范围问题模型-新高考数学核心知识点全透视（全国通用解析版）
范围问题模型
圆锥曲线中范围问题求解的基本思路
解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：
建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；
建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．
圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
1．用函数思想解决的模型
【例题选讲】
[例1] (1)若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________．
答案 [3＋2，＋∞) 解析 由题意，得22＝a2＋1，即a＝，设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，则·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝－，因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)．
(2)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆F2，P为椭圆C上一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________．
答案 [5，7] 解析 如图所示，|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝6＋1＝7．又|PF1|＋|PQ|≥|PF1|＋|PF2|－|QF2|＝6－1＝5．∴|PF1|＋|PQ|的取值范围是[5，7]．故答案为：[5，7]．
(3)在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有·≤1，则与的夹角余弦值的范围为________．
答案 解析 设P(x，y)，则Q点(x，－y)，椭圆＋＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，∵·≤1，∴x2－2＋y2≤1，结合＋＝1，可得y2∈[1,2]．故与的夹角θ满足：cos θ＝＝＝＝－3＋∈．
【对点训练】
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
1．答案 (0，] 解析 由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|
＋|PF2|≥2c，∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，整理得e＝≤＝1＋，∵12．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是( )
A．(0，2) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(2，＋∞)
2．答案 D 解析 由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线l的斜率存在且不为0，设
直线l的方程为y＝k(x－2)．由消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝，故x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝，所以kOS＝＝，直线OS的方程为y＝x，代入抛物线方程，解得x3＝，由条件知k2＞0．所以＝＝k2＋2＞2．选D．
3．已知椭圆C：＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有
四个不同的公共点，则a的取值范围是________．
3．答案 解析 因为圆O的圆心在x轴上，则由椭圆和圆的对称性得椭圆C与圆O的四个不
同的公共点两两关于x轴对称，设在x轴上方的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，与椭圆方程联立消去y化简得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，由Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＞0，得b2＜4k2＋1，此时x1＋x2＝－，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝，则AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，令y＝0，得点P的横坐标a＝－，则a2＝＜＝＜，所以－＜a＜．
2．用建立不等关系解决的的模型
【例题选讲】
[例2] (4)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
答案 [2，2) 解析 由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2，2)．
(5)已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是______________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析 根据题意得到△C1AB的面积为r2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C1AB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d＝1，根据点到直线的距离公式得到＝1 1＋k2＝(1＋t)2 k2＝t2＋2t，直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线方程得到x2－2kx－2t＝0 ，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k2＋8t＝4t2＋16t>0 ，解得t的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
(6)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cos θ，|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝．由≤θ<π得－1(7)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是________．
答案 [10，＋∞) 解析 由题得A，B，∵M在直线3x＋4y＋25＝0上，设点M，∴＝，＝，又∠AMB＝90°，∴·＝＋2＝0，即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p2)≥0，解得p≥10或p≤－10，又p>0，∴p的取值范围是[10，＋∞)．
(8)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则·的最小值的取值范围是________．
答案 解析 设P(m，n)，则－＝1，即m2＝a2．又F1(－1,0)，F2(1,0)，则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1＝n2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以·的最小值为a2－1．由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，即·的最小值的取值范围是．
(9)如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4，5] B．[7，8] C．[6，7] D．[5，6]
答案 B 解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7，8]，故选B．
【对点训练】
4．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．答案 A 解析 由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0，点P在椭圆上，则y＝1－，故x＋－3<0，解得－5．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3，0) D．(－2，0)
5．答案 A 解析 因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3．故选A．
6．(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
6．答案 A 解析 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9．故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)．
7．如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6，12) B．(8，10) C．(6，10) D．(8，12)
7．答案 B 解析 由题意可得，抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离，由，得y＝3，又点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，选B．
8．已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
8．答案 (0，4) 解析 解法一：由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，当点P趋近于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F1，此时|OM|趋近于＝4，所以|OM|的取值范围为(0，4)．
