24.1.4 圆周角-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 24.1.4 圆周角-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 615.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-12 08:24:26 | ||
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文档简介
24.1.4圆周角
知识点1 圆周角定理
例1．如图，⊙O 是的外接圆，若，则角的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
变式2．如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
知识点2 同弧或等弧所对的圆周角相等
例4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，OD//AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC
变式5．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
6．如图，为的一条固定直径，自左半圆上一点，作弦，的平分线交于点，当点在左半圆（不包括，两点）上移动时，关于点的说法：
①到的距离始终不变；
②位置始终不变；
③始终平分；
④位置随点的移动而移动．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．④
知识点3 直径所对的圆周角
例7．如图，内接于，其外角的平分线交于点D，点A为弧CD的中点．若，则的大小为（ ）
A．84° B．85° C．86° D．88°
变式8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝52°，则∠ADC的度数为（ ）
A．52° B．48° C．42° D．38°
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
课堂练习
10．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠CAB＝30°，则∠D等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
11．如图，一个简易量角器放在∠BAC上面，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．40° D．80°
12．如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
14．如图，是的直径，、两点在上，若．
（1）求的度数；
（2）若，，求的半径．
15．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一点D，使；
（2）在图②中的圆上找一点E，使平分；
（3）在图③中的圆上找一点F，使平分；
试卷第4页，总4页
参考答案
1．A
【分析】
根据题意可得 ， ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵⊙O 是的外接圆，若，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
2．D
【分析】
在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
【详解】
在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】
由∠BCD＝25°，根据圆周角定理得出∠BOD＝50°，再利用邻补角的性质即可得出∠AOD的度数．
【详解】
解：∵∠BCD＝25°，，
∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．A
【分析】
根据圆心角定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”和圆周角定理“一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半”并结合题意可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD//AC， ＝，
∴∠BOD＝∠COD，∠BAD＝∠CAD，故选项B、C结论正确；
∵∠BAC＝∠BOC，∠BOD＝∠COD，
∴∠BOD＝∠BAC，故选项D结论正确．
∵OA并不是圆的弦
∴不能得到∠C=∠D，故选项A结论错误，符合题意．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
5．C
【分析】
首先连接BC，根据∠BOD和∠BCD是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠BCD的度数，再根据∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠ABC的度数，再根据三角形的外角，得出∠AEC=∠EBC+∠ECB,即可求出∠AEC的度数．
【详解】
连接BC，
∵ 和 是 所对的圆心角和圆周角，
,
又 和 是所对的圆心角和圆周角，
,
又∵∠AEC是△BEC的外角，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．
6．C
【分析】
连接OE，由CE平分∠OCD，得到∠1＝∠2，而∠1＝∠E，所以有OECD，则OE⊥AB，即可得到OE平分半圆AEB．
【详解】
解：连OE，如图，
∵CE平分∠OCD，
∴∠1＝∠2，
而OC＝OE，有∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴OECD，
∵点O到CD的距离在变，
∴点E到CD的距离发生变；故①错误；
又∵弦CD⊥AB，
∴OE⊥AB，
∴OE平分半圆AEB，即点E是半圆的中点，
∴点E位置始终不变；故②正确．③④错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．
7．A
【分析】
连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出度数，进一步计算可得的度数．
【详解】
解：连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，
∵AF是直径，
∴，
∵点A为弧CD的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．
8．D
【分析】
AB为⊙O的直径可得，又因为∠CAB＝52°，可得，根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”即可求解．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径
∴
又∵∠CAB＝52°
∴
根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可得：
故答案选D．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的有关性质是解题的关键．
9．C
【分析】
连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：连接AC，
∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了弧的中点，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握弧的中点的意义，活用直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
10．B
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠D＝∠B，然后利用互余计算出∠B即可．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
11．B
【分析】
连接OD，根据量角器度量角的方法得到圆心角的度数为40°，然后根据圆周角定理即可得到∠BAC的度数．
【详解】
解：连接OD，如图，
∵∠DOC＝40°，
∴∠BAC＝∠DOC＝20°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．C
【分析】
根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长．
【详解】
解：∵为的直径，，
∴∠ACB=90°，，
连接OD，
∵，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形．
13．（1）见解析（2）37.5°．
【分析】
（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB＋∠DEB＝180°，而∠BED＋∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【详解】
（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB＋∠DEB＝180°，∠CED＋∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【点睛】
本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是关键．
14．（1）；（2）5．
【分析】
（1）根据圆周角定理，，求出，再根据直角三角形的性质求出答案即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，，再利用含30度的直角三角形的性质求出即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴的半径为5．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
15．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据直径所对的圆周角等于90°，即可得到答案；
（2）根据垂径定理，即可画出图形，
（3）作垂直于AC的直径，交于点F，连接BF，即可．
【详解】
解：（1）如图①，∠ADC即为所求作；
（2）如图②，点E即为所作；
