3.6.2 坐标平面内的位似变换 同步练习（含答案）

3.6　位　似
第2课时 坐标平面内的位似变换
一、选择题
1.【2021·长春双阳区期末】如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
第1题图 第2题图 第3题图 第6题图
2.【中考·辽阳】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(　　)
A．(0，0)　 B．(0，1)　 C．(－3，2)　D．(3，－2)
3.【2020·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作△OAB的位似图形△OCD，位似比为，则点C的坐标为(　　)
A．(－1，－1) B. C. D．(－2，－1)
4.【中考·毕节】在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A点的对应点A′的坐标为(　　)
A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4)
5.如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为(　　)
A．(2，2) 2 B.(0，0) 2 C. (2，2) D．(0，0)
6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(　　)
A．(1，2) B．(1，1) C．(，) D．(2，1)
7.【中考·邵阳】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是(　　)
A．2 B．1 C．4 D．2
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为(　　)
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
9.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)，(－1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′，B′，C′.下列说法正确的是(　　)
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(1，0)
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(0，0)
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
10.【2020·重庆】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且位似比为2:1，则线段DF的长度为(　　)
A. B．2 C．4 D．2
11.【中考·潍坊】在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(　　)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C.
D.或
12.在平面直角坐标系中,已知两点A(7,5),B(4,3),先将线段AB向右平移1个单位,再向上平移1个单位,然后以原点O为位似中心,将其缩小为原来的,得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为(　　)
A.(4,3) B.(4,3)或(-4,-3) C.(-4,-3) D.(3,2)或(-3,-2)
二、填空题
13.【中考·本溪】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，位似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________________．
14.【中考·营口】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2，则点B的对应点B1的坐标是___________________．
第14题图 第15题图 第16题图 第18题图
15.【2021·宜宾叙州区期末】如图，△AOB与△COD以O为位似中心的位似图形，A(1，2)，B(3，0)，D(4，0)，则点C的坐标为________．
16.【2020·郴州】如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2，3)，则点A1的坐标是________．
17.【2019·滨州】在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是__________________．
18.如图,A是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,点B,D在y轴的正半轴上,△ABD是△COD关于点D的位似图形,且△ABD与△COD的相似比是1∶3,△ABD的面积为1,则该反比例函数的表达式为　 　.
三、解答题
19.【2020·朝阳】如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－1，3)，C(－1，1)，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2:1.
20.【2020·昆明十中期中】在平面直角坐标系中，将坐标是(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的点用线段依次连接起来形成一个图案．
(1)在如图所示的坐标系中画出这个图案(图案①)．
(2)若将上述各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，再将所得的各点用线段依次连接起来，画出所得的图案(图案②)．
(3)若将上述各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，再将所得的各点用线段依次连接起来，画出所得的图案(图案③)．
(4)图案①与图案②有什么位置关系？图案①与图案③有什么位置关系？
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B'(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A,则点A'的坐标为　 　;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 　.
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出点C1的坐标;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后点D的对应点D2的坐标.
23.正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C1，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标；
(2)求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
24.【中考·盐城】如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋4是“平行一次函数”．
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值；
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1:2，求函数y＝kx＋b的表达式．
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参考答案
一、选择题
1.【2021·长春双阳区期末】如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　A　)
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
第1题图 第2题图 第3题图 第6题图
2.【中考·辽阳】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(　C　)
A．(0，0)　 B．(0，1)　 C．(－3，2)　D．(3，－2)
3.【2020·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作△OAB的位似图形△OCD，位似比为，则点C的坐标为(　A　)
A．(－1，－1) B. C. D．(－2，－1)
4.【中考·毕节】在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A点的对应点A′的坐标为(　　)
A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4)
【点拨】∵△OA′B′与△OAB是以O(0，0)为位似中心的位似图形，且B(0，3)的对应点B′的坐标为(0，－6)，
∴OB∶OB′＝1∶2＝OA∶OA′.
∵A(1，2)，∴A′(－2，－4)．
【答案】A
5.如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为(　A　)
A．(2，2) 2 B.(0，0) 2 C. (2，2) D．(0，0)
6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(　B　)
A．(1，2) B．(1，1) C．(，) D．(2，1)
7.【中考·邵阳】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是(　A　)
A．2 B．1 C．4 D．2
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为(　A　)
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
9.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)，(－1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A′，B′，C′.下列说法正确的是(　　)
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(1，0)
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(0，0)
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
【点拨】∵△ABC三个顶点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)，(－1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，∴点A′，B′，C′的坐标分别为(2，4)，(－4，6)，(－2，0)，∴直线AA′，BB′，CC′的表达式分别为y＝2x，y＝－x，y＝0，∴对应点的连线交于原点，∴△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(0，0)．
本题易错点在未求得直线AA′，BB′，CC′的表达式，从而无法判断位似中心．
【答案】B
10.【2020·重庆】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且位似比为2:1，则线段DF的长度为(　D　)
A. B．2 C．4 D．2
11.【中考·潍坊】在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(　B　)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C.
