22.1.2 二次函数y=ax?的图像和性质-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案）

22.1.2二次函数y=ax^2的图像和性质
一、选择题
1．二次函数图像的开口方向是（ ）．
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2．二次函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
3．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，二次函数、、的图像的共同点是( )
A．关于y轴对称，开口向上
B．关于y轴对称，当x＜0时，y随x 的增大而减小
C．关于y轴对称，最高点是原点
D．关于y轴对称，顶点坐标是（0，0）
5．二次函数的图像经过点（－1，），则a的值等于（ ）
A． B． C．1 D．－1
6．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a1x2；②y=a2x2；③y=a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（ ）
A．a1a2a3 B．a1a3a2 C．a3a2a1 D．a2a1a3
二、填空题
7．二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是_____．
8．抛物线的开口方向是_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，顶点是图像的最____点（填“高”或“低”）．
9．二次函数，点在函数图像上，当时，_(填“﹥”或“﹤”)．
10．函数的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 2 0 2 …
根据表格回答：
（1）_________， ________；
（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；
（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．
11．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
12．二次函数y=2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30°，则点C的坐标为_______．
解答题
13．若二次函数的图象开口向下，求m的值．
晓丽的解题过程如下：
（解）∵是二次函数，（第一步）
∴，解得或．（第二步）
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．
14．如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线上，且轴.A点坐标为（a,-4），C点坐标为（3,b）.
（1）求a，b的值；
（2）求B，D两点的坐标；
（3）求梯形的面积.
15．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值；
(3)说出此二次函数的三条性质．
参考答案
1．B
【分析】
根据二次函数中二次项系数的符号判断，即可完成求解．
【详解】
∵的二次项系数为
∴二次函数图像的开口向下
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，即可完成解题．
2．B
【分析】
根据开口方向及对称轴为y轴即可求解．
【详解】
解：由题意可知，函数的开口方向向下，对称轴为y轴，且经过坐标原点，
故函数一定经过第三、四象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像性质是解决本题的关键．
3．C
【分析】
利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．
【详解】
二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞0，开口向上解题是解题关键．
4．D
【分析】
根据二次函数的图象和性质判断所给的三个二次函数的图象和性质．
【详解】
A选项错误，二次函数的开口向下；
B选项错误，二次函数，当时，y随着x的增大而增大；
C选项错误，二次函数和的最低点是原点；
D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟悉它的图象和性质．
5．A
【分析】
把（－1，）代入函数y=ax2中，即可求a．
【详解】
解：把（－1，）代入函数解析式，得：a=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值．
6．A
【分析】
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口，则a1a20，
③y=a3x2，开口向下，则a30，
故a1a2a3．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
7．
【分析】
把抛物线翻折后二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反即可求解.
【详解】
由题意得二次函数图像形状不变，开口相反，则a相反，故翻折后它的函数解析式为y= 2x2，
故答案为：y=-2x2
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数有关性质是解答此题的关键．
8．向下 (-3，0) x=-3 高
【分析】
根据二次函数的性质：当时，抛物线的开口向下，顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，对称轴为：．
【详解】
解：在抛物线中，
∵，
∴抛物线开口向下，顶点是图像的最高点；
∵，，
∴对称轴为x=-3，顶点坐标是(-3，0)；
故答案是：向下，(-3，0)，y轴，高．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
9．＜
【分析】
根据二次函数确定抛物线对称轴，开口方向，增减性，再结合已知条件即可求解．
【详解】
解：由二次函数得，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，y轴左侧，y随x增大而增大，再y轴右侧，y随x增大而减小，
∴当时，＜．
故答案为：＜
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟知特殊二次函数的性质是解题关键．
10．2 8 一切实数 y
【分析】
（1）把x=-1，y=2代入，得a=2，可得，把x=2，y=b代入中，得b=8；
（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；
（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y值，然后观察数据即可得到结论．
【详解】
（1）把x=-1，y=2代入，得a=2，
∴函数解析式为：，
把x=2，y=b代入中，得b=8，
故答案为：a=2，b=8．
（2）函数的解析式为，定义域是一切实数，
故答案为：，一切实数．
（3）当x=-2时，y=8；
当x=-3时，y=18；
当x=3时，y=18；
可得该函数的图像关于y轴对称．
故答案为：y．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解题的关键．
11．①②④
【分析】
根据二次函数y＝ax2的图象与性质逐一判断即得答案
【详解】
解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y开口最大，故③不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④正确．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数y=ax2的与性质是解题的关键．
12．（﹣）
【分析】
连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得2t2=t，得出BD=，OD=，然后根据菱形的性质得出C点坐标．
【详解】
解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=BD，
设BD=t，则OD=t，
∴B（t，t），
把B（t，t）代入y=2x2得2t2=t，解得t1=0（舍去），t2=，
∴BD=，OD=，
故C点坐标为：（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题关键．
13．晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程见解析．
【分析】
根据二次函数的定义及开口方向进行求解判断即可．
【详解】
解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
∵是二次函数，
∴，解得或，
∵抛物线图象开口向下，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的定义与图象性质，熟练掌握定义及图象性质是解题的关键．
14．（1）,；（2），；（3）25.
【分析】
（1）把点A，点C坐标分别代入解析式，即可求出a，b的值；
（2）由B与A的纵坐标相等，D与C的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B，D的坐标；
（3）分别求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案.
【详解】
解：（1）当时，
，
∴.
∵点A在第三象限，
∴.
当时，，
∴.
（2）∵轴，
∴A点与B点，C点与D点的纵坐标相同.
∵关于y轴对称，
∴，.
（3）由题意，得梯形的高为5，
∴.
【点睛】
本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
15．(1) 3；(2) 27；(3)答案不唯一，
【详解】
试题分析：抛物线y＝ax2经过点(1，3)，将点代入即可求得a=3,将x=3代入函数中求得y=27.二次函数的性质可以通过从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性等方面进行分析.
解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，
∴a·1＝3.∴a＝3.
(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.
(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等．