第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质 同步练习题 2021-2022学年 人教版八年级数学上册 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质 同步练习题 2021-2022学年 人教版八年级数学上册 （word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 371.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-12 08:33:37 | ||
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文档简介
2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质 同步练习题
一、选择题
1．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
2．如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．②④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
3．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A．△AEG≌△AFG B．△AED≌△AFD C．△DEG≌△DFG D．△BDE≌△CDF
4．如图，已知，点O为与的平分线的交点，且于D．若，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．32 C．30 D．64
5．如图，平分，于点，于点，延长，交， 于点，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，已知AB∥CD，与的平分线交于点，于点，且，则点到，的距离之和是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
8．已知如图，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（ ）
A．BD+ED＝BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
9．如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．如图，是的角平分线， ，则与的面积比为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，的平分线交于点O，于D，如果，，，且S△ABC＝150cm2，那么_____．
12．如图，已知三个内角的平分线交于点O，点D在的延长线上，且，，若，则的度数为_________．
13．中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是______.
14．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为__________
15．如图，的三边、、长分别是10、15、20，三条角平分线交于点，则等于__________．
三、解答题
16．如图，，是上一点，且平分，平分，求证：．
17．已知：如图，在中，，BD平分，于点E，若与的面积比为，求与的面积之比．
18．如图，在△ABC中，GD＝DC，过点G作FG∥BC交BD的延长线于点F，交AB于点E．
（1）△DFG与△DBC全等吗？说明理由；
（2）当∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2时，求点D到AB边的距离．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若AB＝14，AF＝8，求CF的长．
20．如图，在中，平分，，于点，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．如图，四边形中，，点为的中点，且平分，，垂足为点
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）判断，，之间的数量关系，并说明理由．
22．已知是的平分线，点是射线上点，点，分别在射线，上，连接，．
（1）发现问题：如图1，当，时，则与的数量关系是 ．
（2）探究问题：如图2，点，在射线，上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．（温馨提示：过作于，于）
23．（1）如图1，中，的角平分线与的外角的平分线交于．当为时，则为的度数．
（2）在（1）的条件下，若的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于，如此继续下去可得…，，则______°；
（3）如图2，四边形ABCD中，为的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的角，若，则_________°；
（4）如图3，中，的角平分线与的外角的平分线交于，若E为BA延长线上一动点，连EC，与的角平分线交于Q，
①求证的值为定值；
②的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论 （填编号），并写出其值．
【参考答案】
1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A
11．5
12．92°
13．2
14．4
15．
16．证明：如图：
过作于，
，平分，平分，
，，，，，，
在和中，
，
，
，
同理：AE=AB，
．
17．∵BD平分，，
∴DE=DC
∵BD=BD
∴Rt△DBE≌Rt△DBC(HL)
∴△DBE与△DBC的面积相等
∵与的面积比为
设的面积为3k，则的面积为8k
∴△DBE的面积为3k，△ADE的面积为：8k-3k-3k=2k
∴与的面积之比为：2k:8k=1:4．
18．解：（1）△DFG≌△DBC，理由如下：
∵FG∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
在△DFG和△DBC中，
∵，
∴△DFG≌△DBC（AAS）．
（2）如图，过点D作DM⊥AB于点M，连结DE，
由（1）得△DFG≌△DBC，
∴DF＝DB，
∵DE⊥BD，
∴∠EDF＝∠EDB＝90°，
在△DEF和△DEB中，
∵，
∴△DEF≌△DEB（SAS），
∴∠F＝∠EBD，
∵FG∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
∴∠EBD＝∠FBC，
∴BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DM⊥AB，CD＝2，
∴DM＝CD＝2，即点D到AB边的距离为2．
19．（1）∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝14﹣x，AC＝AF+CF＝8+x，
∴14﹣x＝8+x，解得：x＝3．
故CF＝3．
20．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．
（2）设CF=x，则AE=14-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=14-x，
解得x=3，即CF=3．
21．证明：∵，平分，OE⊥AC，
∴.
