请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2021 年“山东学情”高三 10 月联合考试 19、（12分）
数学（A 版）答题卡
姓名:___________________
班级:___________________ 贴 条 形 码 区
准考证
号
1. 考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班 级、姓名、考号填写在相应位
置。
2. 答题时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用 2B 铅笔
注 按图示 规范填涂。 正确填涂
意 3. 严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷填涂
上答题无效。 18、（12分）
事 4. 保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修样例 错误填涂
项 正纸和修正带。
5. 若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。
选择题（1-8 题单选，9-12题多选，每题 5分，共 60 分）
1 6 11
2 7 12
3 8
4 9
5 10
填空题(每题 5分，共 20分)
13、______________________14、________________________
15、______________________16、________________________
17、（10分）
第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页 第 3 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20、（12分） 21、（12分） 22、（12分）
第 4 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页2021 年“山东学情”高三 10 月联合考试数学试题（A）答案
1.答案：C
解析：由 x2 6x 5 0可知（x 1）(x 5) 0，从而得到 A= 1，5 .而 B= 3，4，5 ，两者取交集，选 C.
2.答案： D
3.答案: C
V f (d) d 3
2
解析：设 , f (d) d , f (1)
6 2 2
4.答案：B
8 8
解 析 : 令 t 2x ,t 0. 2x 9 即 为 t 9, 得 到 t2 9t 8 0 得 t 8或0 t 1 . 解 出
2x t
x的范围是x 3或x 0.从而选 B.
5.答案： A
解析：函数 f (x) sin(2x ) 的图像向右平移 0 个单位后得函数 g x =sin
6
2 x +
6
k
sin 2x 2 ，因为 g x 为奇函数，所以 g 0 0，即 sin 2 0，解得 = + ， k Z .
6 6 12 2
6.答案：D
b
解析：因为 , 终边关于 y 轴对称， + = +2k ， k Z tan tan ，即 a ， b 2a .
2
1 1 1 1 2
a a 2 2 ，当且仅当 a ，即 a 时等号成立.
b 2a 2 2a 2
7.答案：C
解析：函数 y mx2 2mx n m(x 1)2 n m(m 0) 是开口向上且关于直线 x 1对称的二次函数；
p
函数 y ( p 0) 关于直线 x 1对称，且在 ( ,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减，
ex 1 e1 x
p
方程mx2 2mx n 的解的情况可能是无解，一解，两解，且解关于 x 1对称.
e x 1 e1 x
8.答案：B
e2 - 1
解析：由题意得 f (x) = 有 8 个不同的实数解，又 f (x) 是定义在 ，0 0， 上的偶函数，由
a
e2 - 1 e2 - 1 e2 - 1
f (x) 得图像得 < < ，解得2< a < 4
4 a 2
9.答案：ABD
x
2 x 0
解析：函数 y f x 定义域为 R ,关于原点对称. f x ,由图象可知,函数 y f x 既是2
x x＜0
1
奇函数又是增函数; B.函数 y g x 定义域为 R ,关于原点对称. g x 2x ,显然,函数 y g x 既
2x
是奇函数又是增函数; C.函数 y x 定义域为 ,0 ∪ 0，＋ ,关于原点对称. 由图象可知,函数不
关于原点中心对称,函数 y x 不满足既是奇函数又是增函数; D.函数 y h x 定义域为 R ,关于原点
对称 .因为 h x h x log 21 x 1 x log 21 x 1 x log 1 0 , y h x 为奇函数 ,又1
2 2 2
1
h x log 1 在 0,＋ 单调递增, h 0 0且函数在定义域上图象连续, 函数 y h x
2
2 x 1 x
在 R 上单调递增, 函数 y h x 既是奇函数又是增函数.
10.答案：AD
1
解析：易得0 x 4, y .
