2021-2022学年度泗阳县实验高级中学
高一第一次质量调研数学试卷
考试时间：120分钟；分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，则A∪B=（ ）
A．{2，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3}
2．设命题则为（ ）
A． B．
C． D．
3．设a>0，则的最小值为（ ）
A． B．2
C．4 D．5
4．若，则下列不等式中不成立的（ ）
A． B． C．；D．.
5．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，当取最小值时，则a等于（ ）
A． B．6 C．9 D．12
7．对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
8．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（ ）
A．－ B． C． D．－4
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．对于集合，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．若．则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“ 存在，则”.
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
12．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在上取一点，使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．设全集，，若={4}，则实数的值为__________.
14．已知，，，则的最小值是______．
15．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．
16．若命题“”是真命题，则实数的取值范围为___________.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
18．已知不等式的解集为，集合.若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
20．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．
21．已知命题P：两个正实数x，y满足，且恒成立，命题Q：“，使”，若命题P，命题Q都为真命题，求实数m的取值范围．
22．我们知道，，因此，当且仅当时等号成立.即，的算术平均数的平方不大于，平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.
（1）求函数的最大值；
（2）已知，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2021-2022学年度泗阳县实验高级中学
高一数学第一次质量调研试卷
参考答案
1．B
【分析】
先求出集合B，再求A∪B.
【详解】
因为，所以.
故选：B
2．B
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题求解即可.
【详解】
∵命题，
∴为:，
故选:B．
3．D
【分析】
根据基本不等式可求解.
【详解】
，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.
故选：D.
4．B
【分析】
利用不等式的基本性质，对选项逐一分析，选出正确选项
【详解】
由，
选项A：利用数轴可得，则，根据不等式的性质，，则，故A成立；
选项B：由于，根据“如果，那么”可得，故B不成立；
选项C：由于，两边同乘，可得，，故C成立；
选项D：由，，再由不等式性质可得，故，故D成立.
故选：B
5 A 解析 由＜得0＜x＜1，由x3＜1得x＜1，而0＜x＜1 x＜1，x＜10＜x＜1.故选A．
6【答案】A
【分析】
直接利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：∵，当且仅当，即或（舍去）时，
∴当取最小值时，．
故选：A.
7．D
【分析】
由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项.
【详解】
如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，
若，具有包含关系，不妨设是的真子集，
对于（1）: 图中，，图中，所以，
故（1）正确；
对于（2）：图中，成立，
图中，，，
所以成立，故（2）正确；
对于（3）：若，则；故（3）正确；
所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），
故选：D.
8【答案】A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
解析因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×(a＋b)
＝＋≥＋2＝，
当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，
因此有－－≤－，即－－的上确界为－．
故选：A
9．AD
【分析】
根据元素与集合，集合与集合的关系判断可得；
【详解】
解：因为为自然数集，为整数集，所以，故A正确；表示点集，故B错误；故C错误；故D正确；
故选：AD
10．ABC
【分析】
先判断出
对于A：分别判断左右两边的正负，即可判断；
对于B：利用基本不等式进行计算即可;
对于C：利用不等式的可乘性进行判断；
对于D：可以取，进行否定结论.
【详解】
因为，所以
对于A：由可得：，所以.故A正确；
对于B：因为，所以且均不为1，由基本不等式可得：.故B正确;
对于C：因为，所以.对同乘以，得到，即.故C正确；
对于D：可以取，满足，但是.故D不正确.
故选：ABC
11．ABD
【分析】
由充分条件和必要条件的定义可判断A、 C、D，利用全称命题的否定是变量词否结论可判断B，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：当时，，充分性成立；当时可得或，必要性不成立，所以“”是“”是的充分不必要条件，故选项A正确；
对于B： 命题“若，则”的否定是“存在，则”，故选项B正确；
对于C：由“且”可得出“”， 充分性成立；但得不出“且”，如取，，满足，但不满足“且”， 必要性不成立；所以“且”是“”的充分不必要条件，故选项C不正确；
对于D：当“”，时不能得出“”，充分性不成立；当时，，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项D正确；
故选：ABD.
12．BCD
【分析】
由，得到，然后利用射影定理得到判断.
【详解】
因为，
所以,
因为，
所以由射影定理得，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
故选：BCD
13．或
【分析】
根据补集的定义，由条件列方程求求a.
【详解】
∵，，={4}，
∴ ，
∴ 或，
故答案为：或.
14．16
【分析】
利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
依题意.
当且仅当时等号成立.
故答案为：16
15．a＜0
【分析】
根据得到a＜0.
【详解】
由题意知恒成立．
因为，所以 a＜0.
故答案为：a＜0.
16．或
【分析】
转化为二次方程有解，利用判别式大于等于0 求解
【详解】
若命题“”是真命题则二次方程有解
故，解得或
故答案为：或
17．（1）或；（2）条件选择见解析，.
【分析】
（1）当时，得到集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解；
（2）若选①：由，得到，列出不等式组，即可求解；
若选②：由，得到，列出不等式组，即可求解；
若选③：由，得到，，列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）当时，集合，
因为，所以或．
（2）若选①：因为，可得，所以，解得．
若选②：因为，可得，则，解得．
若选③：因为，可得，则，解得．
18．
【分析】
解不等式求集合，由题意可得是的真子集，讨论和列不等式，解不等式即可求解.
【详解】
由可得，解得：，
所以.
因为，是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
当，则解得，符合题意
若，则，
解得：，
综上所述：或.
所以实数的取值范围为.
19．（1）7；（2）.
【分析】
（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】
（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
20．15米.
【分析】
设泳池的长为x米，则宽为米，则可得总造价与的关系，利用基本等式可求总造价合适最低.
【详解】
设泳池的长为x米，则宽为米，
则总造价，
整理得到
当且仅当 等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．
答：泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．
21．．
【分析】
利用“1”的巧用求出最值，处理恒成立问题；利用一次函数的最值，处理不等式有解问题，从而得到结果.
【详解】
解：∵，，，
∴（当且仅当，时取等号），
∴命题P为真命题时，，可得，
∴命题Q为真命题时，，
∴命题P，命题Q都为真命题时，．
22【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，可得，化简变形后可求出的最大值；
（2）由于，变形后可得，而恒成立恒成立，从而可求出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，有，
即，当且仅当，即时等号成立.
而，故函数的最大值为.
（2）当，时，有，所以
即，当且仅当时等号成立.因此的最小值为.
恒成立恒成立.
故实数的取值范围是
试卷第1页，共3页
