抛物线模型-新高考数学核心知识点全透视（全国通用解析版）
抛物线模型
抛物线秒杀小题常用结论
(1)抛物线定义：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．如图(17)
图(17) 图(18)
(2)设A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·y0＝p．
(3)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，则有以下结论：
①x1x2＝，y1y2＝－p2；
②若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；如图(18)
③＋＝为定值；如图(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；如图(18)
⑤S△AOB＝(其中θ 为直线AB的倾斜角)；如图(18)
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(19)
图(19) 图(20)
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(20，21)
图(21) 图(22)
⑧以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(22)
⑨A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线；
⑩已知M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，点N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，则|MN|min＝
(4)如图(23)所示，AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：
图(23)
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－；②两切线互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④点P的坐标为．
【例题选讲】
[例3] (15)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A． B． C．或 D．或
答案 C 解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为．
(16)(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
答案 2 解析 法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
(17)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．
答案 4 解析 [一般解法] 设AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[应用结论]法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′(图略)，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，易知∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4．
法二：设直线AB的倾斜角为α，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，＝＋＝，∴p＝4．
(18)(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
答案 6 解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF．
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2．∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．
(19)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C． D．
答案 C 解析 [一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故选C．
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
(20)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B． C．5 D．6
答案 B 解析 [一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2．则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝．
法二 因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
(21)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 [一般解法] 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6．因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝．联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝．根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝．
[应用结论] 由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝．
(22)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 解法1 设过P点的直线方程为y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±．∴直线PA，PB的方程分别为y＝(1＋)(x－2)－1，y＝(1－)·(x－2)－1，分别令y＝0，可得E(＋1，0)，F(1－，0)，即|EF|＝2．∴S△PEF＝×2×1＝，易求得A(2＋2，3＋2)，B(2－2，3－2)，∴直线AB的方程为y＝x＋1，|AB|＝8，又原点O到直线AB的距离d＝，∴S△OAB＝×8×＝2．∴△PEF与△OAB的面积之比为．故选C．
解法2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，则＝＝．
【对点训练】
23．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
23．答案 B 解析 分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′(图略)，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°，故选B．
24．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且|AP|＝|AF|＝3，则直线l的斜率为( )
A．±1 B． C．± D．2
24．答案 C 解析 因为点A在抛物线y2＝4x上，且|AP|＝|AF|＝3，点P在抛物线的准线上，由抛物线
的定义可知，AP⊥准线，设A(x，y)，则|AP|＝x＋＝x＋1＝3，解得x＝2，所以y2＝8，故A(2，±2)，故P(－1，±2)，又F(1，0)，所以直线l的斜率为kPF＝＝±．故选C．
25．已知直线l：y＝kx－k(k∈R)与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2＝，则实数k等于( )
A．± B．±1 C．± D．±2
25．答案 C 解析 抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点．当k>0时，
如图所示，
过点M作MM′垂直于准线x＝－1，垂足为M′，由抛物线的定义，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN与直线l的倾斜角相等，由2＝，得cos∠M′MN＝＝，则tan∠M′MN＝，∴直线l的斜率k＝；当k<0时，可得直线l的斜率k＝－．故选C．
26．已知抛物线M：y2＝4x，过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，且交抛物线的准线于点E．若＝2，则直线l的斜率为( )
A．3 B．2 C． D．1
26．答案 B 解析 分别过A，B两点作AD，BC垂直于准线，垂足分别为D，C，由＝2，
得B为AE的中点，∴|AB|＝|BE|，则|AD|＝2|BC|，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，∴|AB|＝3|BC|，∴|BE|＝3|BC|，则|CE|＝2|BC|，∴tan∠CBE＝＝2，∴直线l的斜率k＝tan∠AFx＝tan ∠CBE＝2．
27．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
A． B． C． D．
27．答案 D 解析 解法1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2．由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4．由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，∴－4＝5，∴k2＝，k＝．
解法2 设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k＞0，所以点B的坐标为(1，2)，所以k＝＝．故选D．
28．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________．
28．答案 0 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＝－，得＋＝－，y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，kAC＝＝，kBC＝＝，所以＋＋＝＋＋＝＝0．
29．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与y轴交于点D，过点F作直线交抛物线E于A，B
两点，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，则p的值为________．
29．答案 2 解析 当k不存在时，直线与抛物线不会交于两点．当k存在时(如图)，设直线AB的方程
为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D．则有x＝2py1，x＝2py2，联立直线与抛物线方程得整理得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，x1＋x2＝2pk，所以y1y2＝＝，＝，＝．又AB⊥AD，所以－x1(－x1)＋＝0，整理得x＋y＝，即2py1＋y＝，解得y1＝p．因为y1y2＝，所以y2＝p，又|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，代入|BF|＝|AF|＋4得，y2＋＝y1＋＋4．解得p＝2．
30．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.