解法二：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，
∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝(|PF1|－|PF2|)，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝．|2|PF1|－10|＝|PF1－5|，又|PF1|∈(1，5)∪(5，9)，∴|OM|∈(0，4)，故|OM|的取值范围是(0，4)．
9．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是 ．
9．答案 (2，＋∞) 解析 设直线l：x＝2y＋t，联立抛物线方程消去x得y2＝2p(2y＋t) y2－4py－2pt＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16p2＋8pt>0 t>－2p，y1＋y2＝4p，y1y2＝－2pt>0 t<0，即－2p2，即k1＋k2的取值范围是(2，＋∞)．
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e的取值范围为，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，O是坐标原点，且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是( )
A．[， ] B．[， ] C．[， ] D．[， ]
10．答案 C 解析 联立消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由OM⊥ON，得x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0，化简得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，∴－＋1＝0，化简得b2＝，∵e＝＝，∴e2＝1－，∵e∈，∴e2∈，∴1－∈，∴≤≤，∴≤≤，∴≤a2≤，∴≤a≤，∴≤2a≤，即椭圆的长轴长的取值范围为[， ]，故选C．
第7页范围问题模型-新高考数学核心知识点全透视（全国通用原卷版）
范围问题模型
圆锥曲线中范围问题求解的基本思路
解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：
建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；
建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．
圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
1．用函数思想解决的模型
【例题选讲】
[例1] (1)若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为________．
答案 [3＋2，＋∞) 解析 由题意，得22＝a2＋1，即a＝，设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，则·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝－，因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)．
(2)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心作半径为1的圆F2，P为椭圆C上一点，Q为圆F2上一点，则|PF1|＋|PQ|的取值范围为________．
答案 [5，7] 解析 如图所示，|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|QF2|＝6＋1＝7．又|PF1|＋|PQ|≥|PF1|＋|PF2|－|QF2|＝6－1＝5．∴|PF1|＋|PQ|的取值范围是[5，7]．故答案为：[5，7]．
(3)在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有·≤1，则与的夹角余弦值的范围为________．
答案 解析 设P(x，y)，则Q点(x，－y)，椭圆＋＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，∵·≤1，∴x2－2＋y2≤1，结合＋＝1，可得y2∈[1,2]．故与的夹角θ满足：cos θ＝＝＝＝－3＋∈．
【对点训练】
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，
3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
2．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR
并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是( )
A．(0，2) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(2，＋∞)
3．已知椭圆C：＋y2＝1，P(a，0)为x轴上一动点．若存在以点P为圆心的圆O，使得椭圆C与圆O有
四个不同的公共点，则a的取值范围是________．
2．用建立不等关系解决的的模型
【例题选讲】
[例2] (4)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
答案 [2，2) 解析 由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2，2)．
(5)已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是______________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析 根据题意得到△C1AB的面积为r2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C1AB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d＝1，根据点到直线的距离公式得到＝1 1＋k2＝(1＋t)2 k2＝t2＋2t，直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线方程得到x2－2kx－2t＝0 ，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k2＋8t＝4t2＋16t>0 ，解得t的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
(6)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cos θ，|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝．由≤θ<π得－1(7)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是________．
答案 [10，＋∞) 解析 由题得A，B，∵M在直线3x＋4y＋25＝0上，设点M，∴＝，＝，又∠AMB＝90°，∴·＝＋2＝0，即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p2)≥0，解得p≥10或p≤－10，又p>0，∴p的取值范围是[10，＋∞)．
(8)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则·的最小值的取值范围是________．
答案 解析 设P(m，n)，则－＝1，即m2＝a2．又F1(－1,0)，F2(1,0)，则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1＝n2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以·的最小值为a2－1．由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，即·的最小值的取值范围是．
(9)如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4，5] B．[7，8] C．[6，7] D．[5，6]
答案 B 解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7，8]，故选B．
【对点训练】
4．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3，0) D．(－2，0)
6．(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
7．如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6，12) B．(8，10) C．(6，10) D．(8，12)
8．已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
9．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是 ．
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e的取值范围为，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，O是坐标原点，且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是( )
A．[， ] B．[， ] C．[， ] D．[， ]
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