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潍坊市2021-2022学年度高三阶段性监测
数 学
本试卷共4页，共 150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 已知命题，，则命题的否定是
A．， B．，
C．， D．，
3. 函数的图像大致为
甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次. 甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有
A. 18种 B. 36种 C. 54种 D. 72种
5. 已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为
A． B． C. D．
6. 下图是2020年2月15日至3月2日某市新冠肺炎新增确诊病例折线统计图．则下列说法不正确的是
A. 2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B. 该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C. 2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
D. 2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势
7. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，且，，则四棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
8. 已知函数满足：对任意的,，若函数与图像的交点为，则的值为
A.0 B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知二项展开式，则下列说法正确的是
二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数一定相等
二项展开式中，当时，随的增加而减小；当时，随的增加而增加
二项展开式中，奇数项的二项式系数的和一定等于偶数项的二项式系数的和
D.二项式展开式中，第项的通项公式，
10. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则
A．点的坐标为 B．的最小值为
C．点的轨迹是一条直线 D．点到直线的距离最大值为
11.已知函数，则下列结论正确的是
A.在上单调递减
B.
C.当时，函数的值域为，则
D.当时，函数恰有7个不同的零点
12.在棱长为2的正方体 QUOTE EMBED Equation.KSEE3 中,点P是正方体的棱上一点， QUOTE EMBED Equation.KSEE3 ，则
A. 时，满足条件的点P的个数为1
B. QUOTE EMBED Equation.KSEE3 时，满足条件的点P的个数为4
C. QUOTE EMBED Equation.KSEE3 时，满足条件的点P的个数为2
D. 若满足的点P的个数为6，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，都是实数，那么“”是“ ”的充要条件.（请在横线处填上满足要求的一个不等式.）
14.圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，上、下底面半径分别为和，则该圆台的体积为 .
15. 一项过关游戏规则规定：在第关要抛掷一颗质地均匀的骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关. 甲同学参加了该游戏，他连过前二关的概率是 .
16. 某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：.现有一张长边为,厚度为的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为 ；该矩形纸最多能对折 次.（参考数值：,）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）某汽车公司的A型号汽车近期销量锐减，该公司为了解销量锐减的原因,就是否支持购买A型号汽车进行了市场调查，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．
（1）求年龄在[50，60）群体的人数；
（2）请完成列联表，并根据表中的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？
年龄分布是否支持 [30，40）和[40，50） [50，60）和[60，70） 合计
支持
不支持
合计
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中；
参考数据：）
18.（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
（1）证明：在同一个平面上；
（2）设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为,判断与的大小关系，并说明理由.
19.（12分）如图，已知过原点的直线与函数的图像交于A,B两点，分别过点A,B作轴的平行线与函数的图像交于C,D两点.
（1）证明三点在同一条直线上；
（2）当轴时，求A点的坐标.
20.（12分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差. 对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了人用两种体温计进行体温检测，数据如下：
序号 智能体温计测温（） 水银体温计测温（） 序号 智能体温计测温（） 水银体温计测温（）
01 36.6 36.6 11 36.3 36.2
02 36.6 36.5 12 36.7 36.7
03 36.5 36.7 13 36.2 36.2
04 36.5 36.5 14 35.4 35.4
05 36.5 36.4 15 35.2 35.3
06 36.4 36.4 16 35.6 35.6
07 36.2 36.2 17 37.2 37.0
08 36.3 36.4 18 36.8 36.8
09 36.5 36.5 19 36.6 36.6
10 36.3 36.4 20 36.7 36.7
（1）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；
（2）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望.
21.（12分）如图1五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到如图2所示的四棱锥P—ABCD，点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.
（1）求证：BM //平面PAD；
（2）求证：⊥平面PAD；
（3）若直线PC与AB所成角的正切值为，求二面角P—BD—C的余弦值.
22.(12分)已知函数且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求实数的值并判断的单调性;
（2）记若，且当时，不等式恒成立，求的最大值.
