4.3 一元一次方程的应用课件(共91张PPT)
文档属性
| 名称 | 4.3 一元一次方程的应用课件(共91张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-12 20:44:52 | ||
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文档简介
(共91张PPT)
第四章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤
审
设
找
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设
找
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解 解方程，解所列出的方程，求出未知数的值
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解 解方程，解所列出的方程，求出未知数的值
验 检验，检验所求的数值是否符合题意
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解 解方程，解所列出的方程，求出未知数的值
验 检验，检验所求的数值是否符合题意
答 写出答案
例1 某足球赛一个赛季共进行了16轮比赛（即每队均需赛16场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平的场数比负的场数多3场，结果得27分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是多少？
例1 某足球赛一个赛季共进行了16轮比赛（即每队均需赛16场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平的场数比负的场数多3场，结果得27分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是多少？
解析 设改队负的场数是x，则平了（x+3）场，胜了（16-x-x-3）场，
根据题意，得3（16-x-x-3）+(x+3)=27，解得x=3，
则x+3=6，16-x-x-3=7.
答：这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是7、6、3.
例1 某足球赛一个赛季共进行了16轮比赛（即每队均需赛16场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平的场数比负的场数多3场，结果得27分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是多少？
解析 设改队负的场数是x，则平了（x+3）场，胜了（16-x-x-3）场，
根据题意，得3（16-x-x-3）+(x+3)=27，解得x=3，
则x+3=6，16-x-x-3=7.
答：这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是7、6、3.
归纳总结 这类问题中的基本等量关系：比赛总场数=胜场数+平场数+负场数，比赛总得分=胜场得分+平场得分+负场得分.
知识点二 年龄问题
知识点二 年龄问题
年龄问题的特点：
两人年龄之差永远是不变的，简称“定差”；
两人年龄同时都增加或减少同样的自然数量；
两人之间的年龄倍数关系随着年龄的增长也在发生着变化.
知识点二 年龄问题
年龄问题的特点：
两人年龄之差永远是不变的，简称“定差”；
两人年龄同时都增加或减少同样的自然数量；
两人之间的年龄倍数关系随着年龄的增长也在发生着变化.
特别提示
在年龄问题中，我们可以抓住“差不变”这个特点，利用“和差” “和倍” “差倍”等解答这类应用题.
例2 甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲比乙大6岁 B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
例2 甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲比乙大6岁 B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
解析 设甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x-26）岁，
根据题意，得x＋8＝2（2x-26），解得x＝20，∴2x-26＝14，
故甲现在的年龄是20岁，乙现在的年龄是14岁.
∵20-14＝6，∴甲比乙大6岁.故选A.
例2 甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲比乙大6岁 B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
解析 设甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x-26）岁，
根据题意，得x＋8＝2（2x-26），解得x＝20，∴2x-26＝14，
故甲现在的年龄是20岁，乙现在的年龄是14岁.
∵20-14＝6，∴甲比乙大6岁.故选A.
方法技巧 解决年龄问题的关键是根据年龄差不变的关系，运用题目中年龄的等量关系建立方程求解.
知识点三 形积变化问题
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变
面积不变
体积不变
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变
体积不变
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，变化前后的面积相等是列方程的关键
体积不变
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，变化前后的面积相等是列方程的关键
体积不变 几何体形状发生变化，但变化前后的体积不变（相等），可以根据体积不变列方程
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，变化前后的面积相等是列方程的关键
体积不变 几何体形状发生变化，但变化前后的体积不变（相等），可以根据体积不变列方程
温馨提示 （1）列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量；（2）设未知数时多将图形的长、宽、半径等设为未知数；（3）列方程时要注意所有单位要统一
例3 如图所示，一个长方体玻璃容器，从里面量长为3分米，宽为2分米，高为4分米.向容器中倒入9升水，再把一个苹果放入水中，苹果完全浸没在水中，这时测得容器内的水面的高度是18厘米.问这个苹果的体积是多少？
分析 可设这个苹果的体积是x立方分米，根据长方体的体积公式列出方程计算即可求解.
分析 可设这个苹果的体积是x立方分米，根据长方体的体积公式列出方程计算即可求解.
解析 18厘米＝1.8分米，9升＝9立方分米，
设这个苹果的体积是x立方分米，
根据题意，得x＋9＝3×2×1.8，解得x＝1.8.
