24.2.2 切线长定理及三角形的内切圆-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案）

24.2.2切线长定理及三角形的内切圆
知识点1 切线长定理
例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．
3．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
知识点2 三角形的内切圆和三角形的内心
变式4．已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为_______.
5．如图，在直角三角形中，，，，点为的内心，点为斜边的中点，则的长为______．
6．如图，已知点为勾股形（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中为直角，点、、分别在边、、上，，若，，则正方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
课堂练习
7．如图，，是⊙O的切线，切点为、，点为优弧上一点，且，若．则等于（ ）
A．100° B．15° C．20° D．25°
8．如图，⊙O为Rt△ABC内切圆，∠C＝90°，AO延长线交BC于D点，若AC＝4，CD＝1，则BD的长为（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，在中，,于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．如图，点O是△ABC的内心，将∠ABC平移使顶点B与点O重合，两边与AC分别交于点D和E，若AB=5，BC=4，AC=7，则△ODE的周长为____．
12．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=8，BC=DE，∠B=∠D=30°．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．I是△APC的内心．
（1）求证：∠ACB=∠AED；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当∠BAC=100°时∠AIC的取值范围是m°<∠AIC试卷第2页，总3页
参考答案
1．B
【分析】
先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可.
【详解】
解：PA，PB是⊙O的切线，
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
2．C△ABC＝40.
【解析】
【分析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC的周长转化为AD＋AE求解．
【详解】
∵AD,AE切于⊙O于D,E，
∴AD＝AE＝20
∵AD,BF切于⊙O于D,F
∴BD＝BF
同理：CF＝CE
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40.
故答案为：C△ABC＝40.
【点睛】
本题考查切线长定理.
3．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接OA，已知AB⊥OP，OB=OA，根据等腰三角形的三线合一的性质可得∠BOP=∠AOP；根据切线的性质定理可得∠OAP=90°，证明△OBP≌△OAP，根据全等三角形的性质可得∠OBP=∠OAP=90°．由此即可证得结论；
（2）在Rt△AOD中，根据勾股定理求得AD=4，由切线长定理可得PA=PB，在Rt△DBP中，根据勾股定理求得PB= 6，再在Rt△OBP中，根据勾股定理求得OP=3．
【详解】
（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OBP与△OAP中，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°．
∴OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵OD=5，OA=OB=3，∴在Rt△AOD中，AD==4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即（PB+4）2=PB2+82，
解得，PB= 6，
在Rt△OBP中，OP==3．
【点睛】
本题主要考查了切线的判定定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质及切线长定理，熟悉图形的几何关系是解题的关键.
4．1
【分析】
分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：∠ODC=∠OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可.
【详解】
解：如图所示，分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF
∴∠ODC=∠OEC=90°
∵∠C=90°，设OD=OE=r
∴四边形OECD是正方形
∴EC=CD=OD=OE=r
根据切线长定理可得：BF=BD=BC－CD=3－r，AF=AE=AC－EC=4－r
由勾股定理可知：AB=
∵AF＋BF=AB
∴（4－r）＋（3－r）=5
解得：r=1
故答案为：1
【点睛】
此题考查的是求三角形内切圆的半径，掌握正方形的判定及性质、切线的性质和切线长定理是解决此题的关键.
