山东省菏泽市东明县第一重点中学2022届高三上学期10月月考数学试题 PDF版含答案

高三数学 10月月考
考试范围:集合 简易逻辑 不等式 函数导数 立体几何 统计概率
一、单选题(每题 5分)
1．集合P {x Z | 0 x 3},M {x Z | x2 9}，则 P M =（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}
2．在某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为
25秒、 35秒、 45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为
（ ）
7 25 35 35
A． B． C． D．
64 192 192 576
3．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
b 5
4．已知不等式 ex (a 2)x b 2恒成立，则 的最大值为（ ）
a 2
A． ln3 B． ln 2 C． 1 ln3 D． 1 ln 2
2x 6 , x 0
5．设函数 f x ，若互不相等的实数 x1、x2、x3满足 f x1 f x2 f x ，
3x 6, x 0
3
则 x1 x2 x3 的取值范围是（ ）
A． 4,6 B． 4,6 C． 1,3 D． 1,3
6．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为 p和 q，则恰有一株成活的概率为（ ）
A． pq B． p q C． p q pq D． p q 2 pq
7．若一个圆台如图所示，则其表面积等于（ ）
A． 6 5 B．11 C． 6 5 5 D． 3 5 5
8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后
来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，而后这些符号逐渐被数学界接受，不等
试卷第 1页，共 4页
号的引入对不等式的发展影响深远．若 a b 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
b 1 1
A． a2 a b2 b B．3a 10lg3 C． D． | ln a | | lnb |a 1 b 1
二、多选题（每题 5分，漏选得 2分，错选得 0分）
9 1 x
n

．若二项式 展开式中二项式系数之和为 an ，展开式的各项系数之和为bn ，各
3
项系数的绝对值之和为 cn，则下列结论正确的是（ ）
A． anbn cn
B．存在 n N ，使得bn cn an
bn cC n． c 的最小值为 2n bn
D．b1 2b2 3b3 nb n 2
10 f x ＝2e﹣|x﹣1|．已知函数 ，函数 g x 满足 g x ＝-g x 1 ，且当 x [﹣1，1]时，
g x ＝-x 2 1，那么（ ）
A． f x 在 R上关于直线 x＝1对称
B．当 x＞0时， f x 单调递减
C．当 x [﹣2，4]时， h x ＝f x -g x 有 6个零点
D．当 x [﹣2，4]时， h x ＝f x -g x 所有零点的和为 6
11．下列事件 A，B不是独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面向上”，B=“第二次为反面向上”
B．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次
摸到白球”
C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”
D．A=“人能活到 20岁”，B=“人能活到 50岁”
12．已知平面 / /平面 ,P是 , 外一点，过 P点的两条直线 AC BD分别交 于 A,B，
交 于C,D，且 PA 6, AC 9, AB 8，则CD的长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．4
三、填空题（每题 5分，16题第一个空 2分，第二个空 3分）
13．已知 a,b,c R,a b c 0,a bc 1 0，则 a的取值范围是________.
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2 n14 ．在 x 2 的展开式中，所有项的二项式系数和为64，则常数项为_______． x
15．如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段 DB，
DE 1 CG
DD1上，且 ，G在 CC1上且平面 AEF / /平面 BD1G，则 CC ___________.EB 2 1
16．已知函数 f x 是定义在 R上的奇函数，且当 x 0时 f x x2，则当 x 0时，
f x _________；若对任意的 x a 1,a 1 ，恒有 f x a a2 f x ，则实数 a的取
值范围是________.
四、解答题
A x 1 x 1

17．已知集合， ， B

x log

1 x 0 ，C x x a ，U R ．
4 2
（1）求 A B；
（2）求图中阴影部分表示的集合M ；
（3）如果 A C ，求 a的取值范围．
18．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋2x－1.
（1）若函数 f(x)在区间[1，3]上单调递增，求实数 a的取值范围；
（2）若函数 f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，求实数 a的取值范围.
19 3．如图，在平面四边形 ABCD中， ADC ,AB 5 2,CD 4,AD 2 2 ，求四边形
4
ABCD绕直线 AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
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20．如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，
D是 A1B1的中点，F在 BB1上．
（1）求证：C1D⊥平面 AA1B1B；
（2）在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使 AB1⊥平面
C1DF？并证明你的结论．
①F为 BB1的中点；②AB1= 3；③AA1= 2 .
21．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了
500位老年人，结果如下：
是否需要志愿 性别 男 女
需要 40 30
不需要 160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有 99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助
的老年人的比例？说明理由
附：
2 n(ad bc)
2 ．