故这个苹果的体积是1.8立方分米.
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题
知识 点睛
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题 成本：即进价，商店进货时商品的价格； 标价：商品出售时所标明的价格； 售价：商品出售时的实际价格； 利润率：商品利润与成本的百分比
知识 点睛
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题 成本：即进价，商店进货时商品的价格； 标价：商品出售时所标明的价格； 售价：商品出售时的实际价格； 利润率：商品利润与成本的百分比 1.利润＝商品售价-商品成本；
2.利润率=；
3.打a折销售时，售价=标价×
知识 点睛
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题 成本：即进价，商店进货时商品的价格； 标价：商品出售时所标明的价格； 售价：商品出售时的实际价格； 利润率：商品利润与成本的百分比 1.利润＝商品售价-商品成本；
2.利润率=；
3.打a折销售时，售价=标价×
知识 点睛 1.商品的售价与商品的标价是不同的两个量，它们不一定相等，只有按照标价不打折出售时，售价才等于标价； 2.在商品销售中，利润＝售价-进价（成本），当这个等式右边的结果为正数时，就表示盈利；为负数时，就表示亏损；为0时，就表示不盈不亏
例4 2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）.如图所示，某品牌电饭煲按进价提高50％后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价.
分析 设该电饭煲的进价为x元，则售价为80％×（1＋50％）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，即可求解.
分析 设该电饭煲的进价为x元，则售价为80％×（1＋50％）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，即可求解.
解析 设该电饭煲的进价为x元，
则标价为（1＋50％）x元，售价为80％×（1＋50％）x元，
根据题意，得80％×（1＋50％）x-128＝568，解得x＝580.
答：该电饭煲的进价为580元.
点拨
销售经营过程中的盈亏问题是现实生活中经常遇到的实际问题，打折销售是商家根据顾客的消费心理进行促销的一种手段，仍然是利润问题，解决此类问题的关键是理清问题中的各种数量关系，找出等量关系列出方程.
例5 已知甲、乙两种商品的原价之和为200元.因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价10％，调价后甲、乙两种商品的单价之和比原单价和提高了5％，求甲、乙两种商品原单价各是多少.
解析 设甲种商品原单价为x元，则乙种商品的单价（200-x）元.列表如下：
根据题意，得（1-10％）x＋（1＋10％）（200-x）＝200（1＋5％），
解得x＝50，所以200-x＝150.
答：甲、乙两种商品原单价各是50元和150元.
商品 原单价（元） 调价后单价（元）
甲种 x （1-10％）x
乙种 200-x （1＋10％）（200-x）
合计 200 200（1＋5％）
特别提示
在找等量关系时，要充分利用题目中所给出的条件，不要漏掉，但也不能把同一条件重复利用，否则会得到一个恒等式，无法求得应用题的解.解复杂的问题时，可借助表格来确定等量关系，先找出已知量和未知量，并用含已知量或未知量的式子把中间的那些起桥梁作用的量表示出来，同时利用表格表示出等量关系.
知识点五 行程问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题
追及 问题
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长
追及 问题
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长 路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度；
速度＝路程÷时间
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长 路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度；
速度＝路程÷时间
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题 顺水航行的路程＝逆水航行的路程
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长 路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度；
速度＝路程÷时间
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题 顺水航行的路程＝逆水航行的路程 顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度-水流速度；速度×时间＝路程
例6 列方程解应用题：如图所示，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600米，一个人骑摩托车从A处以20 m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一个人骑自行车以5 m/s的速度匀速从B向C行驶，并且两人同时出发.
（1）求经过多少秒摩托车追上自行车；
（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米.
分析 （1）设经过x秒摩托车追上自行车，根据“摩托行驶路程＝1200＋自行车行驶路程”列出方程并解答；（2）需要分两种情况解答：①摩托车还差150米追上自行车；②摩托车超过自行车150米，根据他们行驶路程间的数量关系列出方程并解答.
解析（1）设经过x秒摩托车追上自行车，
根据题意，得20x＝5x＋1200，解得x＝80.
答：经过80秒摩托车追上自行车.
（2）设经过y秒两人相距150米，
第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，
20y-1200＝5y-150，解得y＝70；
第二种情况：摩托车超过自行车150米时，
20y＝150＋5y＋1200，解得y＝90.