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高三数学第 7 页 （共 7 页）高三数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1-4： BCBC 5-8：ADCC
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9.AC 10. ABD 11. BCD 12. BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
26 2
13. a b（写出一个满足要求的不等式即可） 14.
3
5
15. 16. 64 ； 7 (第一空 2 分，第二空 3 分)
9
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）设年龄在[50，60）的人数为 x，则最后三组人数之和为 3x，
所以四组总人数为 4x=800，得 x=200，
所以，年龄在[50，60）的人数为 200人. ·······4分
（2）频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有 200人，[40，50）的群体有 300人，
[50，60）的群体有 200人，[60，70）的群体有 100人； ·······5分
由题意，年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为 6+9=15，[50，60）和[60，70）的
人数为 12+13=25．
填表如下
年龄分布是否支持 [30，40）和[40，50） [50，60）和[60，70） 合计
支持 15 25 40
不支持 485 275 760
合计 500 300 800
······7分
高二数学第 1 页 （共 6 页）
2 800 15 275 25 485K 所以 ≈11.228＞10.828，
40 760 300 500
∴能在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为年龄与支持率有关． ·······10分
18.解： （1）证明：在CC1 上取点M 使得CM 2MC1 ,连DM ,MF ,…………1分
因为D1E 2ED,DD1 //CC1,DD1=CC1 ,所以 ED MC1,ED //MC1,
所以四边形DMC1E为平行四边形， DM //EC1 . …………2分
因为MF //DA,MF=DA,所以M、F、A、D四点共面，
所以四边形MFAD为平行四边形， DM //AF , EC1//AF ， ……………4分
所以 E,C1,F , A四点共面. ………………6分
（2） , · ………………7分
理由如下：连结 B,D交 A,C于点 O,
在长方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面 ABCD，所以 AC BB1，由题意知底面
ABCD为正方形，所以 AC BD，因为 BB1 I BD B,BB1、BD 平面 BB1D1D ,因
此 AC 平面BB1D1D , ····· ···10分 O
连接OE,OF ,则 AEO, AFO ,在Rt AEO和 Rt AFO中，
AO 2 , AE 2, AF 5
2 ,
则 sin 1 10 sin 所以， . ·· ····· ···12分
2 10
（法二建系也可）
19.解：（1）由题意知，设 A,B 两点的横坐标为 x1, x2 ，且O, A,B三点在同一条直线
上. ………………2分
高二数学第 2 页 （共 6 页）
x1 yA log8x1 log x log 8 log x y则 2 1 2 2 1 C , ………………5分
x2 yB log8x2 log28 log2x2 log2x2 yD
所以，O,C,D三点在同一条直线上. ………………6分
(2)当 BC // x轴时， log2x1 log8 x2 ，即 x
3
2 x1 ，………………8分
x1 log x log x由（1）知 8 1 8 1 1 x 3，即 2 3x1，所以 x1 3x1，…10分x2 log8x2 3log8x1 3
因为 x1 0，所以解得： x1 3, yA log8 3,
即 A点的坐标为 ( 3, log8 3) . ………………12分
20.解： (1) 表中 20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号
是 01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有 12种情况.… 1分
12 3
由此估计所求概率为 . ……………3分
20 5
（2）随机变量 X 的所有可能取值为 X 0,1, 2,3 .………… 4分
3
由(1)可知，用智能体温计测量该社区 1人“测温准确”的概率为 .
