1.5 三角函数的应用课件 北师大版九年级数学下册（50张）

(共50张PPT)
中物理
北师大版 数学九年级下册
第1章 直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点）
2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角
的问题.(难点)
学习目标
A
B
C
a
b
c
1.在Rt△ABC中， ∠C=90。
⑴ 三边之间的关系：
⑵ 锐角之间的关系：
⑶ 边角之间的关系：
回顾与复习
2. 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
三角函数
锐角A
3. 解直角三角形
如下图：
已知 求a 求b 求c
a、∠A ---
a、∠B ---
b、∠A ---
b、∠B ---
c、∠A ---
c、∠B ---
tanA
sinA
sinA
cosA
cosA
tanA
cosB
tanB
tanB
sinB
sinB
cosB
1.方向角：
如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
4. 在解直角三角形及应用时经常接触的概念
　 2.仰角和俯角：
如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．
仰角
俯角
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
3.坡度和坡角：
如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．
坡角
坡度
l
h
α
α为坡角
坡度和坡角有什么区别？
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
情景引入
引例 如图，一船以20 n mile/h 的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行 1 h 到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知灯塔C四周 10 n mile内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？
A
C
B
60°
与方位角有关的实际问题
一
讲授新课
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
解：由点C作CD⊥AB,
设CD= x ,
则在Rt△ACD中，
在Rt△BCD中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
A
C
B
D
30°
60°
北
东
由AB=AD-BD,得
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
试一试
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
65°
34°
P
B
C
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
方法归纳
图片欣赏
仰角和俯角问题
二
D
A
B
C
┌
50m
30
60
例1 欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
探究二
D
A
B
C
┌
50m
30
60
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30°,
∠DBC=60°,AB=50m. 设CD=x,
则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
例 如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)
分析：要求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.
解：在Rt△ABC中，
在Rt△ACD中，
∴BD＝BC－DC
例 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．
例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，
α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中，
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：旗杆的高度为15.2m.
练一练
探究三
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
利用坡角解决实际问题
三
探究三
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
如图，AC⊥BC，∠ADC＝40°，∠BAD＝35°，BD＝4m.
（1）求AB-BD.
（2）AD的长度.
（1）解:如图,根据题意可知,
∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m.
A
B
C
D
┌
4m
35°
40°
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
（2）解:如图,根据题意可知,
∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m.
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
例 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
　 DE＝CF＝4（米），
　 CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
　　答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
◆ 运用三角函数解应用题时，有时适当地添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形，使问题得以解决.
◆ 要注重数形结合，把实际问题转化为数学问题，正确选择三角函数
◆充分利用方程思想，使问题简化
1. 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少 (结果精确到0.01m).
E
B
C
D
2m
40°
5m
随堂练习
解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
∴∠BDE≈51.12°.
E
B
C
D
2m
40°
5m
答:钢缆ED的长度约为7.96m.
2 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
解答问题需要有条有理
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小;
过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
∴∠ABC≈17°8′21″.
答:坡角∠ABC约为17°8′21″.
计算需要空间想象力
解:如图,(2)如果坝长100m，那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
当堂练习
图1
图2
B
C
B
C
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，∠CAB=45°，
则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）．
图3
图4
5.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________.
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD= OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= AD= km．
即该船航行的距离为 km．
6. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＋BD＝AB，
∴在Rt△BCD中，
∴AC＋BC＝
在Rt△ACD中，
750－600＝150(km)．
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.
【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
7.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60 ，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）．
解：在Rt△ABO中，
∵tan∠BOA= =tan60°=
∴AB=BO tan60°=4 × =4 （米）
答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米.
8.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为1∶3，斜坡CD的坡度为1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知
BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
在Rt△ABE中
在Rt△DCF中，同理可得
=69+6+57.5=132.5m
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
(2) 斜坡CD的坡度为tanα=1：2.5=0.4，
由计算器可算得
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.
如图，20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响
请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在
多少小时内卸完货物
(供选用数据： )
拓展延伸，升华知识
解：(1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.
依题意，得∠BAC＝30°，在
Rt△ABD中，
∴B处会受到台风影响.
(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120. .
∴ (小时). 因此，该船应在3.8小时内
卸完货物.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
解题思路导图
实际问题
图形分析
生活问题数学化
（构造直角三角形）
设未知量
解答问题
（构建三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
数学问题
建立方程
THANKS
“
”