(a b)(c d )(a c)(b d )
0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
22．已知函数 f x ln x a （ a R ）有两个零点.
x
1
（1）证明：0 a .
e
（2）若 f x 的两个零点为 x1， x2，且 x1 x2，证明： 2a x1 x2 1.
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高三数学 10月月考参考答案
1．B 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B
n n
9 AB 2 4 ． 【解析】依题意可得 a 2nn ，bn ， cn ，
3 3
n n
a b 2n 2 4 因为 n n cn，所以 A正确.
3 3
2 n n 4 n n
因为 b c n n 1 2 1 2 3 3 1，所以 B正确.
a n n 2 3
3 3 3
y x 1因为 在 1, 1上单调递增且 y 2x x在定义域上单调递增，所以 y x 2 在 1, 上x 2
b c 1 n 1 5
单调递增，所以 n n 2n 2 ，当且仅当 n 1时取等号，所以C不正确.cn bn 2 2 2
n
因为b 2 n ，当 n 3时，b 2b3 1 2
3b3 nb n 2 ，所以 D不正确.故选：AB

10．ACD【解析】由函数 f x ＝2e﹣|x﹣1|，
A f 2 x 2e﹣|2﹣x﹣1| 2e﹣|x﹣对于 ：由 （ ﹣ ）＝ ＝ 1|＝f(x)，可得 f x 在 R上关于直线 x＝1对称，故
A正确；
2ex 1, x 1
对于 B：由 f(x)＝2e﹣|x﹣1|＝ 1 x ，当 x≤1时，函数 f x 是单调递增函数；当 x＞1时，
2e , x 1
函数 f x 是单调递减函数；故 B错误；
对于 C：g x ＝-g x 1 ，可得 g(x)是周期为 2的函数，且当 x∈[﹣1，1]时，g(x)＝﹣x2+1，
作出函数 f x 图象与 y＝g(x)的图象，从图象可知有 6个不同交点，故 h(x)有 6个零点，故
C正确；
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对于 D：根据图象可得 g x 也关于直线 x＝1对称，所以 6个零点两两关于直线 x＝1对称，
可得 6个零点的和为 6，故 D正确；综上，可得答案为 ACD．
11．BCD【解析】对于 A选项， A,B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件；
对于 B选项，A事件发生时，影响到 B事件，故不是相互独立事件；
对于 C选项，由于投的是一个骰子， A,B是对立事件，所以不是相互独立事件；
对于 D选项，能活到 20岁的，可能也能活到 50岁，故 A,B不是相互独立事件.故选：BCD.
12．AD【解析】因为过 P点的两条直线 AC BD确定的平面分别交 于 AB，交 于CD，
且平面 / /平面 ,所以可得 AB / /CD，
分两种情况：
PA AB
当点 P在两平行平面之外时， ，则CD 20；
PC CD
AP AB
当点 P在两平行平面之间时，得 PC AC AP 3， ，则CD 4 .故选：AD.
PC CD
13． a 2 2 2或 a 2 2 2
【解析】①当b 0,c 0时,∵ a b c 0,a bc 1 0，∴ a b c,bc 1 a ,
可得： a 0,1 a 0，可得： a 0，
∴ a b c 2 bc 2 1 a ,化为 a2 4a 4 0 ,解得： a 2 2 2；
②当b 0,c 0时,∵ a b c 0,a bc 1 0 ,∴ a b c ,bc 1 a，
可得： a 0,1 a 0，可得0 a 1.
∴a b c 2 bc 2 1 a,化为 a2 4a 4 0 ,解得： 2 2 2 a 1；
③当bc 0时，不妨取 c=0,由已知可得： a 1,b 1，此时 a=1；
④当bc 0时，∵ a b c 0,a bc 1 0，∴a b c ,a 1 bc 1 .
综上可得：a的取值范围是 a 2 2 2或 a 2 2 2 .
故答案为： a 2 2 2或 a 2 2 2
14．60【解析】因为所有项的二项式系数和为64，
2 6 6 r
2n 64 n 6 x T 2 Cr xr Cr 2 6 r所以 ， ， 2 ， r 1 6 2 6 x3r 12， x x
令3r 12 0，则 r 4 T C 4 2，常数项为 5 = 6 (-2) = 60，故答案为：60 .
答案第 2页，共 7页
1
15． 【解析】∵平面 AEF / /平面 BD1G，且平面 AEF∩平面 BB1D1D=EF，平面 BD1G∩平3
DF DE 1
面 BB1D1D=BD1，∴EF / / BD1，∴ FD1 EB 2
易得平面 ADD1A1 / /平面 BCC1B1，又 BG 平面 BCC1B1，∴BG / /平面 ADD1A1，
又∵平面 AEF / /平面 BD1G，BG 平面 BD1G，∴BG / /平面 AEF，
∵平面 AEF∩平面 ADD1A1=AF，
∴BG / / AF，∴BG AF可确定平面 ABGF，
又知平面 ABB1A1 / /平面 CDD1C1，
平面 ABGF∩平面 ABB1A1=AB，平面 ABGF∩平面 CDD1C1=FG，
CG DF 1 1
∴AB / / FG，∴CD / / FG.∴ CC .故答案为： .1 DD1 3 3