答：经过70秒或90秒时两人在行进路线上相距150米.
点拨
解题的关键是读懂题意，找出题中的等量关系并解答.
注意：第（2）问需要分类讨论，以防漏解.
知识点六 储蓄问题
储蓄问题
常用术语
等量关系
知识点六 储蓄问题
储蓄问题
常用术语 ①本金：顾客存人银行的钱；②利息：银行付给顾客的酬金；③本息和：本金与利息的和；④期数：存入的时间；⑤利率：每个期数内的利息与本金的比；⑥年利率：一年的利息与本金的比；⑦月利率：一个月的利息与本金的比
等量关系
知识点六 储蓄问题
储蓄问题
常用术语 ①本金：顾客存人银行的钱；②利息：银行付给顾客的酬金；③本息和：本金与利息的和；④期数：存入的时间；⑤利率：每个期数内的利息与本金的比；⑥年利率：一年的利息与本金的比；⑦月利率：一个月的利息与本金的比
等量关系 利息三本金×利率×期数；
本息和三本金＋利息＝本金X（1＋利率×期数）
例7 为了准备小颖六年后上大学的学费15000元，她的父亲现在就参加了教育储蓄.期数和年利率如下表：
有两种蓄方式：
（1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期；
（2）直接存一个五年期的.
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
期数 教育储蓄年利率/％
三年 3.24
五年 3.60
分析
分别根据两种储蓄方式求出本金进而比较得出答案.
解析 设开始存入的本金为x元.
由第一种储蓄方式，
得x（1＋3.24％×3）（1＋3.24％×3）＝15000，解得x≈12460；
由第二种储蓄方式，
得x＋x·3.60％×6＝15000，解得x≈12336，
即第一种储蓄方式开始存入的本金约为12460元，第二种储蓄方式开始存入的本金约为12336元，
因为12460＞12336，所以第二种储蓄方式开始存入的本金少.
特别提示
熟练掌握储蓄中的数量关系，准确地找出等量关系是解决此类问题的关键.
经典例题
题型一 月历问题
题型一 月历问题
例1 下图是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）.请你运用所学的数学知识来探究，这7个数的和不可能是（ ）
A.63 B.98 C.140 D.168
一 二 三 四 五 六 七
2 4
5 6 7 11
12 13 14 16 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
解析 设最中间的数为x，
则这7个数分别为x-8、x-6、x-1、x、x＋1、x＋6、x＋8，
∴这7个数的和为x-8＋x-6＋x-1＋x＋x＋1＋x＋6＋x＋8＝7x，
当7x＝63时，x＝9，当7x＝98时，x＝14，
当7x＝140时，x＝20，当7x＝168时，x＝24，
由题图可知24的右下角没有数字.
故选 D.
点拨
观察月历表，可以发现月历中同一行上相邻的两个数相差1，同一列上相邻的两个数相差7，依据月历中这一基本的数量关系便可列出方程.
题型二 形积变化问题
题型二 形积变化问题
例2 如图所示，菲菲将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1cm的长方形纸条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍.求：
（1）原正方形纸片的边长；
（2）第二次剪下的长方形纸条的面积.
解析 （1）设原正方形纸片的边长为xcm.
根据题意得2（3＋x）＝2×2［（x-3）＋1］，解得x＝7.
答：原正方形纸片的边长为7cm.
（2）（7-3）×1＝4（cm2）.
答：第二次剪下的长方形纸条的面积为4cm2.
题型三 图表信息问题
例 3
分析 设全班人数为x，由题意得等量关系：全班人数×＝18人，然后解出x可得全班人数，再利用全班人数×计算出参加英语兴趣班的同学人数即可.
分析 设全班人数为x，由题意得等量关系：全班人数×＝18人，然后解出x可得全班人数，再利用全班人数×计算出参加英语兴趣班的同学人数即可.
解析 设全班人数为x，
根据题意，得x＝18，解得x＝54，所以54× ＝12（人）.
答：参加英语兴趣班的同学有12人.
分析 设全班人数为x，由题意得等量关系：全班人数×＝18人，然后解出x可得全班人数，再利用全班人数×计算出参加英语兴趣班的同学人数即可.
解析 设全班人数为x，
根据题意，得x＝18，解得x＝54，所以54× ＝12（人）.
答：参加英语兴趣班的同学有12人.
