22.3 实际问题与二次函数 同步提升 2021—2022学年人教版数学九年级上册（word版含答案）

人教版 九年级数学 上册 22.3 实际问题与二次函数 同步提升
一、选择题
1. 某种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的(　　)
A．最大值为5万元 B．最大值为7万元
C．最小值为5万元 D．最小值为7万元
2. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为(　　)
A．130元/个 B．120元/个
C．110元/个 D．100元/个
3. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
4. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(　　)
A．50 m B．100 m
C．160 m D．200 m
5. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(　　)
A．18 m2 B．18 m2 C．24 m2 D. m2
6. 如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP面积的最小值是(　　)
A．8 cm2 B．16 cm2 C．24 cm2 D．32 cm2
7. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为(　　)
A．800平方米 B．750平方米
C．600平方米 D．2400平方米
8. （2020·长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（，a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 （　　）
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
二、填空题
9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.
10. （2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t－6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．
11. (2020·连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2，则最佳加工时间为 ▲ min.
12. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t· 为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为________．
13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
14. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.
15. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.
三、解答题
16. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg.经销一段时间后得到如下数据：
销售单价x(元/kg) 120 130 … 180
每天销量y(kg) 100 95 … 70
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
17. （2020·黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
18. 如图，排球运动员站在O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
(1)当h＝2.6时，求y与x之间的函数解析式；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，则h的取值范围是多少？
19. （2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
人教版 九年级数学 上册 22.3 实际问题与二次函数 同步提升-答案
一、选择题
1. 【答案】B
2. 【答案】B　[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．
3. 【答案】A　[解析] y＝－(x2－4x＋4)＋4＝－(x－2)2＋4，∴水喷出的最大高度是4米．
4. 【答案】C　[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．
5. 【答案】C　[解析] 如图，过点C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，∠DCE＝∠CEB＝90°，
则∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30°.
设CD＝AE＝x m，则BC＝(12－x)m.
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝(6－x)m，
∴AD＝CE＝＝(6 －x)m，AB＝AE＋BE＝x＋6－x＝(x＋6)m，
∴梯形ABCD的面积＝(CD＋AB)·CE
＝(x＋x＋6)·(6 －x)
＝－x2＋3 x＋18
＝－(x－4)2＋24 .
∴当x＝4时，S最大＝24 .
即CD的长为4 m时，梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2.故选C.
6. 【答案】A　[解析] 设运动时间为t s，四边形BCQP的面积为S m2，
则S＝－＝－＝－t2＋24.
∵点P从点A出发，沿AB方向以2 m/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，8÷2＝4，6÷1＝6，
∴0∴当t＝4时，S取得最小值，最小值为－42＋24＝8(cm2)．
7. 【答案】B　[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，围成矩形场地的面积为y平方米，
则y＝x·＝－x2＋40x＝－(x－40)2＋800.
∵a<0，∴x<40时，y随x的增大而增大，由于墙长为30米，∴08. 【答案】C
【解析】本题考查了二次函数实际应用问题，根据题意，题中的“可食用率”p应该是最大时为最佳时间，所以先把图中三个点代入，可得到a，b，c的三元一次方程组，解得，所以p应该最大时，因此本题选C．
二、填空题
9. 【答案】144　【解析】∵围墙的总长为50 m，设3间饲养室合计长x m，则饲养室的宽＝ m，∴总占地面积为y＝x·＝－x2＋12x(0＜x＜48)，由y＝－x2＋12x＝－(x－24)2＋144，∵x＝24在0＜x＜48范围内，a＝－<0，∴在0＜x≤24范围内，y随x的增大而增大，∴x＝24时，y取得最大值，y最大＝144 m2.
10. 【答案】2.5．
【解析】令s＝0，得15t－6t2＝0，解得t1＝2.5，t2＝0（不合题意，舍去），故答案为2.5．
11. 【答案】3.75
【解析】本题考查了二次函数的性质，当加工时间x为何值时可食用率y最大，从而转化为二次函数的最值问题，由二次项系数为负，配方可知x=3.75时，y最在大，故答案为3.75.
12. 【答案】013. 【答案】75　[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m，则与墙平行的一边的长为27－(3x－1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，∴当x＝－＝5时，S最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m2.
14. 【答案】48　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB与y轴交于点H.
∵AB＝36 m，∴AH＝BH＝18 m.
由题可知：OH＝7 m，CH＝9 m，
∴OC＝9＋7＝16(m)．
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.
∵抛物线的顶点为C(0，16)，
∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.
把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，
∴7＝324a＋16，
∴a＝－，
∴y＝－x2＋16.
当y＝0时，0＝－x2＋16，
∴－x2＝－16，解得x＝±24，
∴E(24，0)，D(－24，0)，
∴OE＝OD＝24 m，
∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．
15. 【答案】0.5　[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.
三、解答题
16. 【答案】
解：(1)y＝－x＋160，120≤x≤180.(3分)
(2)设销售利润为W元，则
W＝y(x－80)＝(－x＋160)(x－80)，(4分)
即W＝－x2＋200x－12800＝－(x－200)2＋7200.(5分)
∵－＜0，
∴当x＜200时，W随x的增大而增大，
又120≤x≤180，
∴当x＝180时，W取最大值，
此时，W＝－(180－200)2＋7200＝7000.
答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．(8分)
17. 【答案】
解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，解得：．
所以甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）＝﹣2x2+60x﹣400＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
18. 【答案】
解：(1)当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6.
因为点A(0，2)在抛物线上，所以2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－，
所以y与x之间的函数解析式为y＝－(x－6)2＋2.6.
(2)球能越过球网且会出界．
理由：当x＝9时，y＝－(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，
所以球能越过球网；
当x＝18时，y＝－(18－6)2＋2.6＝－2.4＋2.6＝0.2＞0，
所以球会出界．
(3)把x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝，
所以y＝(x－6)2＋h.
当x＝9时，y＝(9－6)2＋h＝＞2.43.①
当x＝18时，y＝(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②
由①②解得h≥.
19. 【答案】
解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10时，s2有最大值400，∴当h＝10时，s有最大值20cm．
∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，∴a＝b或a+b＝20；
（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4（20+m）2，
∴当h时，smax＝20+m＝20+16，∴m＝16，此时h18．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．