2 3
，1 ，1 1，3 4
2021年“山东学情”高三 10 A. B. C. D. （1,2]月联合考试 2 2
数学试题（C版） 8．定义在 R上的可导函数 f（x），当 x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a
考试时间：120分钟 命题人：泰安一中 ＝f（2），b＝ f（3），c＝（ +1）f（ ），则 a、b、c的大小关系为（ ）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
2．请将答案正确填写在答题卡上 二、多选题（本大题 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
第 I 卷（选择题） 目要求。全部选对得 5分，选对但不全对得 2分，有选错的得 0分）
9．若正实数 a，b满足 a+b＝2，则下列说法正确的是 （ ）
一、单选题（共 8小题，每小题 5分，共 40分）. A．ab的最大值为 1 B． 的最大值为 2
1．设集合 A＝{x|x＞3}，B＝{x| ≤0}，则（ RA）∩B＝（ ） C．a2+b2的最小值为 1 D．2a2+b2的最小值为
A．（﹣∞，2] B．[3，5] C．[2，3] D．[3，5） 10．甲罐中有 4个红球，3个白球和 3个黑球；乙罐中有 5个红球，3个白球和 2个黑球．先从甲
2．若 a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（ ）
罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1， A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
A． ＞ B． ＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2
再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论
3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为 0.5，知道正确答案时，答对的概 的为（ ）
率为 100%，而不知道正确答案时猜对的概率为 0.25，那么他答对题目的概率为（ ）
A． P M 1 6 B． P M A1 2 11
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0
C．事件M 与事件 A1不相互独立 D． A1， A2， A3是两两互斥的事件4.设 x∈R，则“2x>4”是“lg(|x|﹣1)>0”的（ ）
A x 2 x．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11. 已知函数 f x 2019 ln x 1 x 2019 1，下列说法正确的是（ ）
14
5. a log 13 13 13已知 12 ，b ，c log1314，则 a，b， c的大小关系为（ ）
A. 函数 f x 是奇函数
12
1
A． a b c B． c b a C．b
a c D． a c b B. 关于 x的不等式 f 2x 1 f 2x 2的解集为 , 4
6.已知随机变量 , 满足 2 9，且 B 8, p ,E 2，则 E ,D 分别是（ ）
C. 函数 f x 在 R上是增函数
A．5，3 B．5，6 C．8，3 D．8，6
D. 函数 f x 的图象的对称中心是 0,1
f (x) log (8x ax2 )
1 2 7. 若函数 a 在区间 2 ,a 上为减函数，则 a的取值范围是（ ） 4a 12. 材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，
对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合
第 1页 共 6页 ◎ 第 2页 共 6页
x
步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 f x x x 0 ，我们可以作变形： 有 30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占 ；而在未购买者当中，男生女生各
x
f x xx eln x ex ln x et t x ln x ，所以 f x 可看作是由函数 f t et 和 g x x ln x 占 50%，请根据以上信息填写下表，并判断是否有 95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？
1 女生 男生 总计
复合而成的，即 f x xx x 0 为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 h x x x x 0 的
购买
说法正确的是（ ）
1 未购买
A. 无极小值 B. 有极小值1 C. 无极大值 D. 有极大值 e e
总计
第 II 卷（非选择题）
4 附：K
2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
三、填空题（本大题共 小题，每小题 5分，共 20分.）
13. 已知 f (x)是定义域为 ( , ) 参考数据：的奇函数，满足 f (2 x) f (4 x)，若 f ( 1) 2，则
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
f (2021) ___________.
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
14．已知 x(x 2)7 a0 a1(x 1) a2 (x 1)
2 a8 (x 1)
8
，则 a5 a6 __________.