2
2 2x 2x x
A 项：x 2 ，即4 2 ，解得 2，当且仅当 x 2, y 1时取最大值 2，A 正确；B 项：
y y y y
2 2
x y 4 y 4 y 4 2 2 ，当且仅当 y 2, x 4 2 时取最大值4 2 2 ，B错误； y y
2 1 2 2 2 1
C 项 ： xy 4 y 4y 2 4 2 0 ， C 错 误 ； D 项 ： y y x ，
y 2 x x y 4
1 4
2 2 xy 2，当且仅当 x 2, y 1取最小值 2，D 正确. 4 xy
11.答案：AB
T 5
解析：A.由 M、N 关于 C 对称可得C - ,0 ，则 ( ) ， T ,选项 A 正确；B.由 A 知，
3 2 3 6 2
4
2，图象过C - ,0 ，可得 ， y Asin(2x - ) 2 3 , 3 Z ，则图
3 3 3 3 3
3
象关于点 4 （ ,0）成中心对称，选项 B 正确；C. 函数单调递减， 2k 2x 2k k Z ，
3 2 3 2
5 11 5
即 k x k k Z ，选项C错误；D.函数 f (x) 在 x 上，则 2x 0 ，
12 12 4 6 6 3
则值域为 A,0 ，选项 D 错误.
12.答案:ABD
e3
ex e3 e4 f (3) e
2
解析： B .由 f (x) 知： f (1) e ， f (3) ， f (4) 则
9 1，故 f (3) f (1)；
x2 9 16 f (1) e 9
f (1) e 16
1，故 f (1) f (4) f (3) f (1) f (4) ，故 B 正确；
4
f (4) e e3
16
ex k ex 2k ex x2 2xex k 2k ex (x 2)
C . h(x) x ln x 2 k ln x x 0 则 h (x)
x2 x x2 x 2 2 x x2 x3x
k(x 2) (x 2)(ex kx)
因为h(x) 仅有一个极值点， 所以h (x)仅有一个变号零点， 当
2 3 e
x kx 0 没
x x
ex ex (x 1)
有变号根时，则 y k 与 y m(x) 至多一个交点， m (x) m(x)在 0，1 上单调递
x x2
减，在 1， 上单调递增，故m(x) m(1) e k e，当 2 是方程ex kx 0 的一根时，则 2 不是h(x)
e2 e2 e2
的 极 值 点 ， 且 k , 取 t(x) ex kx ex x ， 则 t (x) ex 在 0， 单 调 递 增 又
2 2 2
e2 e2 2
t (1) e 0， t (2) e2 0 故 x 1,2 ，使 t
e
0 (x0 ) 0 ，即
x
e 0 当0 x x0 时，
2 2 2
t (x) 0 ， t(x) 单 调 递 减 ； 当 x x0 时 ， t (x) 0 ， t(x) 单 调 递 增 ， 所 以
x e
2 e2
t(x) t(x ) e 0 x (1 x ) 0又 t(0) 1 0 故 t(x)在 (0, x0 ) 上有一变号零点 xmin 0 0 0 1，即
2 2
e2
h(x) 仅有一个极值点，符合题意，综上所述， k e或 k C 不正确；
2
ex ex ex
D .要证 f (x) 2e ex ，即证 2e ex ，也就是证 2ex ex2 取 (x) 2ex ex2 ，则
x2 x x
ex (x 1) ex
(x) 2e 2ex (x 1) 2e (x)2 2 在 0，1 上单调递减，在 1， 上单调递增，故x x
ex
(x) (1) 0 , 即 2ex ex2 D 正确.
x
9
13.答案：
2
1 1 1 1 1 1 1 1
解析:由 a b(2a 1) 知 a b 2ab，同除以 ab得 2 即 ( ) 1 . a 4b ( )(a 4b)
a b 2 a b 2 a b
1 a 4b a 4b 9 9 3 3
（1 4 ）.由于 4 ,得出 a 4b .求得 a 4b 最小值为 .此时 a ,b .
2 b a b a 2 2 2 4
1
14.答案：
2
3 5 5 4 1
解析：因为 f (1- x) = f (2+ x)，所以 f (x) 的对称轴为 x = 所以 f (- ) = - f ( ) = - f ( ) = -
2 3 3 3 2
15.答案： 4 a 6
x 1 x 3 a a
解析： 2移项整理可得 0，解得 x 2 x 3 . 2x a 2 得 x 1 x 1 .
x 2 x 2 2 2
a a
由题意得： 1 2且1 3，从而得出 4 a 6 .
