2021-2022学年北师大版九年级上册 2.4 用因式分解法求解 同步训练 （word版含解析）

4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．的根是（ ）
A． B．或 C． D．或
2．已知，则的值是（ ）
A．3或 B．或2 C．3 D．
3．的根是（ ）
A． B． C． D．
4．方程的根是（ ）．
A． B． C． D．
5．解方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．方程的根是（ ）
A．，2 B．1， C．0，，2 D．0，1，2
7．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
8．已知一个三角形的一边长为5，其他两边的长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．11 C．11或13 D．9或11
9．已知关于x的一元二次方程的两个根是和2，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．用因式分解法把方程分解成两个一次方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
12．方程的解为（ ）
A．或 B． C． D．或
13．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
15．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．一个三角形的两边长分别为3和7，第三边是方程的根，则这个三角形的周长是_______．
17．已知，求的值，若设，则原方程可变为__________，所以求出z的值即为的值，所以的值为__________．
18．方程的解是_____．
19．已知，，点为中点，，，若，，则__________．
20．一元二次方程的解是____．
21．二次三项式分解因式的结果为__________；如果令，那么它的两个根是__________．
22．方程的根是__________．
三、解答题
23．用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
24．阅读材料：解方程时，把某个式子看做整体，用新的未知数去代替它，使方程得到简化，这叫换元法，先阅读下面的解题过程，再解后面的方程：
例：解方程
解：设，
∴原方程可化为，
∴，∴，则．
请利用前面的方法，解方程：．
25．请你将下表中空格处补充完整：（、是所给方程的两个实数根）
方程 k
1
1
26．（1）已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长；
（2）已知实数，求的值．
27．设方程的较大根为a，方程的较小根为b，求的值．
参考答案
1．D
解：去括号得：，
整理得： ，
所以（x-2)(x-3)=0，
解得或．
故选：D．
2．C
解：设，
∵，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选C．
3．B
解：因式分解得：，
即或，
解得，
故选：B．
4．D
解：，
两边同时除以可得：，
∴，
∴，
故选：D．
5．D
解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
因式分解得(x-2)(x+1)=0，
解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）；
当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0，
因式分解得(x+2)(x-1)=0，
解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）；
所以，原方程的根是x1=2，x2=-2．
故选：D．
6．C
解：方程x（x+1）（x-2）=0，
则x=0或x+1=0即x=-1或x-2=0即x=2，
∴方程x（x+1）（x-2）=0的根是：0，-1，2．
故选：C．
7．D
解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0，x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2，
故选：D．
8．C
∵，
∴，
当三角形的三边长分别为2，4，5时，其周长为11；
当三角形的三边长分别为4，4，5时，其周长为13；
当三角形的三边长分别为2，2，5时，无法构成三角形；
∴这个三角形的周长是11或13．
故选：C．
9．A
∵方程的两根为，，
∴．
故选：A
10．C
解：根据题意得，，
∴，
∴或．
故选：C
11．D
解： x(x+1)=0，
所以x=0或x+1=0，
解得：x1=0，x2=-1．
故选D．
12．D
解：x（x 1）＝x，
x（x 1） x＝0，
x（x 1 1）＝0，
x＝0，x 1 1＝0，
x ＝0，x ＝2．
故选D．
13．C
解：对于，，原方程无实数根，故A不合题意：
对于，去分母得：，经检验：为原方程的增根，原方程无实数根，故B不合题意；