30．答案 解析 法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝．设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝．
法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝＝，∴|PF|＝＝．
31．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂
足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．
31．答案 6 解析 由抛物线方程为y2＝6x，所以焦点坐标F，准线方程为x＝－，因为直线AF的斜率为－，所以直线AF的方程为y＝－，
当x＝－时，y＝3，所以A，因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝－＝6．
32．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于( )
A．2 B． C．2 D．3
32．答案 A 解析 由抛物线C：y2＝4x，得焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥QF，所以四边形QMRF为平行四边形，|FR|＝|QM|，又由PQ垂直l于点Q，可知|PQ|＝|PF|，因为∠NFR＝60°，所以△PQF为等边三角形，所以FM⊥PQ，所以|FR|＝2，故选A．
33．已知y2＝4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y2＝4x于A，B，两点∠AFB＝60°，则|AB|等于( )
A． B． C．4 D．3
33．答案 B 解析 设A(x1,2)，B(x2,2)，x2>x1>0，因为kQA＝kQB，即＝，整理化简得x1x2＝1，|AB|2＝(x2－x1)2＋(2－2)2，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，代入余弦定理|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|cos60°，整理化简得，x1＋x2＝，又因为x1x2＝1，所以x1＝，x2＝3，|AB|＝＝，故选B．
34．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．
34．答案 解析 (1)依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝(y－1)．由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，Δ＝(－10)2－4×3×3>0，y1＋y2＝，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝．
35．已知直线l过抛物线C：y2＝3x的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若＝，则|AB|＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
35．答案 B 解析 如图所示：
不妨设A在第一象限，由抛物线C：y2＝3x可得F，准线DP：x＝－．因为＝，所以F是AP的中点，则AD＝2CF＝3.所以可得A，则kAF＝，所以直线AP的方程为：y＝，联立方程，整理得：x2－x＋＝0，所以x1＋x2＝，则|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝4．故选B．
36．(2017·全国Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A． B．2 C．2 D．3
36．答案 C 解析 由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3．由M在x轴的上方，得M(3，2)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4．又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×＝2．
37．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2＋－3＝0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．
37．答案 解析 依题意得，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程是y＝－1，因为2(－)＋(－)＝0，即2＋＝0，所以F，A，B三点共线．设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4 ①；又2＋＝0，因此2x1＋x2＝0 ②．由①②解得x＝2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝(y1＋y2)＋1＝(x＋x)＋1＝＋1＝．
38．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝( )
A． B．2 C． D．5
38．答案 C 解析 由题意，知抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，由得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2．又|PF|＝|PP1|，所以＝＝＝＝，故选C．
39．已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝|PF|，则△PKF的面积为________．
39．答案 8 解析 由已知得，F(2，0)，K(－2，0)，过P作PM垂直于准线于点M，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2,2m)(m＞0)，则m2＋2＝4，解得m＝，故△PFK的面积S＝4×2××＝8．
40．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF
的面积为( )
A．1 B． C．2 D．2
40．答案 C 解析 (1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则＝＝＝，则cos∠AMP＝，又0°<∠MAF<180°，则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，设M(m，)，则由|MP|＝|MA|得|m＋1|＝，解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2．
41．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
41．答案 C 解析 由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A，m>0，过F作FM⊥AH于M，则在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4．故选C．
42．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F ，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10，0)，则△AOB的面积为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
42．答案 C 解析 设直线l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由可以得到y2－8ty－16＝0，所以AB的中点M(4t2＋2,4t)，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10,0)，故t≠0．所以AB的中垂线的方程为y＝－(x－4t2－2)＋4t＝－·x＋8t＋，令y＝0可得x＝8t2＋2，解方程10＝8t2＋2得t＝±1．此时AB＝ |y1－y2|＝8 ＝16，O到AB的距离为d＝＝，所以SΔOAB＝×16×＝8．故选C．
43．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A． B． C． D．2
43．答案 C 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，
所以x1＝2，y1＝2．设AB的方程为x－1＝ty，由消去x，得y2－4ty－4＝0．所以y1y2＝－4．所以y2＝－，x2＝，所以S△AOB＝×1×|y1－y2|＝．
44．已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，＝3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为( )
A． B． C． D．
44．答案 C 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，所以y1＝－3y2，设直线l的方程为x＝my＋1，由消去x得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，∴∴y1＋y2＝4m＝，∴m＝，∴x1＋x2＝，AB的中点坐标为，过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y－＝－，令y＝0，可得x＝，所以S△ABG＝××＝．
45．已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝( )
A．4 B．6 C．8 D．10
45．答案 B 解析 (1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，
x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6．
46．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