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴平分.
证明：在和中，
，
∴，
∴.
同理求出，
∴，
∴.
解：.
理由如下：
∵，
∴.
同理可得.
∵，
∴．
22．解：（1）PC=PD，
理由：∵OM是∠AOB的平分线，，
∴PC=PD（角平分线上点到角两边的距离相等），
故答案为：PC=PD；
（2）成立
理由：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC=∠PFD=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，
而∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC=PD．
23．解：（1）∵的角平分线与的外角的平分线交于，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠4=∠2+∠A1，∠ACD=∠A+∠ABC，即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，
∴2∠4=∠A+2∠2，
整理得∠4=∠A+∠2，
∴∠A1=∠A=；
（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,
∴∠A2=∠A1=∠A，
∴∠A3=∠A2=∠A=∠A，
…,
∴∠An=∠A，
∴当n=6时∠A6=∠A=，
故答案为：；
（3）延长BA，CD交于G，
∵，
∴∠GAD+∠GDA=360°-()=360°-230°=130°，
∴∠G=180°-(∠GAD+∠GDA)=180°-130°=50°，
∴∠F=∠G=；
（4）①=180°，
∵∠A1=∠BAC，
∵∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，
∴∠5=∠6，,7=∠8，
∵∠EAC+∠5+∠6+∠7+∠8=180°，
∴∠EAC+2∠6+2∠8=180°，
∴∠6+∠8=90°-∠EAC，
∴∠Q=180°-（∠6+∠8）=180°-（90°-∠EAC）=90°+∠EAC，
∴=90°+∠EAC+∠BAC=90°+（∠EAC+∠BAC）=90°+90°=180°，
∴的值为定值，
②==90°+∠EAC-∠BAC=90°+（∠EAC-∠BAC），
∵∠EAC=180°-∠BAC，
∴=90°+（180°-∠BAC -∠BAC）=180°-∠BAC，
∵∠BAC可变，
∴的值不为定值．
故答案为①, ∠Q+∠A=180°．
一、选择题
1．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
2．如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．②④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
3．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A．△AEG≌△AFG B．△AED≌△AFD C．△DEG≌△DFG D．△BDE≌△CDF
4．如图，已知，点O为与的平分线的交点，且于D．若，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．32 C．30 D．64
5．如图，平分，于点，于点，延长，交， 于点，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，已知AB∥CD，与的平分线交于点，于点，且，则点到，的距离之和是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
8．已知如图，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（ ）
A．BD+ED＝BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
9．如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．如图，是的角平分线， ，则与的面积比为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，的平分线交于点O，于D，如果，，，且S△ABC＝150cm2，那么_____．
12．如图，已知三个内角的平分线交于点O，点D在的延长线上，且，，若，则的度数为_________．
13．中，是直角，是两内角平分线的交点，，，，到三边的距离是______.