2 2
16.答案： (3, )
' 1 1
解析：当0 x e, f (x) 1 ln x，切点（x1,1 ln x1), f (x) ,k1 ,
x x1
1 1
切线 y 1 ln x1 (x x1)，即 y x 2 ln x1 OP 2 ln x1 x1 x1
2 ' 1 1
当 e x e , f (x) ln x 1，切点（x2 , ln x2 1), f (x) , k2 ,
x x2
1 1
切线 y ln x2 1 (x x2 )，即 y x 2 ln x2 OQ ln x2 2 2 ln x2 x2 x2
1 1 OP 2 ln x 2 ln x
切线互相垂直 1，x1x2 1,
1 2 ，令 t ln x ,t 1,2
x1 x2 OQ 2 ln x
2
2 2 ln x2
2 t (2 t) 4 4
f (t) 1 ,t 1,2 , f (t)在 1,2 上单调递增，
2 t 2 t 2 t
OP
f (t) （3， ）， （3， ）
OQ
17.解析：（1）因为 p 是假命题，所以 p 是真命题.......................................................................1 分
p ： x (1,3)，使得 x2 ax 4 0 .................................................................................2 分
1 a 4 0，
则 解得a 5 ...................................................................................................5 分
9 3a 4 0，
（2）由（1）得命题 p：a 5 ..................................................................................................6 分
命题 q：m 1 a m 1..........................................................................................................7 分
由 q p得m 1 5 .................................................................................................................9 分
所以m 4 ..................................................................................................................................10 分
1 cos
18.解析：（1） sin 4sin2 2 sin 4 2 2cos ………………….……….2
2 2
tan 2 ………………………….……………..……3 分
2
sin 1 sin 2 sin sin cos sin2 sin cos tan2 tan 6
= sin sin cos = ….62 2 2
sin cos sin cos sin cos tan 1 5
2 2tan 1（2） tan 6tan 1 0， tan 2 …………..……………………8
1 tan2 3
1 5
2
tan tan 2
tan( 2 ) 3 3 1 ……………….…………….10
1 tan tan 2 1 5
1 2
3 3
1
又 0, ， 0, ， tan 2 0， 2 0, ，
2 3 2
3
+2 0, ………………………..…….……..…….11
2
3
2 ……………………………….…...…...12
4
19.解析：
1 (2x 1)(x 1)
（1）定义域 (0, ) f (x) 2x 1 ....................................................1
x x
1
令 f (x) 0 得 x
2
列表如下：
x 1 1 1
(0, ) ( , )
2 2 2
f (x) 0
f (x) 递减 极小值 递增
.................................................... 3
1
所以， f (x) 的极小值点是 ，无极大值点 .....................................................4
2
2x 2 2x
(2) g(x) x2
me (2x 1)(x x me )
x ln x 1 g (x) .......................5
2
x x
g(x)在[1, ) 上单调递减
g (x) 0 在[1, ) 上恒成立 x2 x me2x 0在 [1, ) 上恒成立....................6
x2 x
m ( )m a x, x [1, ) ....................... 7
e2x
x2 x
令 h(x) , x [1, ) ....................... 8
e2x
1 2x2
h (x) 0 在 [1, ) 上恒成立 h(x)在[1, ) 上单调递减.......................10
e2x
2
1 h(x)max h(1) .......................11 2
f x sin2 x 2 sin x cos x e
8 4 4 2 实 数 m 的 取 值 范 围 是
1 cos 2x
2
4 2 m 1 .......................12
=
2
sin e 2x
2 2 2 2
20. 解析：（1）
1 2 2 2 1
cos 2x sin 2x cos 2x
2 4 4 2 2
2 2
sin 2x cos 2x
4 4
1
sin 2x
2 4
………………3
结合正弦函数的图象与性质,可得当 2k 2x 2k 即
2 4 2
3
k x k 时,函数单调递增, ……………………4
8 8
3
所以函数 y f x 的单调递增区间为 k ， k k Z …………………………… 5
8 8
5 3 1 1 1
（2）①令 t 2x ,当 x , 时, t , , sin t , 4 24 8 6 2
4 2
1 1 y
y sin t 0, （如图）. ………… 7 2 2 1
2 1
5 3
要使 y f x m在区间 , 4
24 8
0 π
- π x 1 1 2
上恰有两个零点, m 的取值范围为 ＜m＜ 或m 0 . 6 …………… 9
4 2
1
②设 t1 , t2 是函数 y sin t m 的两个零点（即 t 2x , t 2x ）, 1 1 2 2
2 4 4
由正弦函数图象性质可知 t1 t2 ,即2x1 2x2 .
