21.3 实际问题与一元二次方程-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案）

21.3实际问题与一元二次方程
一、选择题
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则x满足的方程是（ ）
A．1+x2＝81 B．（1+x）2＝81
C．1+x+x2＝81 D．1+x+（1+x）2＝81
2．1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔（宽）为步，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．为改善居住环境，我县2019年投入治理黑臭水体2500万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+2x）＝12000 B．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000
C．2500（1+x）2＝12000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
4．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　）
A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91
5．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为m，则的长为（ ）
A．20m或5m B．25m或5m C．5m D．20m
6．若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（ ）
A．不存在这样的值 B．有两个相等的的值
C．有两个不相等的的值 D．无法确定
7．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（ ）
A．200 B．150 C．150或200 D．200或300
二、填空题
8．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒150元下调至96元，求这种药品平均每次降价的百分率是_____．
9．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为_________．
10．两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是______．
11．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，当梯子的顶端沿墙向下滑的距离与梯子底端向外移的距离相等时，的长是______．
解答题
12．某商场“五一节”进行促销活动期间，前四天的总营业额为450万元，第五天的营业额是前四天总营业额的12%．
（1）求该商场“五一节”这五天的总营业额；
（2）该商场2月份的营业额为350万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一节”这五天的总营业额与4月份的营业额相等．求该商场3、4月份营业额的月增长率．
13．为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
14．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销．经市场调研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
（1）降价促销后商场每件商品盈利______元，平均每天日销售量增加______件；
（2）在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多少元？
15．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点以的速度移动，点Q从点出发沿CB边向点B以的速度移动．
（1）如果同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为厘米？
（2）点在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
试卷第2页，总3页
参考答案
1．B
【分析】
首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可．
【详解】
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．
根据题意，得：1+x+x（1+x）＝81，
整理得：（1+x）2＝81，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
2．C
【分析】
设宽为x步，则长为（x+12）步，根据面积等于长乘以宽列出方程即可
【详解】
∵宽为x步，则长为（x+12）步，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的面积计算公式，准确列出一元二次方程是解题的关键．
3．D
【分析】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2019年投入教育经费+2019年投入教育经费×（1+增长率）+2019年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程．
【详解】
解：设每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．
故选：D．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于根据题意列出方程.
4．B
【分析】
设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，
根据题意得：x2+x+1＝91．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据主干、枝干和小分支的总数是91，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
5．D
【分析】
设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49＋1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程解答即可．
【详解】
解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49＋1﹣2x）m，
依题意得：x（49＋1﹣2x）＝200，
化简，得x2－25x＋100＝0，
解得：x1＝5，x2＝20
当x＝5时，49＋1－2x＝40＞35，故舍去
所以AB长为20m．
故选D．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，分析清楚数量关系是解题关键．
6．C
【分析】
根据题意列出方程，整理为一元二次方程的一般式，然后利用根的判别式即可判断根的情况．
【详解】
解：由题意，得，
整理得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，，
故选C．
【点睛】
本题主要考查列一元二次方程与一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根；上面结论反过来也成立．
7．A
【分析】
设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可；
【详解】
设购买洗手液x瓶，
∵＜，
∴＞，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
8．20%
【解析】
设这种药品平均每次降价的百分率是x,依题意得：
，
解得 （不合，舍去），
∴
故答案为20%.
点睛：（1）两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2，
若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b ，
则 第1次增长后的量是，
第2次增长后的量是，
…… 第n次增长后的量是；
（2）两次降低后的量=原来的量(1-降低率)2，
若原来为a,平均降低率是x,降低后的量为b ，
则 第1次降低后的量是，
第2次降低后的量是 ，
……第n次降低后的量是；
即n次平均增长（降低）率公式：.
9．4或-2
【分析】
根据运算程序列出方程求解即可．
【详解】
解：由运算程序可知
解得，
故答案为：4或-2
【点睛】
本题考查列一元二次方程和解一元二次方程，解答关键是根据题意列出方程．
10．14或
【分析】
先设出相邻的最小偶数，用偶数的性质表示对大的偶数，根据题意构造方程，解这个方程即可
【详解】
解：设两个相邻偶数分别为n，n+2,
根据题意
整理得
配方得
∴
∴,
∴，
这两个相邻偶数中较大的数是14或-12
【点睛】
本题考查一元二次方程数字问题应用题，掌握一元二次方程数字问题应用题方法与步骤，注意偶数的表示，连续偶数的表示是解题关键．
11．1.4
【分析】
由题意易得，设AC=BD=xm，则有，然后利用勾股定理可建立方程求解．
【详解】
解：由题意得：∠AOB=90°，，，
∴，
设AC=BD=xm，则有，
∴在Rt△COD中，，即，
解得：（舍去），
∴；
故答案为1.4．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理及一元二次方程的解法是解题的关键．
12．（1）504万元；（2）该商场3、4月份营业额的月增长率为20%
【分析】
（1）该商场“五一节”这五天的总营业额＝前四天的总营业额+第五天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商场3、4月份营业额的月增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份的营业额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）450+450×12%＝450+54＝504（万元）．
答：该商场“五一节”这五天的总营业额为504万元．
（2）设该商场3、4月份营业额的月增长率为x，
依题意得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商场3、4月份营业额的月增长率为20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（1）（﹣x+30）米；（2）20m或40m.
【分析】
（1）设BE＝am，则AE＝2am，AB＝3am，根据围网的总长度为120m，即可用含x的代数式表示出a，再将其代入AE＝2a中即可得出结论；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设BE＝am，而
区域①②③的面积相等，
AE＝2am，AB＝3am，
依题意得：2×3a+2a+2x＝120，
∴a＝﹣x+15，
∴AE＝2a＝﹣x+30，
∴AE的长为（﹣x+30）m．
（2）依题意得：3a x＝600，
即3（﹣x+15）x＝600，
整理得：x2﹣60x+800＝0，
解得：x1＝20，x2＝40．
答：BC的长为20m或40m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于准确找到等量关系列出方程求解.
14．（1）(50﹣x)，2x；（2）商场每件商品要降价20元
【分析】
（1）直接利用盈利-降价=降价后盈利，再结合每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，进而得出答案；
（2）利用销量×每件利润=2400，进而得出等式求出答案．
【详解】
解：（1）降价促销后商场每件商品盈利：（50﹣x）元，
平均每天日销售量增加：2x 元；
故答案为：（50﹣x），2x；
（2）由题意列方程为：（50﹣x）（40+2x）＝2400，
解得：x1＝20，x2＝10（不合题意，舍去），
答：商场每件商品要降价20元，即让利消费者又能实现2400元的日盈利．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每件利润是解题关键．
15．（1）同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；（2）不存在，理由见详解
【分析】
（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，用x表示出PC，CQ，根据勾股定理可列方程求解．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为厘米，由题意得：
，
解得：x＝2或x＝，
答：同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
，
y2 6y＋12＝0，
∵△＝36 4×12＜0，
∴方程无解，即：不存在．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，勾股定理，和一元二次方程的判别式，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
答案第8页，总8页