2 3 5 1 5 16. x ,
2 2


2
【解析】当 x 0时， f x x ，
∵函数是奇函数，∴当 x＜0时，f（x）＝﹣x2，
∴ f x x x ，
∴ f x 在 R 2上是单调递增函数，且满足 a f x ＝f ax ，
∵不等式 f x a a2 f x f ax 在 x a 1,a 1 恒成立，
∴ x a ax即 a 1 x a 0在 x a 1,a 1 恒成立，
3 5 3 5
a 1 2 a 0 a 2 2
即有
a 1 a 1
，即为 ，
a 0 1 5 a 1 5 2 2
3 5 a 1 5

2 3 5 可得 ，故答案为： x ， ,
1 5
.
2 2 2 2
17．【解析】（1）集合 B中的不等式变形得： log 1 x 0 log 1 1，
2 2
解得：0 x 1，即 B x 0 x 1 ，
A x 1 x 1 ∵ ，
4
答案第 3页，共 7页
∴ A B x 1 x 1 ；
1
（2）∵全集为 R， A x 1 x ，
4
1
∴ RA {x x 1或 x }，4
1
则M RA B x x 14 ；
1
（3）∵ A C ， A x 1 x 4 ，
C x x a ，

a 1∴ ．
4
18．【解析】（1）由 f(x)＝x3＋ax2＋2x－1，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋2.
因为函数 f(x)在区间[1，3]上单调递增，所以 f′(x)≥0在[1，3]上恒成立.
a≥ 3x
2 2
即 在[1，3]上恒成立.
2x
g(x) 3x
2 2 3x2 2
令 ＝ ，则 g′(x)＝ ，
2x 2x2
当 x∈[1，3]时，g′(x)<0，所以 g(x)在[1，3]上单调递减，
5 5
所以 g(x)max＝g（1）＝－ ，所以 a≥－ .2 2
（2）因为函数 f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，
3x2 2
所以 f′(x)≤0在[－2，－1]上恒成立，即 a≥ 在[－2，－1]上恒成立，
2x
3x2 2
由（1）易知，g(x)＝ 在[－2，－1]上单调递减，
2x
7
所以 a≥g(－2)，即 a≥
2
19．【解析】由 ADC
3
， AB 5 2，CD 4， AD 2 2，4
EC r 2 2，DE 2 2， BC 5 2；
所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥，
设圆台下底，圆台侧，圆锥侧的面积分别为 S1,S2 ,S3，则计算该几何体的表面积为
表面积 S S1 S2 S3
R2 (R r)l rl
答案第 4页，共 7页
(5 2)2 (2 2 5 2) 5 2 2 2 4
(120 8 2) ；设圆台和圆锥的体积分别为V1,V2