D.或
【点拨】点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(m×2，n×2)或(m×(－2)，n×(－2))，即(2m，2n)或(－2m，－2n)．故选B.
易错总结：本题易忽略其中一种情况，应考虑全面．
12.在平面直角坐标系中,已知两点A(7,5),B(4,3),先将线段AB向右平移1个单位,再向上平移1个单位,然后以原点O为位似中心,将其缩小为原来的,得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为(　B　)
A.(4,3) B.(4,3)或(-4,-3) C.(-4,-3) D.(3,2)或(-3,-2)
【提示】易得点A,B平移后的对应点的坐标为A'(8,6),B'(5,4),则点A'的对应点C的坐标为(4,3)或(-4,-3).
二、填空题
13.【中考·本溪】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，位似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________________．
【点拨】以点O为位似中心，位似比为，把△ABO缩小，点A的坐标是(4，2)，则点A的对应点A1的坐标为或，即(2，1)或(－2，－1)．
【答案】(2，1)或(－2，－1)
14.【中考·营口】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2，则点B的对应点B1的坐标是___________________．
【答案】(4，2)或(－4，－2)
第14题图 第15题图 第16题图 第18题图
15.【2021·宜宾叙州区期末】如图，△AOB与△COD以O为位似中心的位似图形，A(1，2)，B(3，0)，D(4，0)，则点C的坐标为________．
【答案】
16.【2020·郴州】如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2，3)，则点A1的坐标是________．
【答案】
17.【2019·滨州】在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是__________________．
【点拨】以原点O为位似中心，考虑位似图形是在原点的同侧和异侧两种情况，本题易丢掉其中一种情况而致错．
【答案】(－1，2)或(1，－2)
18.如图,A是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,点B,D在y轴的正半轴上,△ABD是△COD关于点D的位似图形,且△ABD与△COD的相似比是1∶3,△ABD的面积为1,则该反比例函数的表达式为　 　.
【答案】y=
三、解答题
19.【2020·朝阳】如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－1，3)，C(－1，1)，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2:1.
解：如图，△A2B2C2即为所求．
20.【2020·昆明十中期中】在平面直角坐标系中，将坐标是(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的点用线段依次连接起来形成一个图案．
(1)在如图所示的坐标系中画出这个图案(图案①)．
解：图略．
(2)若将上述各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，再将所得的各点用线段依次连接起来，画出所得的图案(图案②)．
解：将点(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，得(0，－4)，(1，0)，(2，－4)，(3，0)，(4，－4)，然后描点连线，图略．
(3)若将上述各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，再将所得的各点用线段依次连接起来，画出所得的图案(图案③)．
解：将点(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，得(0，4)，(－1，0)，(－2，4)，(－3，0)，(－4，4)，然后描点连线，图略．
(4)图案①与图案②有什么位置关系？图案①与 图案③有什么位置关系？
解：图案①与图案②关于x轴对称，图案①与图案③关于y轴对称．
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B'(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A,则点A'的坐标为　 　;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 　.
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
(1)①　(5,6)　
②　1∶2　
解:(2)△A'B'C'的面积=4m.
22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出点C1的坐标;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后点D的对应点D2的坐标.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,点C1的坐标为(3,2).
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求,点C2的坐标为(-6,4).
(3)点D2的坐标为(2a,2b).
23.正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C1，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标；
解：如图所示，正方形A1A2B1C1，正方形A2A3B2C2，…，正方形AnAn+1BnCn的位似中心的坐标为(0，0)．
(2)求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
解：∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，
点A1的坐标为(1，0)，
∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，
则OA3＝A3C3＝4，
∴可得OA4＝A4C4＝8，OA5＝16，
故A4 (8，0)，A5(16，0)，B4 (16，8)，C4(8，8)．
24.【中考·盐城】如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋4是“平行一次函数”．
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值；
解：由已知得k＝－2，
把点(3，1)的坐标和k＝－2代入y＝kx＋b，得1＝－2×3＋b，
∴b＝7.
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1:2，求函数y＝kx＋b的表达式．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，根据数形结合思想利用待定系数法进行分类讨论，即可求出函数表达式．
解：如图，根据相似比为1∶2得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过点(1，0)
和(0，2)，这时函数表达式为y＝－2x＋2；
②不经过第一象限时，过点(－1，
0)和(0，－2)，这时函数表达式
为y＝－2x－2.