4 4
x x , ………………………………………… 11 1 2
4
2
sin x1 x2 . …………………………… 12
2
1 1 2ax 2
21.解析：定义域 (0, )， f (x) 2ax ....................................................1
x x
（1）① a 0 时， f (x) 0， f (x)在 (0, )上单调递增；............................................2
1
② a 0时，令 f (x) 0 ，得 x ..........................................3
2a
列表如下：
x
1 1 1
(0, ) ( , )
2a 2a 2a
f (x) 0
f (x) 递增 极大值 递减
1 1
f (x)在 (0, )上单调递增，在 ( , )上单调递减...........................................4
2a 2a
综上， a 0 时 f (x) 在 (0, )上单调递增；
1 1
a 0时 f (x) 在 (0, )上单调递增，在 ( , )上单调递减...................5
2a 2a
（2）当 a 0时，由（1）知
1 1
①当 1，即 a 时， f (x) 在 [1,2]上单调递减， f (x)max f (1) a ............7
2a 2
1 1 1 1 1
②当1 2，即 a 时， f (x) 在[1, ]上单调递增，在 ( ,2]上单调递减，
2a 8 2 2a 2a
1 1 1
f (x)max f ( ) ln 2a ...........................................9
2a 2 2
1 1
③当 2 ，即0 a 时， f (x) 在 [1,2]上单调递增， f (x)max f (2) ln 2 4a .....11
2a 8
1
ln 2 4a, 0 a 8
1 1 1 1
综上， f (x)max ln 2a , a ...........................................12
2 2 8 2
1
a, a
2
22.解析：
（1）令 g(x) e x 1 x (x 0) ..............................................1
g (x) e x 1 1 令 g (x) 0 ，得 x 1
列表如下：
x (0,1) 1 (1, )
g (x) 0
g(x) 递减 极小值 递增
g(x) 0m i n g(1) e 1 0 .......................................................2
e x 1 x ，当且仅当 x 1时取等号....................................................3
再令 h(x) x sin x (x 0) .............................................4
h (x) 1 c o sx 0 在 (0, )上恒成立， h(x)在 (0, )上单调递增
h(x) h(0) 0 ....................................5
x s i nx (x 0) .........................................6
当 x 0 时， e x 1 x sin x
当 x 0 时， f (x) 0 .........................7
（2）由（1）知，当 x 0 时， ex 1 x，即 ln x x 1 (x 0)，当且仅当 x 1时取等号.......8
n N ，且 n 2 ， ln n2 n
2 1........................9
lnn n 1
....................................................11
n 1 2
n
ln i 1 n2 n
( ) (1 2 3 n 1) .....................12
i 1 2 4
i 2
n
ln i n2 n
当 n N ，且 n 2 时， ( ) ....................12
i 1 4
i 22021 年“山东学情”高三 10 月联合考试
数学试题（A 版）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 A= x x2 6x 5 0 ，B= x Z 2 x 6 , 则 A B=( )
A. 2,5 B. 2,3 C. 3,4,5 D. 3
2. 设集合 A x |1 x 3 , B x | 0 x a ，若 A B x | 0 x 3 ，则 a 的取值范围是（ ）
A. (0,3) B. 1,3 C. 0,3 D. 1,3
3
3. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径 d（单位：dm）的关系式为V d ，
6
估计当 d 1 dm 时，气球体积的瞬时变化率为（ ）
A. 2 B. C. D.
2 4
8
4. x 3是 2x 9的 ( )
2x
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知函数 f (x) sin(2x ) ，将其图象向右平移 0 个单位后得函数 g x 图象，若 g x 为奇函