14．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积是，则的长为__________
15．如图，的三边、、长分别是10、15、20，三条角平分线交于点，则等于__________．
三、解答题
16．如图，，是上一点，且平分，平分，求证：．
17．已知：如图，在中，，BD平分，于点E，若与的面积比为，求与的面积之比．
18．如图，在△ABC中，GD＝DC，过点G作FG∥BC交BD的延长线于点F，交AB于点E．
（1）△DFG与△DBC全等吗？说明理由；
（2）当∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2时，求点D到AB边的距离．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若AB＝14，AF＝8，求CF的长．
20．如图，在中，平分，，于点，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．如图，四边形中，，点为的中点，且平分，，垂足为点
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）判断，，之间的数量关系，并说明理由．
22．已知是的平分线，点是射线上点，点，分别在射线，上，连接，．
（1）发现问题：如图1，当，时，则与的数量关系是 ．
（2）探究问题：如图2，点，在射线，上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．（温馨提示：过作于，于）
23．（1）如图1，中，的角平分线与的外角的平分线交于．当为时，则为的度数．
（2）在（1）的条件下，若的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于，如此继续下去可得…，，则______°；
（3）如图2，四边形ABCD中，为的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的角，若，则_________°；
（4）如图3，中，的角平分线与的外角的平分线交于，若E为BA延长线上一动点，连EC，与的角平分线交于Q，
①求证的值为定值；
②的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论 （填编号），并写出其值．
【参考答案】
1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A
11．5
12．92°
13．2
14．4
15．
16．证明：如图：
过作于，
，平分，平分，
，，，，，，
在和中，
，
，
，
同理：AE=AB，
．
17．∵BD平分，，
∴DE=DC
∵BD=BD
∴Rt△DBE≌Rt△DBC(HL)
∴△DBE与△DBC的面积相等
∵与的面积比为
设的面积为3k，则的面积为8k
∴△DBE的面积为3k，△ADE的面积为：8k-3k-3k=2k
∴与的面积之比为：2k:8k=1:4．
18．解：（1）△DFG≌△DBC，理由如下：
∵FG∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
在△DFG和△DBC中，
∵，
∴△DFG≌△DBC（AAS）．
（2）如图，过点D作DM⊥AB于点M，连结DE，
由（1）得△DFG≌△DBC，
∴DF＝DB，
∵DE⊥BD，
∴∠EDF＝∠EDB＝90°，
在△DEF和△DEB中，
∵，
∴△DEF≌△DEB（SAS），
∴∠F＝∠EBD，
∵FG∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
∴∠EBD＝∠FBC，
∴BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DM⊥AB，CD＝2，
∴DM＝CD＝2，即点D到AB边的距离为2．
19．（1）∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝14﹣x，AC＝AF+CF＝8+x，
∴14﹣x＝8+x，解得：x＝3．
故CF＝3．
20．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB．
（2）设CF=x，则AE=14-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=14-x，
解得x=3，即CF=3．
21．证明：∵，平分，OE⊥AC，
∴.
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴平分.
证明：在和中，
，
∴，
∴.
同理求出，
∴，
∴.
解：.
理由如下：
∵，
∴.
同理可得.
∵，
∴．
22．解：（1）PC=PD，
理由：∵OM是∠AOB的平分线，，
∴PC=PD（角平分线上点到角两边的距离相等），
故答案为：PC=PD；
（2）成立
理由：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC=∠PFD=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，
而∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC=PD．
23．解：（1）∵的角平分线与的外角的平分线交于，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠4=∠2+∠A1，∠ACD=∠A+∠ABC，即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，
∴2∠4=∠A+2∠2，
整理得∠4=∠A+∠2，
∴∠A1=∠A=；
（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,
∴∠A2=∠A1=∠A，
∴∠A3=∠A2=∠A=∠A，
…,
∴∠An=∠A，
∴当n=6时∠A6=∠A=，
故答案为：；
（3）延长BA，CD交于G，
∵，
∴∠GAD+∠GDA=360°-()=360°-230°=130°，
∴∠G=180°-(∠GAD+∠GDA)=180°-130°=50°，
∴∠F=∠G=；
（4）①=180°，
∵∠A1=∠BAC，
∵∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，
∴∠5=∠6，,7=∠8，
∵∠EAC+∠5+∠6+∠7+∠8=180°，
∴∠EAC+2∠6+2∠8=180°，
∴∠6+∠8=90°-∠EAC，
∴∠Q=180°-（∠6+∠8）=180°-（90°-∠EAC）=90°+∠EAC，
∴=90°+∠EAC+∠BAC=90°+（∠EAC+∠BAC）=90°+90°=180°，
∴的值为定值，
②==90°+∠EAC-∠BAC=90°+（∠EAC-∠BAC），
∵∠EAC=180°-∠BAC，
∴=90°+（180°-∠BAC -∠BAC）=180°-∠BAC，
∵∠BAC可变，
∴的值不为定值．
故答案为①, ∠Q+∠A=180°．