高二（上）数学立体几何与空间向量模块卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
已知，，，，，，，，，若，则的坐标是
（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为 （ ）
A．，1，
B．，，
C．，，
D．，，
现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆锥的侧面积为 （ ）
A． B． C． D．
在平行六面体中，，，，是的中点，用，，表示为 （ ）
A． B． C． D．
已知空间四个点，，，，，，，3，，，1，在同个平面内，则实数 （ ）
A．1 B． C．0 D．
如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为 （ ）
A． B． C． D．
设，，向量，1，，，，，，，，且，，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分．不选、错选得0分，漏选得2分）
已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量，不重合），那么下列选项中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列命题正确 （ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
（ ）
A．，，
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量为，，
D．二面角的余弦值为
如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的平方可以取的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．1
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
工匠准备将一块棱长为4的正方体木头切削成一个球，则该球的表面积的最大值为__________．
如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________．
在△中，，，沿中线折起，使，连，所得四面体的体积为，则此四面体内切球的表面积为__________．
如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数__________．
（14题） （16题）
四．解答题（共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分．）
已知，，，，2，，，0，，．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
如图，直三棱柱中，，，且，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，，分别为， 的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
如图，平行四边形的边所在的直线与菱形所在的平面垂直，且，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，_____，求二面角的余弦值．从①，②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．高二（上）数学_立体几何与空间向量模块卷
参考答案与试题解析
选择题
1． 设点坐标为，，，则，，
又，7，，
，，
则的坐标是，，
故选：．
2． 设，交于点，连结
正方形与矩形所在平面互相垂直，，
在上，且平面
，又，是平行四边形
是的中点
，0，，
故选：．
3．由题意知，圆锥的高和底面直径都为2
则圆锥的母线长
所以圆锥的侧面积
故选：．
4． 如图示
结合图象得
故选：．
5． 空间四个点，，，，，，，3，，，1，在同个平面内，，，，，4，，，，，且
，，，，，，，，
解得，，
故选：．
6．正三棱柱的所有棱长均为1
三棱锥的体积等于的体积，也等于的体积
取的中点，则由正三棱柱的性质可知，面
三棱锥的体积
故选：．
7． 因为三棱柱的6个顶点都在球的球面上
若，，，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面，经过球的球心，球的直径是其对角线的长
因为，，，
所以球的半径为
故选：．
8．设，，向量，1，，，，，，，
且，
，解得，
，1，，，，，
故选：．
多选题
9．为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量，不重合）
则，，，或
因此正确
故选：．
10． 若，则与无公共点，又，则与无公共点，可得，故正确
若，，则或，故错误
若，，则，又，所以，故正确
若，，或，又，所以与平行、相交或异面，故错误
故选：．
11． 对于，，2，，，0，，，，，故正确
对于，，0，，，0，，，0，，，，
设异面直线与所成角为
则异面直线与所成角的余弦值为
，故错误
对于，，2，，，0，，，2，
设平面的一个法向量为，，
则，取，得平面的一个法向量为，，，故正确
对于，平面的一个法向量为，，
平面的一个法向量为，1，
二面角的余弦值为
，又因为二面角为锐角，故正确
故选：．
12． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
则，0，，，1，，，0，
设，，则，0，，，，
，，，，，
，，
，
当时，线段长度的最小值是
又时，线段长度的最大值是1
而不包括端点，故不能取
线段的长度的平方的取值范围是，
故选：．
填空题
13． 由题意可知可切削的最大的球为该正方体的内切球
此时该球的半径，表面积
故答案为：．
14． 连接交于点
因为平面，底面是正方形
所以，，因此平面
故平面
连接，则即是直线与平面所成角
又因，所以，
所以，所以
故答案为：．
15． 可知，面
四面体的体积，得，
所以四面体的表面积为
设内切球的半径为，由，得
内切球的表面积为
故答案为：．
16． 连接，交于
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
设，则，0，，，，
，0，，，0，，，，
，，，设，，
则，，
，
，，，，，，，
，
解得实数
故答案为：4．
四．解答题
17． （1），，，，2，
，0，
，0，，
可设，
，0，，0，
，解得
实数的值为2
（2），，，，，
解得
18． （1）如图，连接，交于，连接
则为的中点，因为为的中点
所以为△的中位线，所以
又平面，平面
所以平面
（2）因为，
为的中点，所以
因为为直棱柱，所以平面，平面
所以
所以平面
因为平面
所以
因为△，，
所以，即
因为
所以平面
19． （1）证明：，分别为，的中点
又平面
平面
（2）如图建立空间直角坐标系，设
则，2，，，2，，，0，，，0，，，0，
，，
设平面的法向量为，则，可取
设直线与平面所成角为，则
20． （1）在直三棱柱中，，，，点是的中点
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，0，，，0，，，2，，，1，
，0，，，，
设异面直线与所成角为
则异面直线与所成角的余弦值为
（2），1，，，2，
设平面的法向量，，
则，取，得，，
平面的法向量，1，
设平面与平面的夹角为
则平面与平面的夹角的余弦值为：
21． （1）证明：，
是等边三角形
，为中点，故，
平面，
，平面
平面，平面平面
（2）选①
解：由（1）知平面
，平面，平面
平面
，平面，平面
平面
又
平面平面，平面
平面，平面
，
是二面角的平面角
，
，，
二面角的余弦值为
选②
解：由（1）得平面
，平面，平面
平面
，平面，平面
平面
又
平面平面
平面
平面，平面，，
即为二面角的平面角
，，
，二面角的余弦值为
22． （1）作的中点，连接，
在中，，为中点
平面，平面
平面
同理可证明平面
平面，平面，
平面平面
平面
平面
（2）作垂直于，作，连接，做中点，连接
为中点
侧面底面，侧面底面，
底面
，
平面
为二面角的平面角
，
，
即二面角的余弦值为
（3）不存在
假设存在，连接，，交于点，为平面和平面的交线
以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系
则，0，，，2，，，2，，，0，，，，
，0，，，1，，设，，，则，，
，，，，，
设平面的一个法向量是，，
即，令，则，，
因为面
，，
，共线，，2，
，，
，无解
故在棱上不存在一点，故在棱上不存在一点，使平面