46．答案 D 解析 由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(4，4)．又∵抛物线的焦点为F(1，0)，∴＝(0，2)，＝(3，4)．∴·＝0×3＋2×4＝8．故选D．
47．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1，0)，当取得最小值时，直线AP的方程为________．
47．答案 x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0 解析 设P点的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，∴2＝＝1－＝1－≥1－＝1－＝，当且仅当16t2＝，即t＝±时取等号，此时点P坐标为(1，2)或(1，－2)，此时直线AP的方程为y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0．
48．已知点P(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A，B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点( )
A． B．(1，0) C．(2，0) D．(－2，0)
48．答案 B 解析 根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x＝ty＋m(t≠0)，与抛物线方程联立，消元得y2－2ty－2m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP，BP的斜率互为相反数，所以＋＝0，所以2ty1y2＋(m＋1)(y1＋y2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t(－2m)＋2tm＋2t＝0，2t(m－1)＝0，因为t≠0，所以m＝1，所以过定点(1，0)，故选B．
49．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)和动直线l：y＝kx＋b(k，b是参变量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，平面直角坐标系的原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，且kOA·kOB＝恒成立，则当k变化时，直线l经过的定点为________．
49．答案 解析 联立消去y，得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∵kOA·kOB＝，∴y1y2＝x1x2，又∵y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，∴＝·，解得b＝，∴y＝kx＋＝k．令x＝－，得y＝0，∴直线l过定点．
50．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，0) D．(1，0)
50．答案 B 解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2，又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过点(0，2)．
51．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点．若＝m，则m的值为________．
51．答案 3 解析 由题意知F(1,0)，由解得由A在x轴
上方，知A(3，2)，B，则＝(－2，－2)，＝，因为＝m，所以m＝3．
52．设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且＝λ(λ>0)，若|MF|＝4，则λ等于( )
A． B．2 C． D．3
52．答案 D 解析 如图，过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得＝＝，
又|MF|＝4，∴|MM′|＝4，又|FF′|＝6，∴＝＝，∴λ＝3．故选D．
53．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为( )
A． B． C．2 D．3
53．答案 C 解析 把点A代入抛物线的方程得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1，0)，设M，则＝，＝(－1－，－yM)，由＝λ，得解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C．
54．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点，令＝λ1，＝λ2，则当α＝时，λ1＋λ2的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
54．答案 B 解析 由题意知焦点的坐标为F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当α＝时，直线AB的方程
为y＝x－，与抛物线方程联立得3x2－10x＋3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，解得x1＝3，x2＝，由题图可知，λ1＝＝＝＝3，∵α＝，∴λ2＝＝2，∴λ1＋λ2＝5．故选B．
55．如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
55．答案 B 解析 由题意得，焦点F(0,1)，对于①，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，得消去x，得y2－6y＋1＝0，所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝，则lAM：y－yA＝(x－xA)，即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)，即y＝xBx－，联立lAM与lBM的方程得解得M．设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，得消去y，得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，所以yM＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，xM＝2，则④错误，故选B．
第14页抛物线模型-新高考数学核心知识点全透视（全国通用原卷版）
抛物线模型
抛物线秒杀小题常用结论
(1)抛物线定义：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．如图(17)
图(17) 图(18)
(2)设A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·y0＝p．
(3)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，则有以下结论：
①x1x2＝，y1y2＝－p2；
②若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；如图(18)
③＋＝为定值；如图(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；如图(18)
⑤S△AOB＝(其中θ 为直线AB的倾斜角)；如图(18)
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(19)
图(19) 图(20)
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(20，21)
图(21) 图(22)
⑧以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(22)
⑨A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线；
⑩已知M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，点N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，则|MN|min＝
(4)如图(23)所示，AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：
图(23)
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－；②两切线互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④点P的坐标为．
【例题选讲】
[例3] (15)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A． B． C．或 D．或
答案 C 解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为．
(16)(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
答案 2 解析 法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
(17)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．
答案 4 解析 [一般解法] 设AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[应用结论]法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′(图略)，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，易知∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4．
法二：设直线AB的倾斜角为α，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，＝＋＝，∴p＝4．