15．《航拍中国》是中央广播电视台推出的以空中视角俯瞰中国的纪录片，立体化展示了我国历史 （2）该销售网点已经售卖该款盲盒 6周，并记录了销售情况，如表：
人文景观、自然地理风貌及经济社会发展，全景式俯瞰了观众们既熟悉又新鲜的美丽中国、生
周数 x 1 2 3 4 5 6
态中国、文明中国．小明同学观看完《四川》这一集后，决定利用四天假期时间游玩峨眉山、
盒数 y 16 23 25 26 30
黄龙、九寨沟和都江堰四个景区，每天游玩一个景区，且黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻
由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第 4、5、6周的数据求线性回
两天游玩，则该同学的不同游玩方法种数为 ．
归方程，再用第 1，3周数据进行检验．
16.已知 f (x) x 3 3a 2x a ，若存在 x 1,1 ，使得 f (x) 0成立，则实数 a的取值范围为
①请用 4，5，6周的数据求出 y关于 x的线性回归方程 ＝ x+ ；
__________．
四、解答题（本大题共 6大题，满分 70分）
（注： ＝ ＝ ， ＝ ﹣ ）
17．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，由于盒子上没
有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了
“盲盒经济”，某款盲盒内可能装有某一套玩偶的 A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个． ②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2盒，则认为得到的
（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了 200份问卷，并全部收回，经统计， 线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？
第 3页 共 6页 ◎ 第 4页 共 6页
18．已知关于 x的不等式 mx2+5x+m＜0，m∈R． （1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前 3组中随机抽出 11天的数据来分析可配送货物
（1）若 m＝2，则求上述不等式的解集； 量少的原因，并从这 11天的数据中再抽出 3天的数据进行财务分析，求这 3天的数据中至少有 2
（2）若上述不等式对一切 x∈R恒成立，则求 m的取值范围． 天的数据来自[50,60)这一组的概率.
（2）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量 T（单位：箱）服从正态分布
19 .已知函数 f x log x 2 2log x a2 ． N ,14.42 ，其中 2 2 近似为样本平均数.
（1）若对任意 x 0, ， f x 0恒成立，求 a的取值范围； （ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司 2000天内日货物配送量在区间 54.1,97.3 内的天数（结
2 m 1 x 2, x x（ ）设 > ，若对任意 ，不等式 f m 2 2 f 4x 4 x 1 恒成立，求m的 果保留整数）.
（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖
取值范围．
x 1 励方案.
20．已知函数 f (x) x ax （ a R， e为自然对数的底数）．e 方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：T 60时，奖励 50元；60 T 80，
a 1（1）若 ，请判断函数 f (x)的单调性；
e 奖励 80元；T 80时，奖励 120元.
f x f x 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于 时有两次抽奖机会，每日的
2 2 1（ ）若对 x1， x2 R，当 x1 x2 ，时，都有 1，成立，求实数 a的取值范围．x2 x1 可配送货物量低于 时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
21．某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最 奖金 50 100
近 100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量 T（单位：箱）分成了以下几组：[40,50)，[50,60)，
4 1
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 概率，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组 5 5
数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）. 小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更
有利？
附：若 Z ~ N , 2 ，则 P( Z ) 0.6827， P( 2 Z 2 ) 0.9545 .
22．已知函数 f (x) aex x a， a R .
（1）讨论 f (x)在 1, 上的单调性；
（2）当 a 1 sin x时，讨论 g(x) f (x) x 2在 , 上的零点个数.