方法归纳 解答此类题的关键是认真阅读情境中的文字，捕捉其中有用的信息，并根据情境中的文字结合问题中的相等关系建立方程求解.
题型四 方案决策问题
例4 为庆祝“六一”儿童节，某市小学统一组织文艺会演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装节省多少元？
（2）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
（3）如果甲校有10名学生被调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两校设计一种最省钱的购买服装方案.
购买服装的套数 1～45 46～90 91及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
解析 （1）由题意，得5000-92×40＝5000-3680＝1320（元）.
答：甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装节省1320元.
解析 （1）由题意，得5000-92×40＝5000-3680＝1320（元）.
答：甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装节省1320元.
（2）设甲校有x名学生准备参加演出，则乙校有（92-x）名学生准备参加演出.根据题意，得50x＋60（92-x）＝5000，解得x＝52，
所以92-x＝92-52＝40.
答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出.
（3）因为甲校有10名学生不能参加演出，所以甲校有52-10＝42名学生参加演出.
①若两校联合购买服装，则需要（42＋40）×50＝4100（元）.
②若两校各自购买服装，则需要（42＋40）×60＝4920（元）.
③若两校联合购买91套服装，则需要40×91＝3640（元）.
∵3640＜4100＜4920，∴.最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装.
题型五 火车过桥问题
题型五 火车过桥问题
例5 已知铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全通过桥共用时50s，整个火车在桥上的时间为30s，求火车的长度和速度.
解析 “火车完全通过桥”是指从火车头上桥到火车尾离桥，如图所示：
“整个火车在桥上”是指火车尾上桥到火车头离桥，如图所示：
设火车长xm.根据题意，得，解得x＝300，
则火车的速度为＝30（m/s）.
答：火车的长度为300m，速度为30m/s.
点拨
此题是用一元一次方程解决行程问题，解题关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程.弄清桥长、车长、火车从开始上桥到完全通过桥的路程以及整列火车完全在桥上通过的路程之间的关系.
题型六 顺逆流航行问题
例6 某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时.若水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为8千米/时，甲、丙两地间的距离为10千米，求甲、乙两地间的距离.
解析 逆流速度为每小时8-2＝6千米，顺流速度为每小时8＋2＝10千米，
当丙在甲的上游时，设甲、乙两地间的距离为x千米，则乙、丙两地间的距离为（x＋10）千米，
由题意得＝3，解得x＝5.
此时甲、乙两地间的距离为5千米，
当丙在甲的下游时，设甲、乙两地间的距离为x千米，则乙、丙两地间的距离为（x-10）千米，
由题意得＝3，解得x＝17.5.
此时甲、乙两地间的距离为17.5千米.
综上，甲、乙两地间的距离为5千米或17.5千米.
特别提示
根据逆流速度＝静水速度-水流速度，顺流速度＝静水速度＋水流速度求出船在逆水和顺水中的速度是解答本题的关键.
易错易混
易错点 列方程时单位不统一致错
在解题时，只设出未知数，但不写未知数的单位或单位不统一，导致解题错误.
例题 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇，已知乙的速度是5米/秒求甲的速度.
例题 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇，已知乙的速度是5米/秒求甲的速度.
解析 设甲的速度是x米/秒.3分钟＝180秒.
根据题意，得180x＋180×5＝1500，解得x= .
答：甲的速度是米/秒.
例题 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇，已知乙的速度是5米/秒求甲的速度.
解析 设甲的速度是x米/秒.3分钟＝180秒.
根据题意，得180x＋180×5＝1500，解得x= .
答：甲的速度是米/秒.
易错警示
问题中不将数量单位统一就做题易导致错误.如：设甲的速度是x米/秒，根据题意列方程得3x＋3×5＝1500，解得x＝495.因此在列方程之前，一定要观察单位是否统一.
