13.1.2 线段垂直平分线的性质-初中数学人教版八年级上册同步试题精编（word版含答案）

13.1.2线段垂直平分线的性质
知识点1 画对称轴
例1．如图，已知扇形OAB与扇形O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．
变式2．（1）如图，已知五边形ABCDE是轴对称图形，点B、E是一对对称点．请用无刻度的直尺画出该图形的对称轴．(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）一个多边形的内角和与外角和的和是1440°，求它的边数．
3．找出图中哪些是轴对称图形？并画出其对称轴．
知识点2 垂直平分线的实际应用
例4．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）．
A．在 AC、BC 两边高线的交点处
B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处
C．在 AC、BC 两边中线的交点处
D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
变式5．如图，在中，，，点是线段的中点，且，则的周长为_______．
6．如图，在三角形纸片中，的平分线交于点D，将沿折叠，使点C落在点A处．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
课堂练习
7．如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．作图：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，作出的中线AD；
（2）如图2，作出的角平分线BE；
（3）如图3，作出的高CM．
9．赵凯想利用一块三角形纸片ABC裁剪一个菱形ADEF，要求一个顶点为A，顶点D在三角形的AC边上，点E在三角形的BC边上，点F在三角形的AB边上，请你利用尺规作图把这个菱形作出来．不写作法，保留作图痕迹
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，求CD的长．
11．已知，如图，AC=BC，AD=BD，那么______是_______的垂直平分线.
12．如图所示，在中，是平分线，的垂直平分线分别交延长线于点.求证：.
证明：∵平分
∴ (角平分线的定义)
∵垂直平分
∴ （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴（ ）
∴（等量代换）
∴（ ）
13．如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系_____．
参考答案
1．见解析
【解析】
【分析】
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此解答即可．
【详解】
如图所示，直线MN即为所求作的对称轴.
【点睛】
此题考查了根据轴对称图形定义画出轴对称图形的对称轴的方法．
2．（1）见解析；（2）8.
【解析】
【分析】
五边形ABCDE是轴对称图形，点B、E是一对对称点，则C、D为一对对称点，故连接BD，CE，可以利用三角形全等说明直线l即为所求；
(2)根据n边形内角和(n-2)·180°和多边形外角和360 解答即可.
【详解】
解：（1）如图，直线l为该图形的对称轴，
（2）设它是n边形，依题意得：
(n-2)·180°+360°=1440°，
解得：n=8.
故答案为：(1)见解析；(2)8.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，作对称轴的方法.已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决.
3．4个都是轴对称图形，画对称轴见解析.
【解析】
【分析】
如果一个图形沿着某条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
【详解】
四幅图均为轴对称图形，其对称轴如下图：
【点睛】
理解对称轴的含义是解答此类问题的关键.
4．B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【详解】
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键．
5．．
【分析】
根据中垂线的判定与性质求解即可．
【详解】
解：∵点是线段的中点，且，
∴是的中垂线，
∴，
∴的周长，
故答案是：19.5．
【点睛】
本题考查了中垂线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．
6．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由角平分线的定义可得，由折叠图形的性质可得，DE垂直平分AC，可得，即可求证；
（2）由（1）可得，在三角形ABC中，根据内角和等于180度即可求解．
【详解】
解：（1）平分，
．
∵将沿DE对折后，点C落在点A处，
垂直平分，
，
．
（2）由（1）可得，，
∴
．
【点睛】
本题考查折叠图形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理和垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用各种知识证明和求解，是个较简单的几何题．
7．C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】
解：由作图可知，垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）分别以为圆心，大于的一半为半径画弧，得到两弧的交点，过这两弧的交点作直线与交于点 连接 即可得到答案；
（2）以为圆心，任意长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，再以为端点，过两弧的交点作直线，与交于点 即可得到答案；
（3）以为圆心，大于到的距离为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的一个交点，过与这两弧的交点画直线，交直线于 从而可得答案．
【详解】
解：（1）如图1：
线段即为所求作的作出的中线．
（2）如图2：
线段即为所求作的作出的角平分线．
（3）如图3：
线段即为所求作的作出的高．
【点睛】
本题考查的是三角形的中线，角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂直平分线，角平分线的作图是解题的关键．
9．见解析．
【分析】
利用菱形的特殊性质，对角线相互垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角.可作相应角平分线及垂直平分线便可得.
【详解】
解：如图所示：
先作的平分线交BC边于点E，再作线段AE的垂直平分线交AC于点D，交AB于点F
连接DE、EF，
易证，则，
而由线段的垂直平分线的性质可得、，
，
四边形ADEF为菱形
则菱形ADEF即为所求作的菱形．
【点睛】
本题考查菱形的作图，掌握菱形的特殊性质为作图的关键.
10．
【分析】
连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A=90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC=DB，设DC=DB=x，则AD=8-x．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：连接DB，
在△ACB中，
∵AB2+AC2＝62+82＝100，
又∵BC2 ＝102 ＝100，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，
∵DE垂直平分BC，
∴DC＝DB，
设DC＝DB＝x，则AD＝8﹣x．
在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB2+AD2＝BD2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即CD＝．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握是解题的关键.
11．CD AB
【分析】
根据线段垂直平分线的判定即可解答.
【详解】
解：∵AC=BC
∴点C在线段AB的垂直平分线上；
∵AD=BD
∴点D在线段AB的垂直平分线上；
∴CD是线段AB的垂直平分线上.
故答案为CD；AB.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，熟知与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键.
12．，；，；等边对等角；内错角相等，两直线平行.
【分析】
根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可.
【详解】
证明:AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC(角平分线的定义)
EF垂直平分AD
∴FD＝FA(线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等)
∴∠BAD＝∠ADF(等边对等角)
∴∠DAC＝∠ADF(等量代换)
∴DF∥AC(内错角相等两直线平行)
故答案为:BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
13．AC垂直平分线段BD．
【分析】
根据ASA证△ABC≌△ADC,推出AB=AD,BC=CD, 可得AC和BD的关系.
【详解】
解: AC垂直平分线段BD,
理由是:在△ABC和△ADC中,
,
△ABC≌△ADC
AB=AC,BC=CD
AC垂直平分线段BD.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定及垂直平分线的性质.
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