参考答案
一、选择题：
1-5： CCCBC 6-10: BDCAC
二、填空题：
11、25； 12、北偏东50°； 13、7或25； 14、 ； 15、20； 16、3-2.
三、解答题：
17、解：如图，由题意知AB=3，CD=14﹣1=13，BD=24．
过A作AE⊥CD于E．则CE=13﹣3=10，AE=24，
∴在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
18、解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
故152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解之得：x＝9．
∴AD＝12．
∴S△ABC＝BC AD＝×14×12＝84．
19、解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km.
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502+x2＝（80﹣x）2+302，
解得x＝30．
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．
20、 证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
21、 解：∵AB=BD=5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，
∴5秒时P点运动路程为2×5=10（厘米），
而AB+BD=10厘米，
∴此时P与D重合．
∵AB=BC=CD=5厘米，动点Q从点D出发（D→C→B→A）
到A，速度为2.8厘米/秒，
∴5秒时Q点运动路程为2.8×5=14（厘米），
而DC+CB+BA=15厘米，
∴Q在AB边上，且BQ=4厘米，如图．
在△BPQ中，∵BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP=5厘米，
∴BQ2+PQ2=BP2，
∴△BPQ为直角三角形，∠BQP=90°，
∴∠AQP=180°﹣∠BQP=90°，
∴△APQ为直角三角形．
22、证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAF =2∠DAE
∵∠BAC =2∠DAE，
∴∠BAC =∠DAF，
∠BAD=∠BAC ﹣∠CAD，∠CAF=∠DAF﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∵α=45°
∴∠BAC =∠DAF=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△ABD≌△ACF
∠ACF=∠ABC=45°
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
∴DE2=BD2+CE2；
（3）DE2=BD2+CE2还能成立．
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，
∵由（2）得∠BAC =90°，∠BAD=∠CAF，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
∴DE2=BD2+CE2．
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1四川省金堂县实验中学
2021秋八上数学质量监测题一第一章勾股定理
本试卷分A类和B类，满分120分；考试时间：90分钟.其中A类19个题，B类（标有*）3个题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．11，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12
2．（2021 常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
3．（2021 山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
4．如图，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
6．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
7．在△中，若，则△是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
8．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
9．（2020 河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45° D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
10．（2020 广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
二、填空题（11-14每小题4分，15、16每小题5分，共26分）
11．如图中阴影部分为正方形，其面积为 厘米2.
12．（2021 玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 ____________方向航行．
13．已知直角三角形的两边长为3、4，则第三条边长的平方是= .
14．（2021 齐齐哈尔改编）直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
*15．（2020 雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”
四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
*16. （2020 绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 ．
三、解答题（第17、18、19、20题各10分, 21、22题各12分，共64分）
17．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
18．（2016 益阳）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
19．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
20．（2014 温州）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．
求证：a2+b2＝c2
证明：连接
∵S五边形ACBED＝
又∵S五边形ACBED＝
∴
∴a2+b2＝c2．
21． 如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．
*22．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADB≌△AFC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；
（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．
第4题
第8题
第9题
第10题
第11题
第16题
第15题
第19题
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