第四章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤
审
设
找
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设
找
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解 解方程，解所列出的方程，求出未知数的值
验
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解 解方程，解所列出的方程，求出未知数的值
验 检验，检验所求的数值是否符合题意
答
知识点一 列一元一次方程解决应用题的步骤
步骤 内容详解
审 审题，找出题中的已知量和未知量，弄清题意和题目中的数量关系
设 设元，用字母表示题目中的一个未知数，可以直接设，也可以间接设
找 找等量关系，找出能够表示应用题的全部含义的一个相等关系
列 列方程，根据所找出的数量关系列出需要的代数式，进而列出方程
解 解方程，解所列出的方程，求出未知数的值
验 检验，检验所求的数值是否符合题意
答 写出答案
例1 某足球赛一个赛季共进行了16轮比赛（即每队均需赛16场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平的场数比负的场数多3场，结果得27分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是多少？
例1 某足球赛一个赛季共进行了16轮比赛（即每队均需赛16场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平的场数比负的场数多3场，结果得27分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是多少？
解析 设改队负的场数是x，则平了（x+3）场，胜了（16-x-x-3）场，
根据题意，得3（16-x-x-3）+(x+3)=27，解得x=3，
则x+3=6，16-x-x-3=7.
答：这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是7、6、3.
例1 某足球赛一个赛季共进行了16轮比赛（即每队均需赛16场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平的场数比负的场数多3场，结果得27分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是多少？
解析 设改队负的场数是x，则平了（x+3）场，胜了（16-x-x-3）场，
根据题意，得3（16-x-x-3）+(x+3)=27，解得x=3，
则x+3=6，16-x-x-3=7.
答：这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是7、6、3.
归纳总结 这类问题中的基本等量关系：比赛总场数=胜场数+平场数+负场数，比赛总得分=胜场得分+平场得分+负场得分.
知识点二 年龄问题
知识点二 年龄问题
年龄问题的特点：
两人年龄之差永远是不变的，简称“定差”；
两人年龄同时都增加或减少同样的自然数量；
两人之间的年龄倍数关系随着年龄的增长也在发生着变化.
知识点二 年龄问题
年龄问题的特点：
两人年龄之差永远是不变的，简称“定差”；
两人年龄同时都增加或减少同样的自然数量；
两人之间的年龄倍数关系随着年龄的增长也在发生着变化.
特别提示
在年龄问题中，我们可以抓住“差不变”这个特点，利用“和差” “和倍” “差倍”等解答这类应用题.
例2 甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲比乙大6岁 B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
例2 甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲比乙大6岁 B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
解析 设甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x-26）岁，
根据题意，得x＋8＝2（2x-26），解得x＝20，∴2x-26＝14，
故甲现在的年龄是20岁，乙现在的年龄是14岁.
∵20-14＝6，∴甲比乙大6岁.故选A.
例2 甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲比乙大6岁 B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
解析 设甲现在的年龄是x岁，则乙现在的年龄为（2x-26）岁，
根据题意，得x＋8＝2（2x-26），解得x＝20，∴2x-26＝14，
故甲现在的年龄是20岁，乙现在的年龄是14岁.
∵20-14＝6，∴甲比乙大6岁.故选A.
方法技巧 解决年龄问题的关键是根据年龄差不变的关系，运用题目中年龄的等量关系建立方程求解.
知识点三 形积变化问题
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变
面积不变
体积不变
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变
体积不变
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，变化前后的面积相等是列方程的关键
体积不变
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，变化前后的面积相等是列方程的关键
体积不变 几何体形状发生变化，但变化前后的体积不变（相等），可以根据体积不变列方程
温馨提示
知识点三 形积变化问题
常见变化 内容详解
周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题
面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，变化前后的面积相等是列方程的关键
体积不变 几何体形状发生变化，但变化前后的体积不变（相等），可以根据体积不变列方程
温馨提示 （1）列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量；（2）设未知数时多将图形的长、宽、半径等设为未知数；（3）列方程时要注意所有单位要统一
例3 如图所示，一个长方体玻璃容器，从里面量长为3分米，宽为2分米，高为4分米.向容器中倒入9升水，再把一个苹果放入水中，苹果完全浸没在水中，这时测得容器内的水面的高度是18厘米.问这个苹果的体积是多少？
分析 可设这个苹果的体积是x立方分米，根据长方体的体积公式列出方程计算即可求解.
分析 可设这个苹果的体积是x立方分米，根据长方体的体积公式列出方程计算即可求解.
解析 18厘米＝1.8分米，9升＝9立方分米，
设这个苹果的体积是x立方分米，
根据题意，得x＋9＝3×2×1.8，解得x＝1.8.
故这个苹果的体积是1.8立方分米.
