上海市浦东新区川沙镇川沙学校2021-2022学年高三上学期第一次月考数学卷（PDF版含答案）

2022届上海市川沙中学高三数学第一次月考试卷
一、填空题（本大题共有 12题，第 1题至第 6题每个空格填对得 4分，第 7题至第 12题每个空格填对得 5分，满
分 54分）．
1.函数 f (x) 5 x 的定义域为 .
2.已知集合 A ,a ,B 2,3 且 A∩ B非空，则实数a的取值范围 .
5
2 2
3. x
4
的展开式中 x 的系数为 .
x
1
4.幂函数 f (x) 的图像过点 (4, 2)，其反函数为 f (x)，则 f 1(3) .
5.已知 lg 2 a, lg3 b , 则用a,b表示 log5 6 .
6.已知点 ( 2, y) 在角 终边上，且 tan( ) 2 2 ，则sin .
x y 2 0

7.已知 x, y满足 x 2y 3 0，则 z y 2x的最大值为 .

y 0
8.若 f (x) 是定义在R上的奇函数，当 x 0 时， f (x) log2 (2 x)，则 f (0) f (2) .
9.在停课不停学期间, 某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项, 则每个项目都有该校敦师
参加的概率为 .（结果用数值表示）
(x 1)2 2x 2 x
10.函数 f (x) , x 2019,2019 的最大值为M ，最小值为m , 则 M m .
x2 1
1 1
11. 已知 x, y [1,3], x y 4 ，则 x y 的最大值为 .
y x
12.在△ABC 2中，若2sin B 3sin2 C 2sin A sin B sinC sin2 A，且三边a,b,c所对的角依次为 A,B,C，则
bsin(B C)
的值为 .
c
二、选择题（本大题共有 4题，每题 5分，满分 20分）.
2
13.设 x R , 则“ x 1 1”是“ x 4 ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14. 在△ABC中, 角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，满足bcos A a cosB，则△ABC的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
15.已知函数 f (x) 为 R 1上的单调函数， f (x)是它的反函数，点 A( 2,3)和点B(2,1)均在函数 f (x) 的图像上，则
1
不等式 f 3x 2的解集为（ ）
A. (0,1) B. (1,3) C. ( 1,1) D. (0,3)
16.函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且 f (x 1)为偶函数，当 x [0,1]时, f (x) x , 若函数 g(x) f (x) x m
有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
1 1
A.

, B. (1 2, 2 1)
4 4
1 1
C. 4k , 4k

(k Z) D. (4k 1 2, 4k 2 1)(k Z)
4 4
三、解答题（本大题共有 5题，共 14+14+14+16+18=76分）．
17．如图，已知圆锥的体积为 ，底面半径OA和OB互相垂直，且OA 3 ，P是母线BS 的中点.
（1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线 SO与 PA所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）.
18. 设函数 f (x) 2x 7 ax 1 (a为实数) .
（1）若a 1，解不等式 f (x) 0 ;
x
（2）若当 0时，关于 x的不等式 f (x) 1成立，求a的取值范围.
1 x

19.如图某公园有一块直角三角形 ABC的空地，其中 ACB ， ABC ， AC长 a千米，现要在空地上围
2 6
出一块正三角形区域DEF 建文化景观区，其中D、E、F 分别在BC、 AC、 AB上．设 DEC .

（1）若 ，求△DEF 的边长；
3
（2）当 多大时，△DEF 的边长最小？并求出最小值.
2x , x 0
20.已知函数 f (x)
log2 x, x 0
（1） 解不等式 x f (x) 0；
（2）设 k,m均为实数，当 x ( ,m]时, f (x) 的最大值为1,且满足此条件的任意实数 x及m的值, 使得关于 x的
不等式 f (x) m2 (k 2)m 3k 10恒成立，求 k的取值范围；
（3）设 t为实数, 若关于 x的方程 f f (x) log2 (t x) 0 恰有两个不相等的实数根 x1, x2 且 x1 x2 , 试将
x 1
2 1 log2 x2 表示为关于 t的函数，并写出此函数的定义域.
2 x1 1 x2 1
21.设m为给定的实常数，若函数 y f (x) 在其定义域内存在实数 x0 , 使得 f x0 m f x0 f (m) 成立, 则
称函数 f (x) 为“G(m) 函数”.
x
（1）若函数 f (x) 2 为“G(2)函数”，求实数 x0 的值；
a
（2）若函数 f (x) lg 为 “G(1) 函数” ，求实数a的取值范围；
x2 1
（3）已知 f (x) x b(b R)为“G(0) 函数”, 设 g(x) x | x 4 | .若对任意的 x1, x2 [0, t] , 当 x1 x2 时，都有
g x1 g x2 2成立, 求实数 t的最大值.
f x1 f x2