上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 理科数学试题

上海重点中学2011-2012学年度第二学期
高二数学期终试卷（理科卷）
本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 抛物线的准线方程是 ．
2. 方程的解为 ．
3. 在的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则= ．
4. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90的扇形，则这个圆锥的全面积是 ．
5. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种．
6. 将4个不同的球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个球的概率为 ．（结果用最简分数表示）
7. 已知，，，若、、共同作用于一个物体上，使物体从点（1，-2，1）移到点（3，1，-2），则合力所做的功为 .
8. 抛物线的准线与轴的交点为K，抛物线的焦点为F，M是抛物线上的一点，且，则△MFK的面积为 ．
9. 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 ．
10. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，
第_____行中从左至右第14与第15个数的比为．
11. 边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，
可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接
成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是 ．
12. 已知平面α截一球O得圆M，圆M的半径为r，圆M上两点A、B间的弧长为，又球心O到平面α的距离为r，则A、B两点间的球面距离为 ．
13. 若对于任意实数，都有，则的值为 ．
14. 给个自上而下相连的正方形着黑色或白色． 当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种． （直接用数字作答）
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15. 经过原点且与抛物线只有一个公共点的直线有多少条？ ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
16. 正四面体的表面积为，其中四个面的中心分别是、、、.设四面体的表面积为，则等于 ( )
A. B. C. D.
17. 甲乙两人一起去游园，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )
A. B. C. D.
18. 给出下列四个命题：
若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；
两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；
两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；
a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个．
其中正确命题的个数是 （ 　）
A. 0个　　　　 B. 1个　　　　 C. 2个　　　　 　D. 3个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）
已知矩形内接于圆柱下底面的圆，是圆柱的母线，若，，异面直线与所成的角为，求此圆柱的体积．
20．（本题满分14分）本题共有4个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分，第4小题满分4分．
m个元素环绕在一条封闭曲线上的排列，称为环状排列．已知m个不同元素的环状排列的所有种数为．请利用此结论来解决下列问题，要求列式并给出计算结果．
（1）从10个不同的元素中选出8个元素的环状排列的所有种数为多少？
（2）某班8个班干部中有1个班长，2个副班长，现在8个干部围坐一张圆桌讨论班级事务，则分别满足下列条件的此8人的坐法有多少种？
（i）班长坐在两个副班长中间；
（ii）两个副班长不能相邻而坐；
（iii）班长有自己的固定座位．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，依次是的中点．
（1）求直线与平面所成的角(结果用反三角函数值表示)；
（2）求三棱锥的体积.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）在任意中有余弦定理：
．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
（3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去．
勾股定理的类比 三角形ABC 四面体O-ABC
条件 AB⊥AC OA、OB、OC两两垂直
结论 AB2+AC2=BC2 ？
请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，为坐标原点． 已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于A、B不同的两点，求的值；
（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范围．
上海重点中学2011-2012学年度第二学期
高二数学期终试卷（文理卷答案） 2012-06-18
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 抛物线的准线方程是 .
【答案】
2. 方程的解为 .
【答案】0，2，4
3. 在的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则= .
【答案】1
4. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90的扇形，则这个圆锥的全面积是 .
【答案】
5. （理）（11全国大纲理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种.
【答案】10
5.（文）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，赠送给5位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种.
【答案】10
6.（理）将4个不同的球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个球的概率为 .（结果用最简分数表示）
【答案】
6.（文）一只口袋里有5个红球，3个绿球，从中任意取出2个球，则其中有绿球的概率为 .（结果用最简分数表示）
【答案】
7. （理）已知，，，若、、共同作用于一个物体上，使物体从点（1，-2，1）移到点（3，1，-2），则合力所做的功为 .
【答案】4
7.（文）已知正四棱柱的一条对角线长为，底面边长为1，则此正四棱柱的表面积为_________.
【答案】
8. 抛物线的准线与轴的交点为K，抛物线的焦点为F，M是抛物线上的一点，且，则△MFK的面积为 .
【答案】
9. 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 .
【答案】
10. （04春考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，
第_____行中从左至右第14与第15个数的比为.
【答案】34
11. 边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，
可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接
成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是 .
【答案】
12.（理）已知平面α截一球O得圆M，圆M的半径为r，圆M上两点A、B间的弧长为，又球心O到平面α的距离为r，则A、B两点间的球面距离为 .
【答案】
12.（文）除以100的余数是 .
【答案】81
13. 若对于任意实数，都有，则的值为 .
【答案】-8
14.（理）（11湖北理15）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种. （直接用数字作答）
【答案】21；43
14.（文）如果一个正四位数的千位数、百位数、十位数和个位数满足关系，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”. 那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .（直接用数字作答）
【答案】3645
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15. 经过原点且与抛物线只有一个公共点的直线有多少条？ ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
16.（理）正四面体的表面积为，其中四个面的中心分别是、、、.设四面体的表面积为，则等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
16.（文）教室内有一把直尺，无论这把直尺怎样放置，在教室的地面上总能画出一条直线，使这条直线与直尺 ( )
A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交
【答案】B
17.（理）（11陕西理10）甲乙两人一起去游园，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
17.（文）（11全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
18.（理）给出下列四个命题：
若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；
两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；
两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；
a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个.