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题
知识 点睛
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题 成本：即进价，商店进货时商品的价格； 标价：商品出售时所标明的价格； 售价：商品出售时的实际价格； 利润率：商品利润与成本的百分比
知识 点睛
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题 成本：即进价，商店进货时商品的价格； 标价：商品出售时所标明的价格； 售价：商品出售时的实际价格； 利润率：商品利润与成本的百分比 1.利润＝商品售价-商品成本；
2.利润率=；
3.打a折销售时，售价=标价×
知识 点睛
知识点四 销售打折问题
常见概念 常用关系式
销售 问题 成本：即进价，商店进货时商品的价格； 标价：商品出售时所标明的价格； 售价：商品出售时的实际价格； 利润率：商品利润与成本的百分比 1.利润＝商品售价-商品成本；
2.利润率=；
3.打a折销售时，售价=标价×
知识 点睛 1.商品的售价与商品的标价是不同的两个量，它们不一定相等，只有按照标价不打折出售时，售价才等于标价； 2.在商品销售中，利润＝售价-进价（成本），当这个等式右边的结果为正数时，就表示盈利；为负数时，就表示亏损；为0时，就表示不盈不亏
例4 2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）.如图所示，某品牌电饭煲按进价提高50％后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价.
分析 设该电饭煲的进价为x元，则售价为80％×（1＋50％）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，即可求解.
分析 设该电饭煲的进价为x元，则售价为80％×（1＋50％）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，即可求解.
解析 设该电饭煲的进价为x元，
则标价为（1＋50％）x元，售价为80％×（1＋50％）x元，
根据题意，得80％×（1＋50％）x-128＝568，解得x＝580.
答：该电饭煲的进价为580元.
点拨
销售经营过程中的盈亏问题是现实生活中经常遇到的实际问题，打折销售是商家根据顾客的消费心理进行促销的一种手段，仍然是利润问题，解决此类问题的关键是理清问题中的各种数量关系，找出等量关系列出方程.
例5 已知甲、乙两种商品的原价之和为200元.因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价10％，调价后甲、乙两种商品的单价之和比原单价和提高了5％，求甲、乙两种商品原单价各是多少.
解析 设甲种商品原单价为x元，则乙种商品的单价（200-x）元.列表如下：
根据题意，得（1-10％）x＋（1＋10％）（200-x）＝200（1＋5％），
解得x＝50，所以200-x＝150.
答：甲、乙两种商品原单价各是50元和150元.
商品 原单价（元） 调价后单价（元）
甲种 x （1-10％）x
乙种 200-x （1＋10％）（200-x）
合计 200 200（1＋5％）
特别提示
在找等量关系时，要充分利用题目中所给出的条件，不要漏掉，但也不能把同一条件重复利用，否则会得到一个恒等式，无法求得应用题的解.解复杂的问题时，可借助表格来确定等量关系，先找出已知量和未知量，并用含已知量或未知量的式子把中间的那些起桥梁作用的量表示出来，同时利用表格表示出等量关系.
知识点五 行程问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题
追及 问题
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长
追及 问题
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长 路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度；
速度＝路程÷时间
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长 路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度；
速度＝路程÷时间
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题 顺水航行的路程＝逆水航行的路程
知识点五 行程问题
相等关系 数量关系
相遇 问题 1.直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离； 2.环形相遇：同时同地，首次相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长 路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度；
速度＝路程÷时间
追及 问题 1.直线追及：同地不同时：快者路程＝慢者路程；同时不同地：快者路程-慢者路程＝两地间的距离； 2.环形追及：同地同时，同向出发：快者路程-慢者路程＝环形的一周长
顺逆流往返航行问题 顺水航行的路程＝逆水航行的路程 顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度-水流速度；速度×时间＝路程
例6 列方程解应用题：如图所示，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600米，一个人骑摩托车从A处以20 m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一个人骑自行车以5 m/s的速度匀速从B向C行驶，并且两人同时出发.
（1）求经过多少秒摩托车追上自行车；
（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米.
分析 （1）设经过x秒摩托车追上自行车，根据“摩托行驶路程＝1200＋自行车行驶路程”列出方程并解答；（2）需要分两种情况解答：①摩托车还差150米追上自行车；②摩托车超过自行车150米，根据他们行驶路程间的数量关系列出方程并解答.
解析（1）设经过x秒摩托车追上自行车，
根据题意，得20x＝5x＋1200，解得x＝80.
