3.4.2.1 与相似三角形有关的高、角平分线和中线 同步练习题（含答案）

3.4　相似三角形的判定与性质
3.4.2　相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形有关的高、角平分线和中线
一、选择题
1.【中考·重庆A卷】若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　　)
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
2.【中考·重庆B卷】如图，△ABO∽△CDO，若AB＝6，CD＝2，则CD边上的高与AB边上的高之比是(　　)
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1
第2题图 第6题图 第7题图 第8题图
3.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应的角平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，若BD＝4 cm，则B′D′的长是(　　)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
4.【中考·兰州】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　　)
A. B. C. D.
5.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3:1，则对应角平分线之比为(　　)
A．9:1 B．6:1 C．3:1 D.:1
6.【2020·广西北部湾经济区】如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(　　)
A．15 B．20 C．25 D．30
7.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列表达式中成立的是(　　)
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
8.【2020·海南】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．25 B．30 C．35 D．40
9.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是( )
A.1∶4 B.1∶3 C.2∶1 D.1∶2
10.已知D,E分别是△ABC中的AB,AC边上的点,DE∥BC,且AD∶BD=4∶5,那么△ADE与△ABC对应高的比是( )
A. B. C. D.
11.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF交对角线BD于点M,N,连接EF,则BM∶EF=( )
A.1∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶2
12.已知△ABC∽△A'B'C'且相似比为,△A'B'C'∽△A″B″C″且相似比为,则△ABC与△A″B″C″的对应角平分线比为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．
(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．
14.如图，已知在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E, CM，FN分别平分∠ACB，∠DFE.若＝，AB＝6，则DE的长为________．
第14题图 第16题图 第17题图 第18题图
15.如果两个相似三角形的两条对应边长分别是20 cm和25 cm，其中一个三角形最大内角的平分线长是12 cm，那么另一个三角形对应角的平分线长是____________cm.
16.【中考·柳州】如图，矩形EFGH内接于△ABC ，且边FG落在BC上，若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，则EH的长为___________.
17.如图,某校宣传栏后面2 m处种了一排树,每隔2 m一棵,共种了6棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处,正好看到这排树两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为　 　m.(不计宣传栏的厚度)
18.据《九章算术》记载:“今有山居木西,不知其高.山去五十三里,木高九丈五尺,人立木东三里,望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何 ”译文如下:如图,今有山AB位于树的西面.山高AB为未知数,山与树相距53里,树高9丈5尺,人站在离树3里的地方,观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上,人眼离地7尺,则山AB的高为　 　丈.(保留到整数,1丈=10尺)
三、解答题
19.已知△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠E＝70°，AB＝5，DE＝2.5，BC＝8，DF＝5.
(1)求∠B，∠C，∠D，∠F的度数；
(2)求AC，EF的长；
(3)求△ABC和△DEF的相似比；
(4)若AG，DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG∶DH；
(5)若△ABC中∠C的平分线的长为a，求△DEF中∠F的平分线的长．
20.如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC，△ADE的中线．已知AD∶DB＝4∶3，EG＝4，求CF的长．
21.如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，求证：＝k.
【建议读者进一步证明本课涉及的其它两条结论】
22.如图，已知在△ABC中， DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE与BC之间的距离GH为1.6，求BC边上的高AH.
23.三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2.按图1的方式在这张纸片中剪去一个尽可能大的正方形,称为第1次剪取,记余下的两个三角形面积之和为S1;按图2的方式在余下的Rt△ADF和Rt△BDE中,分别剪去尽可能大的正方形,称为第2次剪取,记余下的三角形面积之和为S2;继续操作下去……
(1)如图1,求和S1的值;
(2)第n次剪取后,求余下的所有三角形面积之和Sn.
24.已知△ABC的边BC长15 cm，高AH为10 cm，四边形DEFG内接于△ABC，点E，F在边BC上，点D，G分别在边AB，AC上，AH交DG于P.