5．
【分析】
如图（见解析），先根据三角形内切圆的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据线段的和差可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式可得，据此在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，设内切圆与的切点分别为点，连接，
则，
在中，，
，
点为斜边的中点，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
，即，
解得，
在中，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形内切圆的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
6．B
【分析】
先根据已知条件证明和全等，和全等，然后设正方形的边长为，在中，利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可．
【详解】
，∠ABO=∠CBO，
是和的公共边，
，
同理可得，，
，，
由题意得，四边形为正方形，
设，
，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
正方形的面积是4，
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元二次方程的解法、勾股定理、三角形的内心等知识，熟练掌握正方形的性质，根据勾股定理列出方程式是解答本题的关键．
7．C
【分析】
如图（见解析），先根据切线长定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的性质可得，从而可得，，最后根据圆周角定理即可得．
【详解】
解：如图，延长交于点，连接，
是的切线，，
，
，
，
又，
，
，
则由圆周角定理得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了切线长定理、圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
8．C
【分析】
设⊙O与Rt△ABC的切点为E，F，G，连接OE，OF，OG，OC，OB，利用已知易证四边形OGCE为正方形，利用OE//BC，得出比例式，进而求出圆的半径，在利用角平分线的性质得出AB：BD＝4，最后利用直角三角形的内切圆的半径的关系列出关于BD的方程即可求解．
【详解】
解：如图，设⊙O与Rt△ABC的切点为E，F，G，
连接OE，OF，OG，OC，OB．
∵⊙O为Rt△ABC内切圆，切点为E，F，G，
∴AE＝AF，CE＝CG，BF＝BG，
∵AC切⊙O于E，BC切⊙O于G，
∴OE⊥AC，OG⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OGCE为矩形，
∵OE＝OG，
∴矩形OGCE为正方形，
设圆的半径为x，则AE＝4﹣x，
∵OE//CD，
∴
∴
∴，
∵O是△ABC的内心，
∴OC平分∠ACB,
∴,
∴BO平分∠ABC,
∴,
设BD＝a，则AB＝4a,
∵AE＝AF，CE＝CG，BF＝BG，
∴CE＝EC＝，
∴，
∴a＝，
即BD＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质、平行线分线段成比例、切线的性质、直角三角形的内切圆与内心等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．B
【分析】
分别与的三边切于，，，连接，利用求出，进一步得出结论．
【详解】
如图，令分别与的三边切于，，，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．
10．A
【分析】
根据切线长定理求出AD=AF，BE=BD，CE=CF，得出等边三角形ADF，推出，根据BC=6，求出BD+CF=6，求出AD+AF=4，即可求出答案．
【详解】
解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AF的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
11．7
【分析】
连接AO和CO，证明DA=DO，EO=EC后，将△ODE的周长转化为了AC的长即可求解．
【详解】
解：如图，连接AO和CO，
由平移可得：OD∥AB，OE∥BC，
∴∠BAO=∠OAD，∠BCO=∠COE，
∵点O是ABC的内心，
∴AO、CO分别平分∠BAC和∠BCA，
∴∠BAO=∠OAD，∠BCO=∠OCE
∴∠OAD=∠AOD，∠OCE=∠COE，
∴DA=DO，EC=EO，
∴ODE的周长为：DO+EO+DE=DA+DE+EC=AC=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心、平移的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题关键，学生需要通过作辅助线构造等藏三角形，将△ODE三条边转化到同一条直线上完成求解，此题考查了学生对所学知识点的理解与掌握的程度，其中用到了转化的思想．
12．（1）见解析；（2）PD=8﹣x，PD最大值是3；（3）m=105，n=155
【分析】
（1）根据全等三角形的判定证明△ABC≌△ADE（SAS）即可解答；
（2）由PD=8﹣x知当AP最小时PD最大，当AP⊥BC时，AP最小，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解AP即可解答；
（3）由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，利用三角形的内角和等于180°和角平分线的定义表示出∠AIC，即可求得m、n的值．
【详解】
（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）,
∴∠ACB=∠AED；
（2）∵AD=8，AP=x，
∴PD=AD﹣AP=8﹣x，
∴当AP最小时PD最大，当AP⊥BC时，AP最小，
又∵∠B=30°，AB=8，
∴AP的最小值为AB=4，
故PD的最大值为8﹣4=4；
（3）如图，设∠BAP=α，则0＜α＜100°，
∵∠B=30°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣30°﹣100°=50°，∠PAC=100°﹣α，
∵I为△APC的外心，
∴AI、CI分别平分∠PAC、∠ACB，
∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠ACB，
∴∠AIC=180°﹣∠IAC﹣∠ICA
=180°﹣（∠PAC+∠ACB）
=180°﹣（100°﹣α+50°）
=α+105°，
∵0＜α＜100°，
∴105°＜α+105°＜155°，
∴105°＜∠AIC＜155°
∴m=105，n=155．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质、三角形内心定义、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，将PD的最大值转化为AP的最小值是解答的关键．
答案第12页，总12页