5.4.2.2 单调性与最值 同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

单调性与最值
必备知识基础练
知识点一 正、余弦函数的单调性
1.下列函数，在上是增函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
2．函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)
A. B．[－π，0]
C. D.
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos 2x；
(2)y＝2sin.
知识点二 三角函数值的大小比较
4.下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°5．比较下列各组数的大小．
(1)cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.
知识点三 正、余弦函数的值域、最值
6.函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
7．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．
8．求下列函数的值域：
(1)y＝sin，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)为奇函数
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
3．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　)
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
5．(易错题)函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
6．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
二、填空题
7．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________．
8．函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
9．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
三、解答题
10．(探究题)求函数y＝cos2x＋4sin x的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x的取值集合．
11．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值．
学科素养升级练
1．(多选题)对于函数f(x)＝，下列四个结论正确的是(　　)
A．f(x)是以π为周期的函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1
C．f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)
D．当且仅当2kπ2．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　)
A. B.
C．2π D．4π
3．(学科素养—逻辑推理)设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值．
答案
必备知识基础练
1．解析：对于函数y＝cos 2x，令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ(k∈Z)，即＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，
故y＝cos 2x的单调递增区间是(k∈Z)，当k＝0时为，故选D.
答案：D
2．解析：∵2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
令k＝0得≤x≤.
又∵
∴函数f(x)＝sin的一个递减区间为.故选D.
答案：D
3．解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：
2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin＝－2sin，
函数y＝－2sin的单调递增、递减区间，是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z.
4．解析：∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由函数y＝sin x的单调性，得sin 11°答案：C
5．解析：(1)∵cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0<<<，
且y＝cos x在上单调递减，
∴cos>cos.即cos>cos.
(2)∵sin 194°＝sin(90°＋104°)＝cos 104°，
而0°<104°<160°<180°，
且y＝cos x在[0，π]上单调递减．
∴cos 104°>cos 160°.即sin 194°>cos 160°.
6．解析：∵x∈R，∴x∈R，
∴y＝cosx的值域为[－1,1]．
∴y＝1－2cosx的最大值为3，最小值－1.
答案：A
7．解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
答案：4kπ＋(k∈Z)
8．解析：(1)因为0≤x≤，所以0≤2x≤π，
所以－≤2x－≤.
令2x－＝t，
则原式转化为y＝sin t，t∈，
由y＝sin t的图象知－≤y≤1，
所以所求函数的值域为.
(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
∴t＝－1时，y取得最大值10，
t＝1时，y取得最小值2.
所以y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2,10]．
关键能力综合练
1．解析：因为f(x)＝sin＝－cos x，所以T＝2π，故A项正确；因为y＝cos x在上是减函数，所以y＝－cos x在上是增函数，故B项正确；因为f(0)＝sin＝－1，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故C项正确；f(x)＝－cos x是偶函数，故D项错误．
答案：D
2．解析：因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
答案：A
3．解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
4．解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，
∴sin∈，
故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.
答案：D
5．解析：解法一　y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
解法二　函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又因为x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
答案：D
6．解析：∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos＝cos，
∴ymin＝－1.
答案：C
7．解析：∵1＜＜2＜3＜π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上递增，且0＜π－3＜1＜π－2＜，
∴sin(π－3)＜sin 1＜sin(π－2)，即sin 3＜sin 1＜sin 2.
答案：sin 3＜sin 1＜sin 2
8．解析：根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．
要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝π＋(k∈Z)，
即对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)，
而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，
所以令y＝0，即sin＝0，
所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝π－(k∈Z)，
故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．
答案：x＝π＋(k∈Z)　(k∈Z)
9．解析：∵x∈，即0≤x≤，且0＜ω＜1，
∴0≤ωx≤＜.
∵f(x)max＝2sin＝，
∴sin＝，＝，即ω＝.
答案：
10．解析：函数y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
∴ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是.
11．解析：(1)由于a>0，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
则≤sin≤1，
由f(x)的值域为[1,3]知，
解得
或解得
综上得或
学科素养升级练
1．解析：函数f(x)＝的最小正周期为2π，
画出f(x)在一个周期内的图象，
可得当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，
f(x)＝cos x，
当2kπ＋f(x)＝sin x，
可得f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，
当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；
当且仅当2kπ0，
f(x)的最大值为f＝，可得0综上可得，正确的有CD.
故选CD.
答案：CD
2．解析：作出y＝sin x的一个简图，如图所示，
∵函数的值域为，
且sin＝sin＝，sin＝－1，
∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，
定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，
故可得，最大值与最小值之和为2π.
答案：C
3．解析：∵f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝，∴f(x)在区间[a，a＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴即≤T≤，即≤≤，解得≤k≤，因为k∈N*，∴k＝2或k＝3.