(1)如图①，若四边形DEFG为正方形，求正方形的边长；
(2)如图②，若四边形DEFG为矩形，且DG∶DE＝2∶1，求的值．
25.如图，有一批呈直角三角形、大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请设计一种方案，并求出这种方案下正方形不锈钢片的边长．
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参考答案
一、选择题
1.【中考·重庆A卷】若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　A　)
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
2.【中考·重庆B卷】如图，△ABO∽△CDO，若AB＝6，CD＝2，则CD边上的高与AB边上的高之比是(　B　)
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1
第2题图 第6题图 第7题图 第8题图
3.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应的角平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，若BD＝4 cm，则B′D′的长是(　C　)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
4.【中考·兰州】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　A　)
A. B. C. D.
5.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3:1，则对应角平分线之比为(　C　)
A．9:1 B．6:1 C．3:1 D.:1
【点拨】∵两个相似三角形对应高线之比为3:1，∴两个相似三角形的相似比为3:1，∴它们对应角平分线之比为3:1，故选C.
6.【2020·广西北部湾经济区】如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(　B　)
A．15 B．20 C．25 D．30
【点拨】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC.
∴△AEF∽△ABC.
∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°.
∴四边形EHDN是矩形．∴DN＝EH＝x，AN⊥EF.
∵△AEF∽△ABC，∴＝(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)．∵AD＝60，
∴AN＝60－x.∴＝，解得x＝40.
∴AN＝60－x＝60－40＝20.
7.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列表达式中成立的是(　A　)　
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
【点拨】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2＋4y2＝c2，4x2＋y2＝a2，x2＋4y2＝b2，然后利用加减消元法消去x，y得到a，b，c的关系．
8.【2020·海南】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为(　C　)
A．25 B．30 C．35 D．40
9.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是( D )
A.1∶4 B.1∶3 C.2∶1 D.1∶2
10.已知D,E分别是△ABC中的AB,AC边上的点,DE∥BC,且AD∶BD=4∶5,那么△ADE与△ABC对应高的比是( D )
A. B. C. D.
11.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF交对角线BD于点M,N,连接EF,则BM∶EF=( C )
A.1∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶2
12.已知△ABC∽△A'B'C'且相似比为,△A'B'C'∽△A″B″C″且相似比为,则△ABC与△A″B″C″的对应角平分线比为(　B　)
A. B. C. D.
二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．
(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．
【答案】相似比 相似比 相似比
14.如图，已知在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E, CM，FN分别平分∠ACB，∠DFE.若＝，AB＝6，则DE的长为________．
【答案】9
第14题图 第16题图 第17题图 第18题图
15.如果两个相似三角形的两条对应边长分别是20 cm和25 cm，其中一个三角形最大内角的平分线长是12 cm，那么另一个三角形对应角的平分线长是____________cm.
【点拨】设另一个三角形对应角的平分线长是x cm.
若已知角平分线的三角形是较小三角形，由题意得25∶20＝x∶12，解得x＝15；
若已知角平分线的三角形是较大三角形，由题意得20∶25＝x∶12，解得x＝9.6.
本题易错点是未进行分类讨论，直接把12 cm当作边长为20 cm的三角形的角平分线长．
【答案】15或9.6
16.【中考·柳州】如图，矩形EFGH内接于△ABC ，且边FG落在BC上，若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，则EH的长为___________.
【答案】
17.如图,某校宣传栏后面2 m处种了一排树,每隔2 m一棵,共种了6棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处,正好看到这排树两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为　 　m.(不计宣传栏的厚度)
【答案】6　
18.据《九章算术》记载:“今有山居木西,不知其高.山去五十三里,木高九丈五尺,人立木东三里,望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何 ”译文如下:如图,今有山AB位于树的西面.山高AB为未知数,山与树相距53里,树高9丈5尺,人站在离树3里的地方,观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上,人眼离地7尺,则山AB的高为　 　丈.(保留到整数,1丈=10尺)
【答案】165　
三、解答题
19.已知△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠E＝70°，AB＝5，DE＝2.5，BC＝8，DF＝5.
(1)求∠B，∠C，∠D，∠F的度数；
解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠E＝70°，
∴∠D＝∠A＝80°，∠B＝∠E＝70°，∠C＝∠F＝180°－80°－70°＝30°.