其中正确命题的个数是 （ 　）
A. 0个　　　　 B. 1个　　　　 C. 2个　　　　 　D. 3个
【答案】C
18.（文）给出下列四个命题：
异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；
若直线上有两点到平面的距离相等，则；
若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则；
两条异面直线中的一条垂直于平面，则另一条必定不垂直于平面.
其中正确命题的个数是 （ 　）
A. 0个　　　 　B. 1个　　　 　C. 2个　　　　　D. 3个
【答案】C
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）
已知矩形内接于圆柱下底面的圆，是圆柱的母线，若，，异面直线与所成的角为，求此圆柱的体积.
解：设圆柱下底面圆的半径为，连，
由矩形内接于圆，可知是圆的直径，……2分
于是，得，……………4分
由∥，可知就是异面直线与所成的角，
即，故.………………7分
在直角三角形中，，…………9分
故圆柱的体积.……………12分
20．（本题满分14分）本题共有4个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分，第4小题满分4分．
（理）m个元素环绕在一条封闭曲线上的排列，称为环状排列.已知m个不同元素的环状排列的所有种数为.请利用此结论来解决下列问题，要求列式并给出计算结果.
（1）从10个不同的元素中选出8个元素的环状排列的所有种数为多少？
（2）某班8个班干部中有1个班长，2个副班长，现在8个干部围坐一张圆桌讨论班级事务，则分别满足下列条件的此8人的坐法有多少种？
（i）班长坐在两个副班长中间；
（ii）两个副班长不能相邻而坐；
（iii）班长有自己的固定座位.
解：（1） ----------------------3分
（2-i） ----------------------6分
（2-ii） 间接法：；插空法：----------------------10分
(2-iii) ----------------------14分
20.（文）有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数. 要求列式并给出计算结果.
（1）甲不在两端；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；
（4）甲不在排头，乙不在排尾.
解：（1） ----------------------3分
（2） ----------------------6分
（3） ----------------------10分
(4) ----------------------14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
（理）（12闵行三模理）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，依次是的中点.
（1）求直线与平面所成的角(结果用反三角函数值表示)；
（2）求三棱锥的体积.
(1)解法一：分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别是
，，，，
，∴，，
， （2分）
又∵平面，
∴平面的法向量为， （4分）
设直线与平面所成的角为，则
， （6分）
∴直线与平面所成的角为. （7分）
解法二：∵平面，∴，又，∴平面，取中点，中点，联结，则且，是平行四边形，
∴即为直线与平面所成的角. （3分）
在中，，
在中，， （6分）
∴直线与平面所成的角为. （7分）
(2)解法一：由（1）解法一的建系得，，，设平面的法向量为，点到平面的距离为，由，得且，取得， （9分）
∴， （11分）
又，∴， （13分）
∴. （14分）
解法二：易证即为三棱锥底面上的高，且， （11分）
底面边上的高等于，且，∴ （13分）
. （14分）
解法三：依题意，平面，∴ （11分）
. （14分）
21.（文）（本题满分14分）
如图，在北纬60°线上，有A、B两地，它们分别在东经20°和140°线上，设地球半径为R，求A、B两地的球面距离.
解：设纬线圈半径为r，据题意，∠AO1B=1400-500=900.（2分）
， （5分）
在Rt△AO1B中， （8分）
又在ΔAOB中， （11分）
∴A、B两地的球面距离 （14分）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
（理）(本题满分16分)本题共有3个小题，第一小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。（本题取前2小题作为文22题，满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）
如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.
（1）求证：；
（2）在任意中有余弦定理：
. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。
（3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少。下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去。
勾股定理的类比 三角形ABC 四面体O-ABC
条件 AB⊥AC OA、OB、OC两两垂直
结论 AB2+AC2=BC2 ？
请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明.
(1)证：；（4分）
(2)解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角. （7分）
上述的二面角为，
在中，
，
由于，
有. （10分）
（3）空间勾股定理的猜想：
已知四面体O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，则有.
（13分）
证法一：作OD⊥AB，垂足为D，连结CD
（16分）
证法二：作OH⊥平面ABC，垂足为H，易得H为△ABC的垂心。连结CH并延长交AB于E，连结OE，则有OE⊥AB。
在△OAB中，
在Rt△EOC中，
同理，，
于是 （16分）
证法三：建立空间直角坐标系，设，，
作OD⊥AB，垂足为D，则D满足
平方相加：
（16分）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，为坐标原点. 已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围.
解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是
以原点为顶点，为焦点的抛物线
　∵∴　∴　曲线方程是 （4分）
（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、
此时 （6分）
当不平行于轴时，设其斜率为，
则由得
设，则有， （8分）
∴
（10分）
（3）设
∴
∵
∴
∵，化简得 （12分）
∴ （14分）
当且仅当时等号成立
∵ （16分）
∴当的取值范围是 （18分）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……
F
E
D
B
C
A
P
A
A1
B1
B
C1
C
M
N
P
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……
F
E
D
B
C
A
P
D
A
P
F
E
B
C
y
x
z
F
E
D
B
C
A
P
H
G
A
A1
B1
B
C1
C
M
N
P