（3）如图③，点F即为所作；
【点睛】
本题主要考查简单几何作图，熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，是解题的关键．
答案第10页，总10页
知识点1 圆周角定理
例1．如图，⊙O 是的外接圆，若，则角的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
变式2．如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
知识点2 同弧或等弧所对的圆周角相等
例4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，OD//AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC
变式5．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
6．如图，为的一条固定直径，自左半圆上一点，作弦，的平分线交于点，当点在左半圆（不包括，两点）上移动时，关于点的说法：
①到的距离始终不变；
②位置始终不变；
③始终平分；
④位置随点的移动而移动．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．④
知识点3 直径所对的圆周角
例7．如图，内接于，其外角的平分线交于点D，点A为弧CD的中点．若，则的大小为（ ）
A．84° B．85° C．86° D．88°
变式8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝52°，则∠ADC的度数为（ ）
A．52° B．48° C．42° D．38°
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
课堂练习
10．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠CAB＝30°，则∠D等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
11．如图，一个简易量角器放在∠BAC上面，则∠BAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．40° D．80°
12．如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
14．如图，是的直径，、两点在上，若．
（1）求的度数；
（2）若，，求的半径．
15．如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一点D，使；
（2）在图②中的圆上找一点E，使平分；
（3）在图③中的圆上找一点F，使平分；
试卷第4页，总4页
参考答案
1．A
【分析】
根据题意可得 ， ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵⊙O 是的外接圆，若，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
2．D
【分析】
在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
【详解】
在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】
由∠BCD＝25°，根据圆周角定理得出∠BOD＝50°，再利用邻补角的性质即可得出∠AOD的度数．
【详解】
解：∵∠BCD＝25°，，
∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．A
【分析】
根据圆心角定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”和圆周角定理“一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半”并结合题意可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD//AC， ＝，
∴∠BOD＝∠COD，∠BAD＝∠CAD，故选项B、C结论正确；
∵∠BAC＝∠BOC，∠BOD＝∠COD，
∴∠BOD＝∠BAC，故选项D结论正确．
∵OA并不是圆的弦
∴不能得到∠C=∠D，故选项A结论错误，符合题意．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
5．C
【分析】
首先连接BC，根据∠BOD和∠BCD是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠BCD的度数，再根据∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠ABC的度数，再根据三角形的外角，得出∠AEC=∠EBC+∠ECB,即可求出∠AEC的度数．
【详解】
连接BC，
∵ 和 是 所对的圆心角和圆周角，
,
又 和 是所对的圆心角和圆周角，
,
又∵∠AEC是△BEC的外角，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．
6．C
【分析】
连接OE，由CE平分∠OCD，得到∠1＝∠2，而∠1＝∠E，所以有OECD，则OE⊥AB，即可得到OE平分半圆AEB．
【详解】
解：连OE，如图，
∵CE平分∠OCD，
∴∠1＝∠2，
而OC＝OE，有∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴OECD，
∵点O到CD的距离在变，
∴点E到CD的距离发生变；故①错误；
又∵弦CD⊥AB，
∴OE⊥AB，
∴OE平分半圆AEB，即点E是半圆的中点，
∴点E位置始终不变；故②正确．③④错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．
7．A
【分析】
连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出度数，进一步计算可得的度数．
【详解】
解：连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，
∵AF是直径，
∴，
∵点A为弧CD的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．
8．D
【分析】
AB为⊙O的直径可得，又因为∠CAB＝52°，可得，根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”即可求解．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径
∴
又∵∠CAB＝52°
∴
根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可得：
故答案选D．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的有关性质是解题的关键．
9．C
【分析】
连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：连接AC，
∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了弧的中点，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握弧的中点的意义，活用直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
10．B
【分析】
根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠D＝∠B，然后利用互余计算出∠B即可．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
11．B
【分析】
连接OD，根据量角器度量角的方法得到圆心角的度数为40°，然后根据圆周角定理即可得到∠BAC的度数．
【详解】
解：连接OD，如图，
∵∠DOC＝40°，
∴∠BAC＝∠DOC＝20°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．C
【分析】
根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长．
【详解】
解：∵为的直径，，
∴∠ACB=90°，，
连接OD，
∵，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形．
13．（1）见解析（2）37.5°．
【分析】
（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB＋∠DEB＝180°，而∠BED＋∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【详解】
（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB＋∠DEB＝180°，∠CED＋∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【点睛】
本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是关键．
14．（1）；（2）5．
【分析】
（1）根据圆周角定理，，求出，再根据直角三角形的性质求出答案即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，，再利用含30度的直角三角形的性质求出即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴的半径为5．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
15．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据直径所对的圆周角等于90°，即可得到答案；
（2）根据垂径定理，即可画出图形，
（3）作垂直于AC的直径，交于点F，连接BF，即可．
【详解】
解：（1）如图①，∠ADC即为所求作；
（2）如图②，点E即为所作；
（3）如图③，点F即为所作；
【点睛】
本题主要考查简单几何作图，熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，是解题的关键．
答案第10页，总10页
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