第三章 圆锥曲线的方程单元测试-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019））选择性必修第一册（Word含答案解析）

第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知双曲线的离心率是，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|＝1：2，则p的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为双曲线上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，，若的中点到轴的距离为1，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知双曲线渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，、，则对于方程的说法正确的是（ ）
A．可表示个不同的圆 B．可表示个不同的椭圆
C．可表示个不同的双曲线 D．表示焦点位于轴上的椭圆的有个
10．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．，，为等比数列
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
11．数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是
A．曲线C关于坐标原点对称
B．曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到原点的距离最小值为1
D．曲线C所围成的区域的面积小于4
12．已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点的横坐标为 B．的周长为
C．小于 D．的内切圆半径为
三、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________.
14．已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，|F1F2|＝4，点Q(2,)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为________．
15．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.
16．已知椭圆，为右顶点.过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N(2，0)，椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为___________.
四、解答题
17．已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)试求动点的轨迹方程.
(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.
18．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知椭圆的左 右顶点分别为A1 A2，上 下顶点分别为B1，B2，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A1作斜率为k的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交直线x=4于点D，直线A2D与椭圆C的另一个交点为G，直线OG与直线A1D交于点H.若，求λ取值范围.
20．如图，椭圆经过点 A(0，-1)，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；
（3）经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
21．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点P(0，3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
22．椭圆M的中心在坐标原点O，左 右焦点F1，F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点O，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为.
（1）求椭圆M与抛物线N的方程；
（2）在抛物线M位于椭圆内(不含边界)的一段曲线上，是否存在点B，使得△AF1B的外接圆圆心在x轴上？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D
【解析】因为双曲线的离心率是，
所以，解得（舍去）.
故选：D.
2．B
【解析】依题意F点的坐标为（，0），
设M在准线上的射影为K
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，
∵|FM|：|MN|＝1：2，
∴|KN|：|KM|：1，
∴p＝2，
∴p＝2．
故选：B．
3．A
【解析】设,
由题得，
所以，
故选：A
4．A
【解析】设顶点A(a，0)焦点F(c，0)，
其中一条渐近线的方程为：bx+ay=0，
设A到渐近线的距离为d=，
焦点F到渐近线的距离为d'==b，
由题意可得b：=3：1
即，
所以9a2=c2=a2+b2，
可得b2=8a2，
所以渐近线的方程为：y=x=x.
故选：A.
5．B
【解析】∵P(，)为双曲线C：x2﹣=1(b>0)上一点，
∴，
∴.
∴双曲线C的渐近线方程为，
则点P到双曲线C的渐近线的距离为.
.故选：B.
6．B
【解析】抛物线的焦点为，设，，
因为的中点到轴的距离为1，所以，
又，所以，解得.
故选：B.
7．A
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，所以．
则双曲线的离心率为．
故选：．
8．B
【解析】连接，，设则，即，，
根据双曲线定义可知，
即
即
直线与圆相切于点P
在中①
在中②
在中③
②③联立得，即
①②联立得即④
将代入④，即，
整理得即
故选：B
9．ABD
【解析】对于A选项，若方程表示圆，则符合条件的有：、、，
A选项正确；
对于B选项，若方程表示椭圆，则符合条件的有：、、、、、，B选项正确；
对于C选项，若方程表示双曲线，则符合条件的有：、、、、、，C选项错误；
对于D选项，若方程表示焦点位于轴上的椭圆，
则符合条件的有：、、，故D选项正确.
故选：ABD.
10．BD
【解析】:若，，成等比数列
则，即或（舍，
解得：，所以不正确；
：若，则由射影定理可得：，即，
所以，即，，解得；所以正确；
：若轴，所以，又，则，
所以，即，，，所以不正确；
：因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，由题意知：，又，整理得：，，，解得，
所以，所以正确，
故选:．
11．AC
【解析】用代替曲线不变，则关于原点对称，故A正确；
，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，则可得整点有8个分别为，，，故B错误；
因为，当点为时取等号，故C正确；
令，可得，
令，
因为，
所以函数有两个零点，
又因为，，
所以两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线C上当时，
同理当时，
即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，
由图象的对称性可得面积应大于4，故D错误.
故选：AC
12．ABCD
【解析】因为双曲线，所以
又因为，所以
将其代入得，即，所以选项A正确；
所以P的坐标为，由对称性可知,
由双曲线定义可知
所以，所以选项B正确；
因为，所以，
即，所以，所以选项C正确；
因为，所以，所以选项D正确.
故选：ABCD
13．
【解析】渐近线方程为，所以，
故离心率为.