5
0 3
3 3 8
所以 P(X 0) C 0 3 1 ；……… 5分
5 5 125
1 2
1 3 3 36P(X 1) C3 1 ；………6分
5 5 125
2 1
C 2 3 3 54P(X 2) 3 1
；………7分
5 5 125
3 0
3 3 3 27P(X 3) C 3 1 ；……… 8分
5 5 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
高二数学第 3 页 （共 6 页）
8 36 54 27
P
125 125 125 125
…… 10分
8 36 54 27 225 9
故 X 的数学期望 E（X） 0 1 2 3 .……… 12分
125 125 125 125 125 5
21.解：（1）证明：取 PD的中点 N，连接 AN,MN………1分
MN / /CD,MN 1则 CD，又 AB / /CD, AB 1 CD，
2 2
所以MN / /AB,MN AB，则四边形 ABMN 为平行四边形，
所以 AN / /BM ， ………………2分
因为 BM 平面PAD ,所以 BM//平面 PAD.………3分
（2）由（1）知 AN / /BM ，又 BM 平面 PCD，∴ AN 平面 PCD，
∴ AN PD, AN CD . ……………4分
由 ED EA即PD PA及 N为 PD的中点，可得 PAD
为等边三角形，
∴ PDA 600， …………………5分
又 EDC 1500，∴ CDA 900即CD AD，………6
分
又 AD AN A , ∴CD 平面 PAD. …………7分
（3） AB / /CD，∴ PCD为直线PC与 AB所成的角，
PD 1
由（2）可得 PDC 900，∴ tan PCD ，∴CD 2PD，
CD 2
设 PD 1，则CD 2, PA AD AB 1， …………………………8分
取 AD的中点O，连接 PO，易知PO 平面 ABCD过O作 AB的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，
则D( 1 ,0,0),B(1 ,1,0),P(0,0, 3) ，
2 2 2
………………9分
所以DB 1,1,0 ,PB 1 ,1,
3 3 3
2 2
,BM ,0,
4 4
高二数学第 4 页 （共 6 页）
x y 0n·DB 0
设 n
x, y, z 为平面PBD的法向量，则{ ，即 1 ，n·PB 0 x y
3
z 0
2 2
取 x 3，则 n1 3, 3, 3 为平面 PBD的一个法向量，……………10分
又平面 BCD的法向量 n2 (0,0,1)， 则 cos n
n ·n 3 7
1,n2 1
2 ，
n 71 n2 21
由图易知 二面角 P BD C的平面角为钝角，
所以二面角 P BD C 7余弦值为 . ………………………12分
7
22.(12分）解：(1)由题意得， f (x)的定义域为 (0, ) ,
f (x) 1 k , f (1) 1 k
x
切线 l与直线 y 1平行， f (1) 1 k 0，故 k 1 . ………3分
f (x) 1 x ,
x
由 f (x) 0得0 x 1，此时 f (x)在 (0,1)上单调递增；由 f (x) 0 ,得 x 1， f (x)
在 (1, )上单调递减；
所以， f (x)在 (0,1)上单调递增, f (x)在 (1, )上单调递减. ………6分
(2) f (x) ln x x 1, g(x) x ln x x x ln x x (x 1) 0
x x ln x x 1, (x 1)在 (1, )上恒成立, ………7 分
x 1
(x) x ln x x (x 1) (x) x ln x 2令 ,则 ，
x 1 (x 1)2
令 h(x) x ln x 2(x 1)， h (x) 1 1 0，
x
h(x)在 (1, )上单调递增.且 h(3) 1 ln 3 0， h(4) 2 2ln 2 0，
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所以方程 h(x) 0在 1, 上存在唯一的实数根 x0，且 x0 3,4 ，
则 h(x0 ) x0 ln x0 2 0，所以 ln x0 x0 2， ① ………9 分
当1 x x0 时， h(x) 0，即m (x) 0；
当 x x0时， h(x) 0，即m (x) 0，
(x) x ln x x所以函数 在 1, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增．x 1
所以 (x) (x ) x 0 ln x0 x0min 0 ，x0 1
x ln x x
把①代入得， (x 0 0 00 ) x0 ， x 3,4 ， ………11 分x0 1
所以 (x)min x0 3,4 ，
故整数 的最大值是3． ………12 分
高二数学第 6 页 （共 6 页）