6
数，则 的值可以为（ ）
A. B. C. D.
12 6 4 3
6. 已知角 ， 顶点都为坐标原点O ,始边与 x轴非负半轴重合， , 终边上分别有点 A 1,a a 0 ，
B 2,b ，若 , 终边关于 y 轴对称，则（ ）
1
A. a 2b B. a 2b C. b 2a D. a 的最小值为 2
b
p
7. 对于任意正实数m,n, p，关于 2x的方程mx 2mx n 的解集不可能是（ ）
e x 1 e1 x
A. 1 B. 0,2 C. 0,1,2 D.
x 2e 1, 0 x 4,
8. 已知函数 f (x) 是定义在 ，0 0， 上的偶函数，当 x > 0时， f (x) 1 若
f (x 4) , x 4,
2
函数 g(x) = af (x)- e2 + 1的零点个数为 8，则 a的取值范围为（ ）
A. 1< a < 2 B. 2< a < 4 C. 2 a 4 D. 2 a 4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
4 x 1 x
2 2x, x 0
A. f (x) x x B. g(x) C. (x) D. h(x) log
2
x 2 1
( x 1 x)
2 x 2x, x 0 2
2
10. 已知正实数 x, y 满足 x 4 ，下列说法正确的是（ ）
y
x 2
A. 的最大值是 2 B. x y 的最大值是 1 C. xy 的最小值是 2 D. y 的最小值是 2
y x
11.函数 f (x) Asin( x )（A 0, 0, 0）的部分图象如图实线所示，图中圆 C 与 f (x) 的图象交
于 M,N 两点，且 N 在 y 轴上，则下列说法正确的是（ ）
A.函数 f (x) 的最小正周期为
4
B.函数的图象关于点（ ,0）成中心对称
3
2
C.函数 f (x) 在（ , ）上单调递减
3 6
A
D.函数 f (x) 在 , 上的值域为[ A, ]
4 6 2
ex
12. 已知 f (x) ， g(x) x ln x 2，下列说法正确的是（ ）
x2
1
A.若方程 g(x) k 0有两个不等的实数根，则 k 2
e
B. f (3) f (1) f (4)
k
C. 若 h(x) f (x) g(x) 仅有一个极值点，则实数 k e
x
D. 当 x 0 时， f (x) 2e ex 恒成立
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知正数 a与b满足 a b(2a 1) ,则 a 4b 最小值为 .
4 1 5
14. 设 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f (1- x) = f (2+ x)，若 f ( ) = ，则 f ( ) ______.
3 2 3
x 1
15.已知命题 p : 2,命题q : 2x a 2，若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范
x 2
围是 .
16.已知函数 f (x) ln x 1 ， 0 x1 e x
2
2 e ，函数 f (x) 的图象在点 M (x1, f (x1)) 和点 N(x2 , f (x2 )) 的
OP
两条切线互相垂直，且分别与 y 轴交于 P, Q 两点，则 的取值范围是 .
OQ
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
已知命题 p： x (1,3)，使得 x2 ax 4 0 .命题 q： a m 1
（1）若 p 是假命题，求 a 的取值范围；
（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求 m 的取值范围.
18.（本小题满分 12 分）
已知 sin 4sin2 2
2
sin 1 sin 2
（1）求 的值；
sin cos
（2）已知 0, ， 2 0, ， tan 6tan 1 0，求 2 的值.
2
19.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x2 x ln x 1
(1) 求函数 f (x) 的极值点；
e2x
(2) 若 g(x) f (x) m 在 [1, ) 上单调递减，求实数m 的取值范围.
x
20.（本小题满分 12 分）
2 1已知 f x sin x 2 sin x cos x
8 4 4 2
(1) 求 f x 的单调递增区间;
(2) 若函数 y f x m在区间 5 3 上恰有两个零点 x
, 1
, x2 ,
24 8
①求m 的取值范围;
②求sin x1 x2 的值.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ln x ax2
(1) 讨论 f (x) 的单调性；
(2) 当 a 0时，求 f (x) 在区间 1,2 上的最大值.
22.（本小题满分 12 分）
已知 f (x) ex 1 sin x
（1）求证：当 x 0 时， f (x) 0 ；
n
1 1
（2）求证： ( ln i) n2
1
n, n 2, n N .
i 1 4 4
i 2