(2)求AC，EF的长；
解：∵△ABC∽△DEF，AB＝5，DE＝2.5，
∴＝＝＝.
又∵BC＝8，DF＝5，
∴AC＝10，EF＝4.
(3)求△ABC和△DEF的相似比；
解：由(2)得△ABC和△DEF的相似比是2∶1.
(4)若AG，DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG∶DH；
若AG，DH分别为△ABC和△DEF的高，则AG∶DH＝2∶1.
(5)若△ABC中∠C的平分线的长为a，求△DEF中∠F的平分线的长．
解：若△ABC中∠C的平分线的长为a，根据相似三角形对应的角平分线之比等于相似比，则△DEF中∠F的平分线的长为a.
20.如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC，△ADE的中线．已知AD∶DB＝4∶3，EG＝4，求CF的长．
解：∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7.
又∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，
∴＝，∴＝，
∴CF＝7.
21.如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，求证：＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝＝＝k，∠B＝∠B′.
又∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，
∴＝＝. ∴＝.
又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.
∴＝＝k.
【建议读者进一步证明本课涉及的其它两条结论】
22.如图，已知在△ABC中， DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE与BC之间的距离GH为1.6，求BC边上的高AH.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
又∵AH为BC边上的高，∴AH⊥BC，AH⊥DE，
∴＝.
设AG＝x，则AH＝x＋1.6，
∴＝，解得x＝2.4.
经检验x＝2.4是原方程的解，
∴AH＝AG＋GH＝2.4＋1.6＝4.
23.三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2.按图1的方式在这张纸片中剪去一个尽可能大的正方形,称为第1次剪取,记余下的两个三角形面积之和为S1;按图2的方式在余下的Rt△ADF和Rt△BDE中,分别剪去尽可能大的正方形,称为第2次剪取,记余下的三角形面积之和为S2;继续操作下去……
(1)如图1,求和S1的值;
(2)第n次剪取后,求余下的所有三角形面积之和Sn.
解:(1)设CE的长为x,
由题意得AF=1-x,FD=x,
∵DF∥BC,∴△ADF∽△ABC,
∴,即,解得x=,
∴,
∴S1=×1×2-.
(2)同理可得S2=,S3=,
∴Sn=.
24.已知△ABC的边BC长15 cm，高AH为10 cm，四边形DEFG内接于△ABC，点E，F在边BC上，点D，G分别在边AB，AC上，AH交DG于P.
(1)如图①，若四边形DEFG为正方形，求正方形的边长；
解：设DG为x cm，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG∥BC，DG＝DE＝x cm，AP＝(10－x)cm，
∴△ADG∽△ABC，
∴AP∶AH＝DG∶BC，
即＝，解得 x＝6，
即正方形的边长为6 cm.
(2)如图②，若四边形DEFG为矩形，且DG∶DE＝2∶1，求的值．
解：设DE＝y cm，则DG＝2y cm，
∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，AP＝(10－y)cm，
∴△ADG∽△ABC，∴AP∶AH＝DG∶BC，
即＝，解得y＝，∴2y＝.
∵AD∶AB＝DG∶BC＝∶15＝4∶7，∴＝.
25.如图，有一批呈直角三角形、大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请设计一种方案，并求出这种方案下正方形不锈钢片的边长．
【点拨】要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，而顶点落在边上时有如图①和图②两种情况，应分类讨论求解．
解：如图①，设正方形EFGH的边长为x cm，过点C作CD⊥AB于点D，交EH于点M.易知CM⊥EH.∵∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，
∴AB＝＝＝13(cm)．
∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝(cm)．
又∵EH∥AB，∴△CEH∽△CAB.
∴＝，即＝，解得x＝.
如图②，设正方形CEGH的边长为y cm.
∵GH∥AC，
∴△BHG∽△BCA.
∴＝，
即＝，解得y＝.
∵＜，∴应按图②裁剪，这时正方形不锈钢片的面积最大，它的边长为 cm.