第 5页 共 6页 ◎ 第 6页 共 6页参考答案
一、单项选择题 1--8 A B A A C , B A A
二、多选 9--12 ABD BCD BCD AD
13 1 2
三、填空 13 . 2 14 . 0 15. 12 16. , 6
,
2
四、解答题
17．解：（1）2×2列联表：
女生 男生 总计
购买 40 20 60
未购买 70 70 140
总计 110 90 200
K2＝ ≈4.714．
因为 4.714＞3.841，
故有 95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；...........5分
（2）①由数据，求得 ＝5， ＝27．
＝ ＝ ，
＝27 ×5＝14.5．
所以 y关于 x的线性回归方程为 ＝2.5x+14.5．.........8分
②当 x＝1时， ＝2.5×1+14.5＝17，|17﹣16|＝1＜2；
当 x＝3时， ＝2.5×3+14.5＝22，|22﹣23|＝1＜2．
所以，所得到的线性回归方程是可靠的． ...........10分
18.解：（1）当 m＝2时，不等式 mx2+5x+m＜0，
可化为：2x2+5x+2＜0，即（2x+1）（x+2）＜0，
∴﹣2＜x＜﹣ ，
∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣ }．......4分
（2）若 mx2+5x+m＜0对一切 x∈R 恒成立，
1
①当 m＝0时，5x＜0，即 x＜0，不符合题意；.......5分
②当 m≠0时，
则有 ，解得 m＜﹣ ． ..........10分
综合①②，可得 m＜﹣ ．故实数 m的取值范围为（﹣∞，﹣ ）．........12分
19.解：令 t log x，则 y t 22 2t a2 ．
（1）因为 x 0, ，所以 t R ，
则对任意 x 0, ， f x 0恒成立等价于对任意 t R ， y 0恒成立........3 分
故 4 4a2 0，解得 a 1或 a 1，即 a的取值范围为 , 1 U 1, ，......5 分
（2）因为 x 2, ，所以 t 1, ，
因为 y t 2 2t a2图象的对称轴为 t 1，所以 y t 2 2t a2 在 1, 上单调递增，即 f x 在 2,
上单调递增．
15
因为 x 2，所以 2x 2 x 2，4x 4 x 1 2 x x ．因为m >1，所以m 2 2 2．4
x x
因为 f m 2x 2 x f 4x 4 x 1 m 2x，所以 2 x 4x 4 x 1 4 4 1，即m ．......8 分
2x 2 x
2 1
因为 4x 4 x 1 2x 2 x 1 x x，所以m 2 2 ．2x 2 x
2x 2 x 15 2x 2 x 1 15 4 241 241因为 ，所以
4 2x 2 x
，故m ．
4 15 60 60
241
因为m >1，所以m的取值范围是 1, ．.......12 分
60
x
20.解（1）易知 f (x) a， f (x)
x 1
ex
，
ex
因为 x 1时， f (x) 0； x 1时， f (x) 0；所以 f (x)在 ( ,1)单调递减，在 (1, )单调递增，
则 f (x) f (1)
1 1
a ，因为 a ，所以 f (x) 0 ,所以 f x 单调递增；...........5 分
e e
f x f x
（2）不妨设 x1 x
2 1
2，则 1，等价于 f x2 x2 f x x ，x 1 12 x1
记 g(x) f (x) x ，等价于 g(x)在 R单调递增，即 g (x) 0恒成立，.......9 分
易知 g (x) f (x) 1， g (x) f (x)，则由（1）可知 g (x)在 ( ,1)单调递减，在 (1, )单调递增，
2
所以 g (x)min g (1) a
1 1
1，则可知 a 1 ．..........12 分
e e
21解：（1）由分层抽样知识可知，这 11 天中前 3 组的数据分别有 1 个，4 个，6 个，
C2C1 C3 46
所以至少有 2 天的数据来自[50,60)这一组的概率概率为 P 4 7 4
C3
3 .......3 分
11 C11 165
（2）（ⅰ）由题得 45 0.05 55 0.2 65 0.3 75 0.3 85 0.1 95 0.05 68.5，
所以 P(54.1 T 97.3) P(68.5 14.4 T 68.5 28. 8)
1
(0.6827 0.9545) 0.8186 .
2
故 2000 天内日货物配送量在区间 54.1,97.3 内的天数为 2 000 0.8186 1637.2 1637 ......5 分
（ⅱ）易知 P(T ) P(T )
1
.
2
对于方案一，设小张每日可获得的奖金为 X 元，则 X 的可能取值为 50，80，120，
其对应的概率分别为 0.25，0.6，0.15，
故 E(X ) 50 0.25 80 0.6 120 0.15 78.5 .......7 分
对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y 元，则Y 的所有可能取值为 50，100，150，200，
故 P(Y 50)
1 4 2 P(Y 100) 1 1 1 4 4 21 ， ，
2 5 5 2 5 2 5 5 50
P(Y 150) 1 1 4 4 1 1 1 1 2 ， P(Y 200) .
