19.解：(1)由 sin + sin = sin + sin 及正弦定理，
2021—2022 学年度高二上学期月考数学试卷参考答案 可得 2 + = 2 + 2，
一、选择题 2 2 2 2 2由余弦定理可得 cos = + = + = 1，
2 2 2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
又因为 ∈ 0, ，所以 = ；
3
答案 A C D B A D B A C B A C
(2) 1 1 3 3因为 △ = sin = × = ， 所以 = 1.
二、填空题 2 2 2 4
1 又因为 = = 1, =
，所以△ 是等边三角形，所以 = .
13. 15 3 14. 3 3
2
15. 5 6 16. 1； 2 21．
2 20.
2+ 2 2 27+16 7 3
解：(1)在△ 中，cos = = = .
2× × 2×3 3×4 2
三、解答题
B (0, ) B
6
17、(10 分)解：(1)因为 = 7， = 2， = 60 .
(2) (1) = = ∠ = 由 知 ， ，所以 .
7 2 6 3 2
由正弦定理 = ，可得 = ，
sin sin sin60 sin
又 = 3 3，所以 = 3， = 6.
所以 sin = 21．
7 由 = 4，知 = 2，
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ， = 1 × × × sin = 1 × 3 × 2 × 3 3 3所以 △ = .2 2 2 2
即( 7)2 = 22 + 2 2 × 2 cos60 ，
解得 = 3或 = 1（舍）， 21.解：(1) ∵ 2 3 = 2 cos ，
所以 = 3．
∴ 由正弦定理得：2sin 3sin = 2sin cos ，
18.解：(1)在锐角△ 中， 3 2 sin = 0，
∴ 2sin( + ) 3sin = 2sin cos ，
即 3 = 2 sin . 由正弦定理得 3sin = 2sin sin ，
∴ 2cos sin = 3sin ，
因为 sin ≠ 0， 所以 sin = 3，
2 ∵ ∈ (0, ), ∴ sin ≠ 0，
因为三角形 为锐角三角形， ∴ cos = 3 , ∵ ∈ (0, ), ∴ = ，
2 6
所以 = ．
3
2 3
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ， 得 2 + 2 = 7 由余弦定理得：
7 = + 3 2 × 3 × ，
， 2
因为 + = 5，所以( + )2 3 = 7，即 25 3 = 7，所以 = 6， ∴ 2 3 4 = 0，∴ ( 4)( + 1) = 0，
1 3 3 ∴ = 4或 = 1（舍去），
所以△ 的面积为 sin = ．
2 2 ∴ △ =
1 = 1 × 4 × 3 1 = 3.
2 2 2
(2) 7由正弦定理： = = = 1 = 2 7,sin sin sin
2
3 = 2 7 3sin sin 5 = 2 7 3 sin 1 cos = 2 7sin ,
6 2 2 6
∵△ 是锐角三角形， ∴ < < ， < < ，
3 2 6 6 3
1
∴ < sin < 3，
2 6 2
∴ 7 < 2 7sin < 21，
6
∴ 3 ∈ ( 7, 21).
22.解：（1）如图， = 40 2， = 10 13 26，∠ = ，sin = ，
26
由于 < < 90 ，
所以 cos = 1 ( 26 )2 = 5 26
26 26
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos = 10 5
10 5
所以船的行驶速度为 2 = 15 5（海里/小时）；
3
（2）如图所示，以 为原点建立平面直角坐标系，设点 、 的坐标分别是 ( 1, 2)，
( 1, 2)， 与 轴的交点为
2
由题设有 1 = 1 = = 402
2 = cos∠ = 10 13cos(45 ) = 30，
2 = sin∠ = 10 13(45 ) = 20
所以过点 、 的直线 的斜率 = 20 = 2，
10
直线 的方程为 = 2 40
故 当它行驶到 的正南方向时，该船与观测站 的距离为 40海里.
又点 (0, 55)到直线 |0+55 40|的距离 = = 3 5 < 7，
1+4
所以船会进入警戒水域．2021～2022学年第一学期靖远二中第一次月考试卷
高二数学
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分）
1.在中，已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不定
2.在中，，则外接圆的半径R=（ ）
A．4 B．2 C．1 D．无法确定
3. 在中，，，分别为内角，，所对的边，,
则A为（ ）
A． B． C． D.
4. 在中，，，分别为内角，，所对的边，,
则a为（ ）
A． B． C． D.
5.在中，AB=5，AC=3，BC=7，则的大小为( )
A． B． C． D．
6.在中，，则一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
7.为钝角三角形，,C为钝角，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
8. 设，，是的三个内角，且是方程的两个是根，那么是（ ）
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均有可能
9.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.已知的三内角，，所对的边分别是，，，满足下列条件的有两解的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
11.如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则此山的高
A. B. C. D.
12. 设锐角三角形的三个内角、、所对应的边分别为、、，若＝，＝，则的取值范围为（ ）
A.（0,4） B. C. D.
二、填空题：(共4小题，每小题5分，共20分)
13. 在中，，，，则的面积为________．
14. 在中，角，，所对应的边分别为，，．已知，则________．
15.一艘货船从处出发，沿北偏西的方向以海里每小时的速度直线航行，分钟后到达处，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，在处观察处灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是________海里．
16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则__；若，则的最大值为_____．（第一空2分，第二空3分）
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分10分）
的内角，，的对边分别为，，．已知，，．
(1) 求的值；
求的值．
18.（本小题满分12分）
在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．
(1) 求角的大小；
若，，求的面积．
19.（本小题满分12分）
已知在中，角，，对应的边分别为，，，.
(1) 求角；
若，的面积为，求角．
20.（本小题满分12分）
如图，在中，是上的点，， ，
(1) 求角的大小；
求的面积．
21.（本小题满分12分）
在中，分别为角所对的边，且.
若，求的面积；
若为锐角三角形，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东（其中，）且与点相距海里的位置．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向，当它行使到的正南方向时，求该船与观测站的距离；不改变航向继续航行，判断它是否会进入警戒水域，说明理由．
2021—2022学年度高二上学期月考数学试卷参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D B A D B A C B A C
二、填空题
13. 14.
15. 16. ； ．
三、解答题
17、(10分)解：因为，，.
由正弦定理，可得，
所以．
由余弦定理，
即，
解得或 （舍），
所以．
18.解：在锐角中，，
即. 由正弦定理得 ，
因为， 所以，
因为三角形为锐角三角形，
所以．
由余弦定理 ， 得，
因为，所以，即，所以，
所以的面积为 ．
19.解：由及正弦定理，
可得，
由余弦定理可得，
又因为 ，所以 ；
因为， 所以.
又因为，所以是等边三角形，所以.
20.解：在中，.
由知，，所以.
又，所以，.
由，知，
所以.
21.解：，
∴ 由正弦定理得：，
，
，
，
，
由余弦定理得：，
∴ ，∴ ，
或（舍去），
.
由正弦定理：,
,
是锐角三角形， ，，
∴ ，
∴ ，
∴ .
22.解：（1）如图，，，，，
由于，
所以
由余弦定理得
所以船的行驶速度为（海里/小时）；
（2）如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，设点、的坐标分别是，，与轴的交点为
由题设有
，
所以过点、的直线的斜率，
直线的方程为
又点到直线的距离，
所以船会进入警戒水域．
