过点D.此时,△ABP　 　△PCD.(填“≌”或“∽”)
(2)类比探究:如图3,在旋转过程中,的值是否为定值 若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
解: (1)　∽　
(2)的值为定值.
过点F作FG⊥BC于点G,∴FG=2.
∵∠MPN=90°,∴∠EPB+∠FPG=90°.
∵∠B=90°,∴∠EPB+∠BEP=90°,
∴∠BEP=∠FPG.
∵∠B=∠PGF=90°,∴△EBP∽△PGF,
∴.
24.如图，在菱形ABCD中，E，F分别为边AD，CD上的点，且AE＝CF，BE和BF分别交AC于点M，N.
(1)求证：AM＝CN；
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠DAM＝∠DCN.
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠AEM＝∠CFN.
在△AEM和△CFN中，
∴△AEM≌△CFN，∴AM＝CN.
(2)连接BD，如果BD2＝AC·MN，求证：BE⊥AD.
证明：如图，设BD交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAC＝∠DAC，
∴BD＝2OB，AC＝2AO.
∵AM＝CN，∴OM＝ON，∴MN＝2OM.
∵BD2＝MN·AC，∴4OB2＝2OM·2OA，
∴OB2＝OM·OA，
∴＝.
∵∠BOM＝∠AOB＝90°，∴△BOM∽△AOB，
∴∠OBM＝∠BAO＝∠DAC.
∵∠OBM＋∠BMO＝90°，∠AME＝∠OMB，
∴∠EAM＋∠AME＝90°，
∴∠AEM＝90°，即BE⊥AD.