故答案为：
14．
【解析】由题意得：c＝2，，解得a2＝8，b2＝4，
∴椭圆的方程为，即有F1(－2,0)，
设P(x,y)，可得：x2＝8－2y2，
则，当且仅当时， 的最大值为．
故答案为：.
15．
【解析】抛物线的准线为，
当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点
所以，
若与曲线只有一个交点，
则，解得，
当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，
此时，
此时满足与曲线只有一个交点，所以，
综上所述：实数满足的条件是或，
故答案为：
16．
【解析】解：设，则由；
线段的中点为，则，；
由题意，，，三点共线，；
即；
可得；
所以，由椭圆的离心率为，得，；
故椭圆的标准方程为：．
故答案为：．
17．（1）；（2）
【解析】（1）
由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且，
动点的轨迹方程为：
（2）将直线代入椭圆方程得：
则
设， ，
，解得：
直线的方程为：
18．条件选择见解析（1）；（2）．
【解析】方案一 选择条件①．
（1）由抛物线的定义可得．
因为，所以，解得．
故抛物线的标准方程为．
（2）设，，，由（1）可知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点到直线的距离，
所以的面积为．
方案二 选择条件②．
（1）因为，所以，，
因为点在抛物线上，
所以，即，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）设，，由（1）可知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点到直线的距离，
所以的面积为．
方案三 选择条件③．
（1）当轴时，，所以．
故抛物线的标准方程为．
（2）设，，由（1）可知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点到直线的距离，
所以的面积为．
19．（1）；（2）.
【解析】（1）A1(﹣a，0)，B1(0，b)，F(c，0)，
，，
由，得b2﹣ac=1，
又，a2=b2+c2，
解得：a=2，b=，c=1.
∴椭圆C的标准方程为；
（2）设直线A1D：y=k(x+2)(k>0)，
则与直线x=4的交点D(4，6k)，
又A2(2，0)，
∴设直线A2D：y=3k(x﹣2)，
联立，
消y可得，
，
解得G(，)，
联立，得P(，)，
直线OG：y=x，
联立，解得H(，)，
∵，
∴，
∴，
函数f(k)=3﹣在(0，+∞)上单调递增，
∴(，3).
20．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意知，b=1，
再由a2=b2+c2，
解得，
从而得椭圆的方程为；
（2）
由（1）知，椭圆右准线方程为x=2，
设N点横坐标为x0，
则=，
∵﹣∴.
∴的取值范围是[，+∞)；
（3）证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0由题设知，
直线PQ的方程为y=k(x﹣1)+1(k≠0)，
代入，
化简得，
则，
由已知△>0，
从而直线AP与AQ的斜率之和
=2k+(2﹣k) =2k﹣2(k﹣1)=2.
即有直线AP与AQ斜率之和为2.
21．（1）；（2）存在，.
【解析】解：（1）由已知点代入椭圆方程得，
由得可转化为a2=2b2，
由以上两式解得a2=4，b2=2，
所以椭圆C的方程为：.
（2）存在这样的直线.
当l的斜率不存在时，显然不满足，
所以设所求直线方程l：y=kx+3代入椭圆方程化简得：(1+2k2)x2+12kx+14=0，
①，②
△=(12k)2﹣4×14×(1+2k2)>0，，
设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由已知条件可得x2=2x1③，
综合上述①②③式子可解得符合题意，
所以所求直线方程为：.
22．（1）椭圆M：，抛物线N：；（2）不存在这样的B点，理由见解析.
【解析】（1）设椭圆的方程为=1(a>b>0)，
抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
A(3，2)在抛物线上，
可得24=6p，
即p=4，
可得抛物线N的方程为y2=8x；
由题意可得椭圆的c=2，
即F1(﹣2，0)，F2(2，0)，
由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|==7+5=12，
即a=6，
可得b2=a2﹣c2=32，
则椭圆M的方程为；
（2）在抛物线M位于椭圆内(不含边界)的﹣段曲线上，
假设存在点B，使得的外接圆圆心H在x轴上，
可设H(t，0)，由外接圆的圆心H在线段F1A的垂直平分线上，
也在线段F1B的垂直平分线上，
设B(2m2，4m)，(0≤2m2<3)，
由，
可得线段F1A的垂直平分线的斜率为﹣，
且线段F1A的中点坐标为(，)，
线段F1A的垂直平分线的方程为y﹣=﹣ (x﹣)，
可令y=0，可得x=，
即有t=；
同理可得线段F1B的垂直平分线方程为y﹣2m=﹣(x﹣m2+1)，
代入H(，0)可得﹣2m=﹣ (﹣m2+1)，
化为10m4+11m2﹣39=0，
解得m2= (-舍去)，
这与0≤2m2<3矛盾，
故不存在这样的B点，使得的外接圆圆心H在x轴上.