2021-2022学年北师大版九年级数学上册 第2章一元二次方程 单元提升测评 （word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》培优提升测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程
2．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+202021的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
4．用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（　　）
A．（a﹣2）2+1 B．（a+2）2﹣1 C．（a+2）2+1 D．（a﹣2）2﹣1
5．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11
6．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.38万户，设全市用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
二．填空题（共9小题，满分36分）
7．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝　 　．
8．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是　 　．
9．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程　 　．
10．方程x2＝2020x的两根之和是　 　．
11．已知方程x2﹣5x+9﹣k＝0的一个根是2，则k的值是　 　，方程的另一个根为　 　．
12．已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　．
13．若x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两实根，则的值等于　 　．
14．已知m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为　 　．
15．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则菱形的面积是　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
16．用指定方法解下列一元二次方程
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）
（3）x2+x﹣1＝0（公式法）
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）
17．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1、x2．且满足+＝|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．
19．已知Rt△ABC的三边长为a、b、c，且关于x的一元二次方程x2+（b﹣2）x+b﹣3＝0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）若a＝3，求c的值．
20．某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成．如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米
（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值，
（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由．
21．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
22．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
23．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；
B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；
C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；
D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．
故选：D．
2．解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，
∴m3+2m2+2021＝m（m2+m）+m2+2021＝m+m2+2021＝1+2021＝2022．
故选：B．
3．解：方程（2x+3）（x﹣1）＝1可化为2x2+x﹣4＝0，
∵Δ＝1﹣4×2×（﹣4）＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．解：∵a2﹣4a+5＝a2﹣4a+4﹣4+5，
∴a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1．
故选：A．
5．解：根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
则原式＝＝＝7．
故选：A．
6．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝3.38，
即（1+x）2＝1.69，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍去），
所以增长率为0.3＝30%，
故选：B．
二．填空题（共9小题，满分36分）
7．解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，
整理，得
（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
则a2+b2＝4．
故答案是：4．
8．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
9．解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．
10．解：方程化为一般式：x2﹣2020x＝0，
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝2020，
故答案为2020．
11．解：设方程的另一个根为x，
则根据根与系数的关系得：x+2＝5，2x＝9﹣k，
解得：x＝3，k＝3，
故答案为：3，3．
12．解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣3≤k＜4且k≠．
故答案为：﹣3≤k＜4且k≠．
13．解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两实根，
∴x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣3．
∴原式＝＝＝＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．解：∵m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，
∴m2﹣3m﹣2020＝0，
∴m2﹣3m＝2020，
∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1﹣2020＝﹣2019．
故答案为：﹣2019．
15．解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，
即菱形的两条对角线的长为4和，
所以菱形的面积为＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共8小题，满分60分）
16．解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，
移项，得 3（2x﹣1）2＝12，
两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，
两边开平方，得2x﹣1＝±2，
移项，得2x＝1±2，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0，
两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，
移项，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
解得：x﹣1＝±，
即x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2+x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，
方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
17．（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
18．解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，
解得：m＞2．
（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝2（m+1），x1 x2＝m2+5．
∵m＞2，
∴x1+x2＝2（m+1）＞0，x1 x2＝m2+5＞0，
∴x1＞0、x2＞0．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝|x1|+|x2|+2x1 x2，
∴4（m+1）2﹣2（m2+5）＝2（m+1）+2（m2+5），即6m﹣18＝0，
解得：m＝3．
19．解：（1）∵方程有两个相等的实数根
∴（b﹣2）2﹣4×（b﹣3）＝0
∴b＝4；
（2）当c为斜边时，c＝＝5；
当b为斜边时，c＝＝，
即c的值为5或．
20．解：（1）由题意可知：（30﹣2x）x＝108，
解得：x＝6或x＝9，
由于0＜30﹣2x≤20，
解得：5≤x＜15，
∴x＝6或x＝9，
答：若苗圃园的面积为108m2，x的值为6m或9m．
（2）由题意可知：（30﹣2x）x＝120，
∴x2﹣15x+60＝0，
∴△＝152﹣4×60＝﹣15＜0，
此时方程无解，
答：苗圃园的面积不能达到120m2
21．解：（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）．
答：每天的销售利润为1600元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，
依题意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，
整理，得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为55元．
22．解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，
解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
（2）256×（1+15）＝4096（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
23．解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有
（6﹣x） 2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意．
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积＝×6×8＝24，
（6﹣y） 2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4），
设经过m秒，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5﹣，
经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，
∴m＝5﹣；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6），
设经过n秒，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意．
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5﹣，
经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，
∴k＝5+；
综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2