对于，等号两端同时平方得，解得，，经检验为原方程的根，是原方程的增根，因此原方程有实数根，故C符合题意；
对于，由于，因此无实数根，故D不合题意．
故选C．
14．C
方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，
解得，
当等腰三角形的腰为时，，不能构成三角形，
当等腰三角形的腰为时，定三角形的周长为．
故选C．
15．D
解：
移项得：
提取公因式：
解得，
故答案为D．
16．17cm
解：方程x210x+21=0可化为：（x3）（x7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∴三角形的第三边长为3cm或7cm，
当第三边长为3cm时，由3+3＜7，得到三边不能构成三角形，舍去；
当第三边上为7cm时，三角形的周长为3+7+7=17cm，
则这个三角形的周长为17cm．
故答案为：17cm．
17． 2或
解：设x+y=z，
则原方程整理为：z（z+2）-8=0，
整理得：z2+2z-8=0，
（z+4）（z-2）=0，
解方程得：z1=-4，z2=2，
∴x+y=-4或者x+y=2．
故答案为：，-4或2．
18．
解：即
解得，．
故答案为：，．
19．
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，如图
∵∠ACB=∠ACM=90°，AC=AC ，
∴△ACB≌△ACM(ASA)
∴AB=AM，BC=MC
∴
∵E点是AB的中点
∴AB=2AE，
∴
∴EF×AM=BC×AC
即EF×AM=BC×AC
∴
即AE×EF=AC
∴
在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ，
设，则
即
解得：x=4或x=9
即AE=2或AE=3
当AE=2时，由AF=1及EF⊥AF，得∠AEF=30°，则∠EAF=60°，∠BAC=30°；但此时AC=2，AB=2AE=4，由∠ACB=90°，得∠ABC=30°，则∠ACB=120°，这与△ABC为直角三角形矛盾
∴AE=3
∴
故答案为：．
20．x1=-1，x2=2
解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（x-2）=0，
可得x+1=0或x-2=0，
解得：x1=-1，x2=2．
故答案为：x1=-1，x2=2．
21．（x+12）（x+8） x1=-12，x2=-8
解：x2+20x+96=（x+12）（x+8）；
x2+20x+96=0，
（x+12）（x+8）=0，
则x+12=0或x+8=0，
x1=-12，x2=-8．
故答案为：（x+12）（x+8）；x1=-12，x2=-8．
22．
解：方程变形得：＝0，
分解因式得：（2x 1）（2x 2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
故答案为：x1＝1，x2＝．
23．（1）x1=1，x2=-；（2）x1=-6，x2=4；（3）；（4）x1=3，x2=；（5）x1=-2，x2=；（6）x1=-2p，x2=2q．
解：（1），
移项，得：，
分解因式得：
则x-1=0或3x+2=0，
解得：x1=1，x2=-；
（2），
分解因式得：，
则x+6=0或x-4=0，
解得：x1=-6，x2=4；
（3），
分解因式得：，
解得：x1=x2=；
（4），
分解因式得：，
则x-3=0或2x-1=0，
解得：x1=3，x2=；
（5），
分解因式得：，
则x+2=0或x-=0，
解得：x1=-2，x2=；
（6），
分解因式得：，
则x+2p=0或x-2q=0，
解得：x1=-2p，x2=2q．
24．
解：设，则
原方程可化为，
解，得，（舍去）．
所以，，即，
所以，．
25．
解：将的值代入得，故方程为，解方程得：；
将代入得方程为，将方程得：；
将代入得，故方程为，解方程得：，；
故答案为：
26．（1）这个三角形的周长为21；（2）的值为5．
解：（1）∵x2-10x+24=0，
∴（x-4）（x-6）=0，
解得：x1=4，x2=6，
∴腰长为：4或6，
∵等腰三角形的底边长为9，且4+4＜9，不能组成三角形，舍去，
∴腰长为6，
∴这个三角形的周长为：6+6+9=21；
（2）∵（x2-x）2-4（x2-x）-12=0，
∴（x2-x+2）（x2-x-6）=0，
∴x2-x+2=0或x2-x-6=0，
∴x2-x=-2或x2-x=6．
当x2-x=-2时，x2-x+2=0，
∵b2-4ac=1-4×1×2=-7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2-x=6时，x2-x-1=5．
27．的值是2020．
解：由方程（2018x）2 2019×2017x 1＝0得：（2018x）2 （2018 1）×（2018＋1）x 1＝0，
（2018x）2 20182x＋x 1＝0，
20182x（x 1）＋（x 1）＝0，
（20182x＋1）（x 1）＝0，
∴x1＝1，x2＝ ，
∴a＝1，
由x2＋2018x 2019＝0，得（x＋2019）（x 1）＝0，
故x1＝ 2019，x2＝1，
所以b＝ 2019．
所以a b＝1 （ 2019）＝2020．