体积为V V1 V2 R2 r 2 Rr h 1 r 2h 3 3

[(5 2)2 1 (2 2)2 2 2 5 2] 4 2 (2 2)2 2 2 296 2 .
3 3 3
20．【解析】（1）在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，依题意有 A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°，
又 D是 A1B1的中点，则 C1D⊥A1B1，又 AA1⊥平面 A1B1C1，C1D 平面 A1B1C1，
于是得 AA1⊥C1D，又 A1B1 AA1=A1，A1B1 平面 AA1B1B，AA1 平面 AA1B1B，
所以 C1D⊥平面 AA1B1B；
（2）(ⅰ)选①③能证明 AB1⊥平面 C1DF，
连接 DF，A1B，如图，
则 DF∥A1B，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则 AB= 2 ，又 AA1= 2，于是得四边
形 AA1B1B为正方形，
则有 A1B⊥AB1，从而有 DF⊥AB1，因 C1D⊥平面 AA1B1B，AB1 平面 AA1B1B，
因此得 C1D⊥AB1，DF C1D=D，C1D 平面 C1DF，DF 平面 C1DF，
所以 AB1⊥平面 C1DF；
(ⅰⅰ)选①②不能证明 AB1⊥平面 C1DF，
连接 DF，A1B，如图，
则 DF∥A1B，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则 AB= 2 ，AA1= AB2 21 A1B1 1，
于是得四边形 AA1B1B为长方形，则有 A1B与 AB1不垂直，即有 DF与 AB1不垂直，
所以 AB1不垂直于平面 C1DF；
(ⅰⅰⅰ)选②③不能证明 AB1⊥平面 C1DF，
在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则 AB= 2，又 AB1 AB
2 AA 21 2 3，矛盾，
所以不能证明 AB1⊥平面 C1DF，
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综上：(ⅰ)选①③能证明 AB1⊥平面 C1DF.
21．【解析】（1）调查的 500位老年人中有 70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，
70
需要帮助的老年人的比例的估算值为 14%；
500
2 K 2 500 (40 270 30 160)
2
（ ） 9.967，
200 300 70 430
由于 9.967>6.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区
男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，
因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分
层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.
a 1 a
22．【解析】（1）证明：由 f x ln x ， x 0，可得 f x
x x x 2
， x 0 .
当 a 0时， f x 0，所以 f x 在 0, 上单调递增，与题意不符.
1 a
当 a 0时，令 f x 2 0，得 x a .x x
当 x 0,a 时， f x 0， f x 单调递减；
当 x a, 时， f x 0， f x 单调递增.
可得当 x a时， f x 取得极小值 f a ln a 1.
又因为函数 f x ln x a 有两个零点，
x
1 1
所以 f a ln a 1 0，可得 a .综上，0 a .
e e
（2）解：由上可得 f x 的极小值点为 x a，则0 x1 a x2 .
设 g x f 2a x f x ln 2a x a ln x a ， x 0,a ，
2a x x
2
1 a 1 a 4a x a
可得 g x 2 2 2a x 2a x x x x 2 2a x 2
0， x 0,a ，
所以 g x 在 0,a 上单调递增，所以 g x g a 0，
即 f 2a x f x 0，则 f 2a x f x ， x 0,a ，
所以当0 x1 a x2时， 2a x1 a，且 f 2a x1 f x1 f x2 .
答案第 6页，共 7页
因为当 x a, 时， f x 单调递增，所以 2a x1 x2，即 x1 x2 2a .
a
ln x1 0, x ln xx tx t 1 1 1
x2
设 2 1， ，则 则 t，即 ln x1 t ln x2 t ln tx1 t ln x ln t
ln x x
1 .
ln x a 0, 2 1
2 x2
ln x t ln t所以 1 ，t 1
ln t 1
所以 ln x1 x2 ln x t 1 ln x
t ln t ln t
1 1 ln t 1 ln t 1 tt 1 . t t 1


1 1ln t lnt
又因为 h t ，则
t 1 h t
t 0，
t 1 2
所以 h t 在 1, 上单调递减，
ln t 1 ln t
所以 ，所以 ln x1 x2 0，即 x
t t 1 1
x2 1.

综上， 2a x1 x2 1.
答案第 7页，共 7页