3.4.1.5 相似三角形的判定综合练习 （含答案）

3.4　相似三角形的判定与性质
3.4.1　相似三角形的判定
第5课时 相似三角形的判定综合练习
一、选择题
1.【2021·贵港】下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
2.下列四组图形中，一定相似的是(　　)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
3.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则C1D1的长是(　　)
A．10 B．12 C. D.
第3题图 第6题图 第8题图 第10题图
4.六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，若对应边AB与A′B′的长分别为50 cm和40 cm，则六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比是(　　)
A．5：4 B．4：5 C．5：2 D．2：
5.【2019·雅安】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(　　)
6.【2021·衡水至臻中学校级月考】如图，已知C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC.若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AD、宽为AC的矩形面积，AB＝AD，则S1与S2的大小关系为(　　)
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
7.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是(　　)
A．19 B．17 C．24 D．21
8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(　　)
A．P1　　　B．P2　　　C．P3　　　D．P4
9.结合图形所给的条件，下列图形中无相似三角形的是(　　)
10.如图所示，D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可证明△ABC∽△BDC的是(　　)
A.AC·CB＝AB·CD B.AB·CD＝BD·BC C．BC2＝AC·DC D．BD2＝CD·DA
11.如图,已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,那么点D的位置最多有(　　)
A.5处 B.4处 C.3处 D.2处
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12.如图,，则下列结论正确的有(　　)
①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13.【中考·潍坊】如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：____________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
14.如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为________．
15.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.
第15题图 第17题图 第18题图
16.已知锐角三角形ABC中，AB＝9,AC＝6,D为AB上的一个点，AD＝3，在AC上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝________.
17.【2021·衡水市第五中学校级月考】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________．
18.如图，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问经过________s时，△PBQ与△ABC相似．
三、解答题
19.【2019·张家界】如图，在平行四边形ABCD中，连结对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连结DE，分别交BC，AC于点F，G.
(1)求证：BF＝CF.
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
20.已知：如图，AD是△ABC的高，BE⊥AB，AE交BC于点F，AB·AC＝AD·AE.求证：△BEF∽△ACF.
21.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且△CDE∽△CAB.
(1)求证：△CAD∽△CBE；
(2)求证：EB⊥AB.
22.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm.如图①，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0＜t＜2)，连结PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)如图②，连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
23.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点M,N分别是BC,AC边上的点(M,N不与点B,C重合),且∠1=∠B.
(1)求证:∠BAM=∠CMN.
(2)若AB=5,BC=8,
①当BM=时,MN与AB是否平行 若平行,请证明;若不平行,请说明理由.
②当△AMN为等腰三角形时,求BM的长.
24.如图1,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.
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参考答案
一、选择题
1.【2021·贵港】下列命题是真命题的是（　D　）
A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似
2.下列四组图形中，一定相似的是(　D　)
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
3.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则C1D1的长是(　C　)
A．10 B．12 C. D.
第3题图 第6题图 第8题图 第10题图
4.六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，若对应边AB与A′B′的长分别为50 cm和40 cm，则六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比是(　B　)
A．5：4 B．4：5 C．5：2 D．2：
5.【2019·雅安】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(　B　)
6.【2021·衡水至臻中学校级月考】如图，已知C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC.若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AD、宽为AC的矩形面积，AB＝AD，则S1与S2的大小关系为(　B　)
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
7.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是(　C　)
A．19 B．17 C．24 D．21
8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(　C　)
A．P1　　　B．P2　　　C．P3　　　D．P4
9.结合图形所给的条件，下列图形中无相似三角形的是(　C　)
10.如图所示，D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可证明△ABC∽△BDC的是(　C　)
A.AC·CB＝AB·CD B.AB·CD＝BD·BC C．BC2＝AC·DC D．BD2＝CD·DA
11.如图,已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,那么点D的位置最多有(　C　)
A.5处 B.4处 C.3处 D.2处
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12.如图,，则下列结论正确的有(　B　)
①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【提示】①④正确
二、填空题
13.【中考·潍坊】如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：____________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
【答案】DF∥AC(答案不唯一)
14.如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为________．
【答案】
15.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.
