24.1.2 垂直于线的直径-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案）

24.1.2垂直于线的直径
一．选择题
1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C．在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
3．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（　　）
A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
4．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
二．填空题
5．如图，水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为20πcm2．如图所示，是该球体的一个最大截面，则该截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有___个．
6．在中，弦的长为8cm，圆心到的距离为3cm，则的半径为______cm．
7．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
8．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
9．三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm．
三．解答题
10．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
11．如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求的度数．
12．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
试卷第2页，总3页
参考答案
1．A
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦，正确，
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧，故原命题错误，
C、在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD，错误，
D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线，故原命题错误，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，垂径定理，轴对称图形，真命题与假命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．D
【分析】
如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．C
【分析】
连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断．
【详解】
解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴．
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
4．C
【分析】
作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】
解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
5．3
【分析】
连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H．利用勾股定理求出OH，即可判断．
【详解】
解：连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H．
由题意π AH2＝20π,
∴AH2＝20,
∴OH＝，
∴弓形的高＝6﹣4＝2，
∴截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有3个（线段AB上方有两个，下方有一个），
故答案为：3．
【点睛】
本题考查垂径定理，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．5
【分析】
根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可．
【详解】
解：如图所示：
∵OE⊥AB，
∴AE＝AB＝4．
在Rt△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA＝＝5，
则⊙O的半径是5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．
7．1cm或7cm．
【分析】
分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝4 3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故填1cm或7cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．
8．
【分析】
先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
9．
【分析】
（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC为圆的直径，应用勾股定理结论可得；
（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；
（3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半径，直径可得．
【详解】
解：（1）如下图，
∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°，
∴AC为圆的直径．
∵AC＝（cm）．
故答案为：；
（2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径，
∴圆的半径为cm．
∴圆的直径为cm．
故答案为：．
（3）如下图，设圆心为O，GH与AB交于点P．
连接OA，OB，ON．
由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON．
∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2cm．
设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm．
在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2．
在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2．
∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2．
∴22+（8﹣x）2＝42+x2．
解得：x＝．
∴ON＝（cm）．
∴直径为（cm）．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合运用，依据图形特点，正确找出圆心的位置是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质，垂径定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出结论.
（2）根据题意，过点O作OE⊥AB，根据垂径定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的长，即可求出AC的长度．
【详解】
（1）证明：如图，过点作于点．
，
，．
，
即．
（2）解：，，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
11．（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）利用同位角相等两直线平行，证明即可．
（2）证明△AOD是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）证明：是直径，，
，
，
，
．
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
．
【点睛】
本题考查垂径定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（1）10米；（2）能，理由见解析
【分析】
（1）连接ON，OB，根据垂径定理得到BD，在△BOD中利用勾股定理列方程求解；
（2）首先求出OE，在Rt△OEN中，根据勾股定理求出EN，得到MN，与货船的宽相比即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=16m，
∴BD=AB=8m．
又∵CD=4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=（r-4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r-4）2+82，
解得r=10，
即拱桥的半径为10m；
（2）∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，
∴CE=4-2=2m，
∴OE=r-CE=10-2=8m，
在Rt△OEN中，=6m，
∴MN=2EN=12m＞10m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【点睛】
此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
答案第10页，总10页