九年级下册数学（华师大版） 27.3 圆中的计算问题--- 弧长和扇形的面积（共33张）

(共33张PPT)
九年级（下）
新华东师大版第27章 圆
温故知新
（Ⅰ）圆的周长公式：
（Ⅱ）圆的面积公式：
情境激疑
问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径100m,圆心
角为90°,你能求出这段铁轨的长度吗？
如果圆心角是任意角度，如何计算它所对的弧长呢？
我们容易看出这段铁轨是圆周长的
故铁轨的长度为：
探究发现
思考：下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
90°
45°
n°
180°
圆心角占
整个周角的
所对弧长是
通过刚才的计算，你有何收获呢？
探究发现
思考：如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么
探究发现
（1）在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数,在应用公式计算
时，“n”和“180”可不写单位；
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，
弧长的计算公式为：
（2）若题目中没有标明精确度，可以用“ ”表示弧长；
（3）要正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念：度数相等的弧，弧长
不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧.要充分注意：只有
在同圆或等圆中，才可能是等弧，才有这三者的统一。
学以致用
【方法点拨】在弧长公式中有三个未知量：弧长、半径、圆心角的度数,
利用弧长公式可解决已知这三个量中的两个量求第三个量的问题。
例 1
若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此时扇形的弧长是（ ）
A、 B、 C、 D、
B
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学 以 致 用
1.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为
（ ）
A、 B、 C、 D、
A、 B、 C、 D、
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O的半径为2，
∠B=135°，则ABC的长为（ ）
C
C
O
A
B
C
D
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例 2
如图，已知⊙O半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦
BC//AO，若∠A=30°，求劣弧BC的长。
B
C
A
O
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学 以 致 用
2.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上,按顺时针方向转动一次,
使它转到△A'BC '的位置。若BC=1，∠A=30°。求点A运动到
A'位置时，点A经过的路线长。
C
A
B
C '
A'
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3.如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，C是⊙O1上的一点，O1C交⊙O2于点B，若⊙O1的半径为5cm，AC的长等于⊙O1周长的 ,
求AB的长。
B
A
O1
O2
C
学以致用
【方法点拨】求弧长需要的两个条件：（1）弧所在圆的半径；（2）弧
所对的圆心角。当题中没有直接给出这两个条件时,则需利用圆的相关
知识：弦、弦心距、圆周角、切线等求出圆的半径或弧所对的圆心角.
例 3
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD
的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF= 米，则这段弯路的长度为（ ）
A、 米 B、 米
C、 米 D、 米
D
E
C
O
F
A
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4.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L（单位：mm，精确到1mm）
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5.秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面0.5m。某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板距地面2m（左右对称），如图，则该秋千荡过的圆弧长为（ ）
A、 B、 C、 D、
O
F
A
B
E
D
B
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扇形：如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
O
A
B
n°
l
r
r
探究发现
思考：下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？
90°
45°
n°
180°
圆心角占
整个周角的
扇形面积
通过刚才的计算，你有何收获呢？
探究发现
如果设圆心角是n的扇形面积为S,圆的半径为r,那么扇形的面积为：
A
B
O
O
180
R
n
l
p
=
探究发现
若设圆心角是n的扇形面积为S,圆的半径为r,则扇形的面积为：
探究发现
（Ⅰ）应用方法：
（Ⅱ）特别注意：
（1）当已知半径r和圆心角求扇形面积时，选用公式
（2）当已知半径r和弧长求扇形的面积时，选用公式
（1）已知S,l,n,r四个量中的任意两个量,可以求出另外两个量；
（2）在扇形公式 中，n，360不带单位。
学以致用
例 4
如图，在□ABCD中，∠B=60°,⊙C的半径为3,则图中阴影部分
？
的面积是（ ）
C
A
B
C
D
A、 B、 C、 D、
【变式】如图,分别以□ABCD四个顶点为圆心,1cm为半径作⊙A、⊙B、
⊙C 、⊙D，求图中阴影部分的面积之和。
A
B
D
C
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例 5
如图,分别以△ABC三个顶点为圆心,1cm为半径作⊙A、⊙B、⊙C
求图中阴影部分的面积之和。
A
B
B
B
A
C
【拓展】如图,依次以三角形、四边形、……、n边形的各顶点为圆心画
半径为1的圆,且圆与圆之间两两不相交。把三角形与各圆重叠部分面积
之和记为S3,四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4, ……,n边形与各圆
重叠部分面积之和记为Sn,求S90的值。
A
B
C
D
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学 以 致 用
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，求这个扇形的面积；
2.已知扇形面积为 ，圆心角为60°，求这个扇形的半径R；
3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，求这个扇形的面积。
4.如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇
形图形，其中∠AOB为120°，OC长为8cm，CA长为12cm，则贴
纸部分的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
A
C
O
B
B
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我是这样想的…
【归纳】解决由弦及其所对的弧组成的图形（即弓形）的方法是：转化
为扇形的面积与三角形的面积之差（和）。
A
例 6
如图,已知扇形AOB的半径为2,圆心角为90°,连结AB,则图中阴影
部分的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
B
A
O
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经 典 数 学
5.如图,AB为⊙O的切线,切点为B,连结AO,AO与⊙O交于点C，
BD为⊙O的直径,连结CD.若∠A=30°,⊙O的半径为2，则图中
阴影部分的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、
O
B
A
C
D
学以致用
例 7
如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜
边BC于点D，求图中阴影部分的面积。
你怎样思考的？
O
C
A
D
B
【技巧】（1）本例中的阴影部分虽然不是规则图形,但它的面积可以转
化为三个规则图形的面积差，因此我们只需分别求出一个扇形面积和
两个三角形面积即可达到目的；（2）求不规则图形面积时,常采用的
方法有：①作差法；②割补法；③拼凑法；④等积变形法；⑤迁移变
换法；⑥化零为整法；⑦平移法。
学以致用
例 8
如图，两个半圆形中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相
【注意】利用平移等图形变换可将不规则图形面积转化为规则图形面积
的和、差进行求解。
切，求图中阴影部分的面积。
B
A
C
D
O
B
A
C
D
O
E
学以致用
例 9
如图，扇形OAB与扇形OCD的圆心角均为90°，连结AC，BD.
【技巧方法】计算不规则图形的面积时，常常通过割补法将不规则图形
的面积转化为及格规则图形面积的和或差的形式。
O
A
B
D
F
C
E
（1）求证：AC=BD；
（2）若图中阴影部分的面积是 ,OA=2cm,求OC的长。
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学 以 致 用
6.如图,已知等边三角形ABC的边长为a,分别以A、B、C为圆心,以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积S.
D
C
F
E
B
A
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学 以 致 用
7.如图，正六边形内接于⊙O,⊙O的半径为10,求图中阴影部分的面积。
O
8.如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，求图中阴影部分三个小扇形的面积和。
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9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置,求
整个旋转过程中线段OH所扫过的面积。
A
H
B
O
C
H1
O1
A1
C1
我的收获是……
这节课我学到了什么？
我还有……的疑惑
小 结
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也不能实现不了。