答：经过80秒摩托车追上自行车.
（2）设经过y秒两人相距150米，
第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，
20y-1200＝5y-150，解得y＝70；
第二种情况：摩托车超过自行车150米时，
20y＝150＋5y＋1200，解得y＝90.
答：经过70秒或90秒时两人在行进路线上相距150米.
点拨
解题的关键是读懂题意，找出题中的等量关系并解答.
注意：第（2）问需要分类讨论，以防漏解.
知识点六 储蓄问题
储蓄问题
常用术语
等量关系
知识点六 储蓄问题
储蓄问题
常用术语 ①本金：顾客存人银行的钱；②利息：银行付给顾客的酬金；③本息和：本金与利息的和；④期数：存入的时间；⑤利率：每个期数内的利息与本金的比；⑥年利率：一年的利息与本金的比；⑦月利率：一个月的利息与本金的比
等量关系
知识点六 储蓄问题
储蓄问题
常用术语 ①本金：顾客存人银行的钱；②利息：银行付给顾客的酬金；③本息和：本金与利息的和；④期数：存入的时间；⑤利率：每个期数内的利息与本金的比；⑥年利率：一年的利息与本金的比；⑦月利率：一个月的利息与本金的比
等量关系 利息三本金×利率×期数；
本息和三本金＋利息＝本金X（1＋利率×期数）
例7 为了准备小颖六年后上大学的学费15000元，她的父亲现在就参加了教育储蓄.期数和年利率如下表：
有两种蓄方式：
（1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期；
（2）直接存一个五年期的.
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
期数 教育储蓄年利率/％
三年 3.24
五年 3.60
分析
分别根据两种储蓄方式求出本金进而比较得出答案.
解析 设开始存入的本金为x元.
由第一种储蓄方式，
得x（1＋3.24％×3）（1＋3.24％×3）＝15000，解得x≈12460；
由第二种储蓄方式，
得x＋x·3.60％×6＝15000，解得x≈12336，
即第一种储蓄方式开始存入的本金约为12460元，第二种储蓄方式开始存入的本金约为12336元，
因为12460＞12336，所以第二种储蓄方式开始存入的本金少.
特别提示
熟练掌握储蓄中的数量关系，准确地找出等量关系是解决此类问题的关键.
经典例题
题型一 月历问题
题型一 月历问题
例1 下图是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）.请你运用所学的数学知识来探究，这7个数的和不可能是（ ）
A.63 B.98 C.140 D.168
一 二 三 四 五 六 七
2 4
5 6 7 11
12 13 14 16 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
解析 设最中间的数为x，
则这7个数分别为x-8、x-6、x-1、x、x＋1、x＋6、x＋8，
∴这7个数的和为x-8＋x-6＋x-1＋x＋x＋1＋x＋6＋x＋8＝7x，
当7x＝63时，x＝9，当7x＝98时，x＝14，
当7x＝140时，x＝20，当7x＝168时，x＝24，
由题图可知24的右下角没有数字.
故选 D.
点拨
观察月历表，可以发现月历中同一行上相邻的两个数相差1，同一列上相邻的两个数相差7，依据月历中这一基本的数量关系便可列出方程.
题型二 形积变化问题
题型二 形积变化问题
例2 如图所示，菲菲将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1cm的长方形纸条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍.求：
（1）原正方形纸片的边长；
（2）第二次剪下的长方形纸条的面积.
解析 （1）设原正方形纸片的边长为xcm.
根据题意得2（3＋x）＝2×2［（x-3）＋1］，解得x＝7.
答：原正方形纸片的边长为7cm.
（2）（7-3）×1＝4（cm2）.
答：第二次剪下的长方形纸条的面积为4cm2.
题型三 图表信息问题
例 3
分析 设全班人数为x，由题意得等量关系：全班人数×＝18人，然后解出x可得全班人数，再利用全班人数×计算出参加英语兴趣班的同学人数即可.
分析 设全班人数为x，由题意得等量关系：全班人数×＝18人，然后解出x可得全班人数，再利用全班人数×计算出参加英语兴趣班的同学人数即可.
解析 设全班人数为x，
根据题意，得x＝18，解得x＝54，所以54× ＝12（人）.
答：参加英语兴趣班的同学有12人.