2 5 5 25 2 5 5 50
所以Y 的分布列为
Y 50 100 150 200
2 21 4 1
P
5 50 25 50
所以 E(Y ) 50
2
100 21 150 4 1 200 90 .
5 50 25 50
因为 E(Y ) E(X )，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利........12 分
22．解（1） f '(x) ae x 1， x 1, ，
当 a 0时， f '(x) 0恒成立，则 f (x)在 1, 上单调递减；
当 a 0时，令 f '(x) 0 x ln
1
，则 ，令 f '(x) 0，则 x ln
1
，
a a
1 1
若 ln 1，即 a 时， f (x)在 1, 上单调递增；
a e
1 1
若 ln
1
1，即0
1
a 时， f (x)在 1,ln
上单调递减；在a e a
ln , 上单调递增；.......5 分
a
3
（2）当 a 1 sin x时， g(x) f (x) x 2 1 sin x ex sin x 1，
x
令 g(x) 0 e 1，得 x sin x 0，e 1
x e x 1 x
令 h(x) e 1 sin x，则 h( x) x sin( x)
e 1
x sin x h( x)ex
，
1 e 1 e 1
所以 y h(x)为奇函数，且 h 0 0，
所以 0 是 y h(x)的一个零点，.......6 分
x xe 1
令 t(x) ，则 t '(x)
2e
x 2 ，当 x 0, ， t '(x) 0，则 t(x)x 在 0, 上单调递增，e 1 e 1
r(x) sin x r(x) 0, π 令 ，则 在 上单调递增，在 ,π 上单调递减，
2 2
x
s(x) e
x 1 x 2e 1
令 ，则 s '(x) 2 0 恒成立，所以 s(x)在 0, 上单调递减，
ex 1 2 ex 1 2
x
所以 s(x) s 0 0 e 1 x，则 x ，e 1 2
x 1
令u(x) sin x ，则u '(x) cos x ，当 x 0, 时，u '(x) 0，u(x)单调递增，2 2 3
x 当
, 时，u '(x) 0，u(x)单调递减，
3 2
又u 0 0 u ， 1 0 x
，则当 0,
时，u(x) 0恒成立，
2 4 2
x 0,
x
即当
时， sin x
x
恒成立，所以当 x 0,
e 1 x
时，2 2 x sin x
恒成立，
2 e 1 2
x 0, 所以当 时， h(x) 0恒成立，........10 分
2
h '(x) 2ex当 x , 时， cos x 0
2 ex 1 2 ，所以 h(x)在 x , 上单调递增， 2
e 2h 1 1 e
1
又 0， h( ) 0 ，所以 h(x)在 x 0, 上有且只有一个零点，设该零点为 x0，
2 e 2 e 1 1
因为 y h(x)为奇函数，所以在 x ,0 上的零点为 x0，
所以 h(x)在 x , 上有 3 个零点，分别为 x0，0， x0，
所以 g(x)在 x , 上有 3 个零点..........12 分
4请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2021 年“山东学情”高三 10 月联合考试 19、（12分）
数学（C 版）答题卡
姓名:___________________
班级:___________________ 贴 条 形 码 区
准考证
号
1. 考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班 级、姓名、考号填写在相应位
置。
2. 答题时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用 2B 铅笔
注 按图示 规范填涂。 正确填涂
意 3. 严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷填涂
上答题无效。 18、（12分）
事 4. 保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修样例 错误填涂
项 正纸和修正带。
5. 若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。
选择题（1-8 题单选，9-12题多选，每题 5分，共 60 分）
1 6 11
2 7 12
3 8
4 9
5 10
填空题(每题 5分，共 20分)
13、______________________14、________________________
15、______________________16、________________________
17、（10分）
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20、（12分） 21、（12分） 22、（12分）
第 4 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页