(18)(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
答案 6 解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF．
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2．∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．
(19)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C． D．
答案 C 解析 [一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故选C．
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
(20)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B． C．5 D．6
答案 B 解析 [一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2．则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝．
法二 因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
(21)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 [一般解法] 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6．因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝．联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝．根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝．
[应用结论] 由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝．
(22)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 解法1 设过P点的直线方程为y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±．∴直线PA，PB的方程分别为y＝(1＋)(x－2)－1，y＝(1－)·(x－2)－1，分别令y＝0，可得E(＋1，0)，F(1－，0)，即|EF|＝2．∴S△PEF＝×2×1＝，易求得A(2＋2，3＋2)，B(2－2，3－2)，∴直线AB的方程为y＝x＋1，|AB|＝8，又原点O到直线AB的距离d＝，∴S△OAB＝×8×＝2．∴△PEF与△OAB的面积之比为．故选C．
解法2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，则＝＝．
【对点训练】
23．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
24．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且|AP|＝|AF|＝3，则直线l的斜率为( )
A．±1 B． C．± D．2
25．已知直线l：y＝kx－k(k∈R)与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2＝，则实数k等于( )
A．± B．±1 C．± D．±2
26．已知抛物线M：y2＝4x，过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，且交抛物线的准线于点E．若＝2，则直线l的斜率为( )
A．3 B．2 C． D．1
27．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
A． B． C． D．
28．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则
＋＋＝________．
29．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与y轴交于点D，过点F作直线交抛物线E于A，B两点，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，则p的值为________．
30．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.
31．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．
32．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于( )
A．2 B． C．2 D．3
33．已知y2＝4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y2＝4x于A，B，两点∠AFB＝60°，则|AB|等于( )
A． B． C．4 D．3
34．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．
35．已知直线l过抛物线C：y2＝3x的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若＝，则|AB|＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
36．(2017·全国Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A． B．2 C．2 D．3
37．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2＋－3＝0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．
38．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝( )
A． B．2 C． D．5
39．已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝|PF|，则△PKF的面积为________．
40．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为( )
A．1 B． C．2 D．2
41．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
42．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F ，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10，0)，则△AOB的面积为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
43．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A． B． C． D．2
44．已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，＝3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为( )
A． B． C． D．
45．已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝( )
A．4 B．6 C．8 D．10
46．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
47．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1，0)，当取得最小值时，直线AP的方程为________．
48．已知点P(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A，B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点( )
A． B．(1，0) C．(2，0) D．(－2，0)
49．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)和动直线l：y＝kx＋b(k，b是参变量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，平面直角坐标系的原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，且kOA·kOB＝恒成立，则当k变化时，直线l经过的定点为________．
50．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，0) D．(1，0)
51．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点．若＝m，则m的值为________．
52．设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且＝λ(λ>0)，若|MF|＝4，则λ等于( )
A． B．2 C． D．3
53．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为( )
A． B． C．2 D．3
54．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点，令＝λ1，＝λ2，则当α＝时，λ1＋λ2的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
55．如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
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