分析 设全班人数为x，由题意得等量关系：全班人数×＝18人，然后解出x可得全班人数，再利用全班人数×计算出参加英语兴趣班的同学人数即可.
解析 设全班人数为x，
根据题意，得x＝18，解得x＝54，所以54× ＝12（人）.
答：参加英语兴趣班的同学有12人.
方法归纳 解答此类题的关键是认真阅读情境中的文字，捕捉其中有用的信息，并根据情境中的文字结合问题中的相等关系建立方程求解.
题型四 方案决策问题
例4 为庆祝“六一”儿童节，某市小学统一组织文艺会演，甲、乙两所学校共92名学生（其中甲校学生多于乙校学生，且甲校学生不够90名）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装节省多少元？
（2）甲、乙两校各有多少名学生准备参加演出？
（3）如果甲校有10名学生被调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两校设计一种最省钱的购买服装方案.
购买服装的套数 1～45 46～90 91及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
解析 （1）由题意，得5000-92×40＝5000-3680＝1320（元）.
答：甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装节省1320元.
解析 （1）由题意，得5000-92×40＝5000-3680＝1320（元）.
答：甲、乙两校联合起来购买服装比各自购买服装节省1320元.
（2）设甲校有x名学生准备参加演出，则乙校有（92-x）名学生准备参加演出.根据题意，得50x＋60（92-x）＝5000，解得x＝52，
所以92-x＝92-52＝40.
答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出.
（3）因为甲校有10名学生不能参加演出，所以甲校有52-10＝42名学生参加演出.
①若两校联合购买服装，则需要（42＋40）×50＝4100（元）.
②若两校各自购买服装，则需要（42＋40）×60＝4920（元）.
③若两校联合购买91套服装，则需要40×91＝3640（元）.
∵3640＜4100＜4920，∴.最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装.
题型五 火车过桥问题
题型五 火车过桥问题
例5 已知铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全通过桥共用时50s，整个火车在桥上的时间为30s，求火车的长度和速度.
解析 “火车完全通过桥”是指从火车头上桥到火车尾离桥，如图所示：
“整个火车在桥上”是指火车尾上桥到火车头离桥，如图所示：
设火车长xm.根据题意，得，解得x＝300，
则火车的速度为＝30（m/s）.
答：火车的长度为300m，速度为30m/s.
点拨
此题是用一元一次方程解决行程问题，解题关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程.弄清桥长、车长、火车从开始上桥到完全通过桥的路程以及整列火车完全在桥上通过的路程之间的关系.
题型六 顺逆流航行问题
例6 某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用3小时.若水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为8千米/时，甲、丙两地间的距离为10千米，求甲、乙两地间的距离.
解析 逆流速度为每小时8-2＝6千米，顺流速度为每小时8＋2＝10千米，
当丙在甲的上游时，设甲、乙两地间的距离为x千米，则乙、丙两地间的距离为（x＋10）千米，
由题意得＝3，解得x＝5.
此时甲、乙两地间的距离为5千米，
当丙在甲的下游时，设甲、乙两地间的距离为x千米，则乙、丙两地间的距离为（x-10）千米，
由题意得＝3，解得x＝17.5.
此时甲、乙两地间的距离为17.5千米.
综上，甲、乙两地间的距离为5千米或17.5千米.
特别提示
根据逆流速度＝静水速度-水流速度，顺流速度＝静水速度＋水流速度求出船在逆水和顺水中的速度是解答本题的关键.
易错易混
易错点 列方程时单位不统一致错
在解题时，只设出未知数，但不写未知数的单位或单位不统一，导致解题错误.
例题 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇，已知乙的速度是5米/秒求甲的速度.
例题 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇，已知乙的速度是5米/秒求甲的速度.
解析 设甲的速度是x米/秒.3分钟＝180秒.
根据题意，得180x＋180×5＝1500，解得x= .
答：甲的速度是米/秒.
例题 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇，已知乙的速度是5米/秒求甲的速度.
解析 设甲的速度是x米/秒.3分钟＝180秒.
根据题意，得180x＋180×5＝1500，解得x= .
答：甲的速度是米/秒.
易错警示
问题中不将数量单位统一就做题易导致错误.如：设甲的速度是x米/秒，根据题意列方程得3x＋3×5＝1500，解得x＝495.因此在列方程之前，一定要观察单位是否统一.