2021-2022学年北师大版九年级数学上册 2.4用因式分解法求解一元二次方程 培优提升测评 （word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
培优提升测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（　　）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
2．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根分别为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
3．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
4．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②2x2﹣3x﹣1＝0；③2x2﹣5x+2＝0；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　）
A．依次为：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为：因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②，③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
5．若2，3是方程x2+px+q＝0的两实根，则x2﹣px+q可以分解为（　　）
A．（x﹣2）（x﹣3） B．（x+1）（x﹣6） C．（x+1）（x+5） D．（x+2）（x+3）
6．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
7．若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3
8．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5 B．x1＝1，x2＝﹣3.5
C．x1＝1，x2＝3.5 D．x1＝﹣1，x2＝3.5
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．一元二次方程3x＝x2的根为　 　．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的两根为﹣1和3，则将x2﹣mx+n进行因式分解的结果是　 　．
11．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为　 　．
12．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2+2＝3x的两个根，那么这五个数据的平均数是　 　，方差是　 　．
13．若一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根分别是矩形的边长，则矩形对角线长为　 　．
14．已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为方程x2﹣8x+15＝0的根，则该等腰三角形的周长为　 　．
15．已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）﹣15＝0，则2x2+3的值为　 　．
16．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2＝x+12；
（3）x2﹣4x＝6；
（4）2（x+3）2＝x（x+3）．
18．选用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x﹣3＝0
（2）5x（x+1）＝2（x+1）
19．解下列方程．
（1）x2+2x﹣35＝0；
（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x．
20．阅读材料，解答问题．
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，①
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2即x＝±．
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5即x＝±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
解答问题：
（1）在原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到降次的目的；
（2）在上面的解答过程中体现了　 　的数学思想．
（3）解方程x4﹣x2﹣6＝0．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0
解得：x1＝，x2＝1．
故选：D．
2．解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
故选：B．
3．解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；
②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；
故选：C．
4．解：①3x2﹣27＝0符合ax2＝b（a，b同号且a≠0）的特点所以用直接开平方法；
②2x2﹣3x﹣1＝0等号左边有3项，方程的左边利用学过的方法不能分解，所以需要用求根公式法；
③2x2﹣5x+2＝0，等号左边有3项，观察系数的特点，可以用因式分解法来解；
④2（3x﹣1）2＝3x﹣1，可以把3x﹣1看做是个整体，利用因式分解法解方程．
故选：D．
5．解：根据根与系数的关系可得p＝﹣（2+3）＝﹣5，q＝2×3＝6．因此x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
故选：D．
6．解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，
此时方程有解，
故选：D．
7．解：令x＝a2+b2，
则原方程可变形为x2﹣2x﹣3＝0，
∵（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
又∵x＝a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3，
故选：D．
8．解：把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故答案为x1＝0，x2＝3．
10．解：由于关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的两根为﹣1和3，
∴x2﹣mx+n＝（x+1）（x﹣3）＝0，
即x2﹣mx+n＝（x+1）（x﹣3），
故答案为：（x+1）（x﹣3）
11．解：x2﹣10x+24＝0，
解得x＝6或x＝4．
所以菱形的面积为：（6×4）÷2＝12．
故答案为：12．
12．解：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2，
∴这五个数据为1，2，3，4，5，
∴那么这五个数据的平均数为（1+2+3+4+5）＝3，
这组数据的方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
故答案为3，2．
13．解：
解方程x2﹣14x+48＝0得：x1＝6，x2＝8，
即AD＝8，AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10，
故答案为：10．
14．解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，
当等腰三角形的三边长为8、3、3时，不符合三角形的三边关系，不能组成三角形；
当等腰三角形的三边长为8、5、5时，符合三角形的三边关系，能组成三角形，此时三角形的周长是8+5+5＝18；
当等腰三角形的三边长为8、8、3时，符合三角形的三边关系，能组成三角形，此时三角形的周长是8+8+3＝19；
当等腰三角形的三边长为8、8、5时，符合三角形的三边关系，能组成三角形，此时三角形的周长是8+8+5＝21；
故答案为：18或19或21．
15．解：设2x2+3＝t，且t≥3，
∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，
∴t＝3或t＝﹣5（舍去），
∴2x2+3＝3，
故答案为：3
16．解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长
设斜边为c，
∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0
即（c2﹣3）（c2+4）＝0，
∵c2+4≠0，
∴c2﹣3＝0，
解得c＝或c＝﹣（舍去）．
则直角三角形的斜边长为．
故答案为：
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：
（1）因式分解法：∵x2﹣9＝0，
∴（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝3；
直接开平方法：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x1＝﹣3，x2＝3；
（2）x2＝x+12；
∴x2﹣x﹣12＝0，
∴（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝4；
（3）∵x2﹣4x＝6，
∴x2﹣4x+4＝6+4，
∴（x﹣2）2＝10，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2﹣，x2＝2+；
（4）∵2（x+3）2＝x（x+3），
∴2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，
∴（x+3）[2（x+3）﹣x]＝0，
∴（x+3）（x+6）＝0，
∴x+3＝0或x+6＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣6．
18．解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x+4＝7，
∴（x﹣2）2＝7，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
（2）∵5x（x+1）＝2（x+1），
∴（5x﹣2）（x+1）＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
19．解：（1）x2+2x﹣35＝0，
（x+7）（x﹣5）＝0，
x+7＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣7，x2＝5．
（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x，
4x（2x﹣1）+（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（4x+1）＝0，
（2x﹣1）＝0或（4x+1）＝0，
，
20．解：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的；
故答案是：换元；
（2）利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：转化．
（3）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣2（不合题意，舍去）．
由x2＝3可得解是：x1＝，x2＝﹣，
故方程x4﹣x2﹣6＝0的解是x1＝，x2＝﹣．