【答案】4
第15题图 第17题图 第18题图
16.已知锐角三角形ABC中，AB＝9,AC＝6,D为AB上的一个点，AD＝3，在AC上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝________.
【答案】2或4.5
17.【2021·衡水市第五中学校级月考】如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________．
【答案】
18.如图，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问经过________s时，△PBQ与△ABC相似．
【答案】1或2.5
三、解答题
19.【2019·张家界】如图，在平行四边形ABCD中，连结对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连结DE，分别交BC，AC于点F，G.
(1)求证：BF＝CF.
证明：∵BE＝AB，∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠EBF＝∠EAD.
又∵∠BEF＝∠AED，∴△EBF∽△EAD.
∴＝＝.∴BF＝AD＝BC.∴BF＝CF.
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠FCG＝∠DAG.
又∵∠FGC＝∠DGA，
∴△FGC∽△DGA.
∴＝，即＝，解得FG＝2.
20.已知：如图，AD是△ABC的高，BE⊥AB，AE交BC于点F，AB·AC＝AD·AE.求证：△BEF∽△ACF.
证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.
∵BE⊥AB，∴∠EBA＝90°，
∴∠ADC＝∠EBA＝90°.
∵AB·AC＝AD·AE，∴AB∶AD＝AE∶AC.
设AB∶AD＝AE∶AC＝k(k≠0)，
根据勾股定理，
得BE＝＝＝kCD，
∴＝k，∴＝.
又∵∠ABE＝∠ADC，∴△ABE∽△ADC，
∴∠E＝∠C.
∵∠BFE＝∠AFC，∴△BEF∽△ACF.
21.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且△CDE∽△CAB.
(1)求证：△CAD∽△CBE；
(2)求证：EB⊥AB.
证明：(1)∵△CDE∽△CAB，
∴＝，∠ACB＝∠DCE，∴＝，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD∽△CBE.
(2)∵△CAD∽△CBE，
∴∠CAD＝∠CBE.
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠CBA＝90°，
∴∠CBE＋∠CBA＝90°，
∴EB⊥AB.
22.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm.如图①，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0＜t＜2)，连结PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
解：由题意知，AB＝10 cm，BP＝5t cm，CQ＝4t cm. BQ＝(8－4t)cm.
当△PBQ∽△ABC时，有＝，即＝.解得t＝1.
当△QBP∽△ABC时，有＝，即＝，解得t＝.
∴当△BPQ与△ABC相似时，t＝1或t＝.
(2)如图②，连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
解:过点P作PM⊥BC于点M，则PM∥AC，设AQ，CP交于点N，如图所示．
易知△BMP∽△BCA，∴＝＝，
∴＝＝.∴PM＝3t cm，BM＝4t cm，
则CM＝(8－4t)cm.
∵AQ⊥PC，∴∠ANC＝90°，∴∠QAC＋∠NCA＝90°，
又∵∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠QAC＝∠PCM.
又∵∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，
∴＝，∴＝，解得t＝.
23.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点M,N分别是BC,AC边上的点(M,N不与点B,C重合),且∠1=∠B.
(1)求证:∠BAM=∠CMN.
(2)若AB=5,BC=8,
①当BM=时,MN与AB是否平行 若平行,请证明;若不平行,请说明理由.
②当△AMN为等腰三角形时,求BM的长.
解:(1)∵∠1+∠CMN=∠B+∠BAM,∠1=∠B,
∴∠BAM=∠CMN.
(2)①MN∥AB.
理由:∵,∠B=∠B,
∴△ABM∽△CBA,∠BAM=∠C=∠1,∴MN∥AB.
②当AM=AN时,∠1=∠MNA,
∴点N与C重合,不合题意,应舍去;
当MA=MN时,△ABM≌△MCN,AB=MC=5,
∴BM=8-5=3;
当AN=MN时,∵△ABC∽△MCA,
∴,∴MC=,∴BM=.
综上所述,当△AMN是等腰三角形时,BM的长为3或.
24.如图1,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.
解:(1)∵GE是AB的垂直平分线,
∴GA=GB,同理GD=GC.
在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,
∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.
(2)∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.
在△AGB和△DGC中,,∠AGB=∠DGC,
∴△AGB∽△DGC.
∴,∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF.
(3).