山东省新泰市第一重点高中东校区2022届高三上学期第一次月考（10月）数学试题（PDF版含答案）

新泰一中东校 2019 级高三第一次阶段性考试数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每个题目 5 分，满分 40 分）
1 2．已知集合 A x x x 6 0 , B x 0 x 1 ，则 A RB （ ）
A． x 2 x 0 B．{x | 2 x 0或1 x 3}
C． x 1 x 3 D．{x | 2 x 0或1 x 3}
2．下列命题中，正确的是（ ）
A． x R， 2x x2
B． x R x20 ， 0 x0 1 0
C．命题“ x R， n N *，使得 n x2 ”的否定形式是“ x R， n N *使得 n x2
D 2．方程 x m 3 x m 0有两个正实数根的充要条件是m 0,1
3．若 a log 0.22 0.2,b 2 ,c log0.2 0.3 ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b c B．b a c
C．b c a D． c b a
1
4．若不等式 ax2 x c 0的解集为{x | 1 x }，则函数 y cx2 x a的图象可以为
2
（ ）
A． B．
C． D．
5．“ a、b都不为 0”的一个充分非必要条件是（ ）
A． ab 0； B． ab 0； C．a2 b2 0； D． a b 0 .
试卷第 1页，共 4页
6．已知函数 f (x 1)关于直线 x 1对称，对任意实数 x, f (2 x) f x 恒成立，且当
x [ 1,0]时， f x log2 x 1 1，则 f 2021 （ ）
A．2 B．3
C．1 D． 0
7．若关于 x的不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． ( , 2) B． ( , 6) C． ( 6, ) D． ( , 2)
8 f x x2．若函数 4x b ln x在区间 0, 上是减函数，则实数b的取值范围是
（ ）
A． 1, B． , 1 C． , 2 D． 2,
二、多选题（每个题目有多个正确答案，选对部分答案得 2 分，选错得 0 分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
2 11
A．函数 y x 在区间[2,3]上的值域是 2 2,x 3
B．当 ac 0时， x R，使 ax2 bx c 0成立
C．幂函数的图象都过点 (1,1)
D．“ 2 x 3”是“ x2 2x 3 0 ”的必要不充分条件
10 x．已知函数 f x 2 1，实数 a、b满足 f a f b a b ，则下列结论正确的有
（ ）
A． 2a 2b 2 B． a、b，使0 a b 1
C． 2a 2b 2 D． a b 0
11．给定函数 f x 2x 2 （ ）x 1
A． f x 的图像关于原点对称 B． f x 的值域是 1,1
C． f x 在区间 1, 上是增函数 D． f x 有三个零点
12．已知 a，b为正数，且 a－b＝1，则（ ）
A．a2＋b2＞1 B．a3－b3＜1 C．2a＋2b＞1 D． 2log 2 a log 2 b 2
第 II 卷（非选择题）
试卷第 2页，共 4页
三、填空题（每个题目 5 分，总分 20 分）
13．函数 y log 20.5 4x x 的值域为_________．
2
14．函数 f (x) 2 ln x 的图象在 x 1处的切线方程为___________.
x
15．已知函数 f x loga 2x a
1 2
在区间 ， 上恒有 f x 0，则实数 a的取值范围为 3 3
______.
16．已知函数 f (x)
x 1 | x a |
, g(x) ax 1，其中 a 0，若 f (x)与 g(x)的图像有两
2
个交点，则 a的取值范围是_________
四、解答题（第 17 题 10 分，其它题目 12 分）
17．已知函数 f (x)
4
x 2在 x (1, )时的最小值为m．
x 1
（1）求m；
（2）若函数 g(x) ax2 ax m的定义域为 R，求 a的取值范围．
18．2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虑，并日出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒
株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，
但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形垫依饮艰巨，日
常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中，口罩是必不可少的防护用品.某口罩生产厂
家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模.已知该厂生产口罩的固定成本为 200万元，每
1 2
生产 x万箱，需另投入成本 p x 万元，当年产量不足90万箱时， p x x 40x；当
2
p x 100x 8ln x 760年产量不低于90万箱时， 2180，若每万箱口罩售价100万元，
x
通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当年可以全部销售完.
（1）求年利润 y（万元）关于年产量 x（万箱）的函数关系式；
（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大.（注： ln95 4.55）
试卷第 3页，共 4页
19．已知 p： 2x2 3x 2 0 2 ，q： x 2 a 1 x a a 2 0 .
（1）当 x 0时，命题 q为真，求实数 a的取值范围；
（2）若 p是 q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
20 f(x) alnx 1 x 3a
2
．已知函数 ＝ （a≠0）．
4 x
（1）讨论函数 f(x)的单调性；
1
（2）设 g(x)＝2x2﹣mex（e＝2.718…为自然对数的底数），当 a e时，
6
对任意 x1∈[1，4]，存在 x2∈（1，3），使 g（x1）≥f（x2），求实数 m的取值范围．
21．已知函数 f x 是定义在 4，4 上的奇函数，满足 f 2 1，当 4 x 0时，有
f x ax b .
x 4
（1）求实数 a，b的值；
（2）求函数 f x 在区间 0，4 上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；
2
（3）解关于m的不等式 f m 1 1．
22．已知函数 f (x) ax3 bx， g(x)为 f (x)的导函数，且 f (3) 27, g(3) 3
（1）求 f (x)的解析式
（2）设曲线 y g(x)在点 t, g t (t 0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S (t)，
求 S (t)的最小值.
试卷第 4页，共 4页
月考一参考答案
1-8 BCAD BADC
9．BCD 10．CD 11．AB 12．AC
13． 2, 1 2 14． x y 1 0 15． , 16． (0,1)
3 3
17.解：（1）Q x 1， x 1 0，
f (x) x 4 2 (x 1) 4 1 2 (x 1) 4 1 3， 3分
x 1 x 1 x 1
4
当且仅当 x 1 ，即 x 3时等号成立，--------------------------------------------------------4 分
x 1
m 3； 5分
（2）由（1）可知 g(x) ax2 ax 3的定义域为R，
不等式 ax2 ax 3 0的解集为 R，
① a 0时， 3 0恒成立，满足题意； 7分
a 0
②a 0时， a2 12a 0，解得 0 a 12，
综上得， a的取值范围为 [0，12]． 10分
18． 1 依题意，当0 x 90时， y 100x 1 ( x2 40x ) 200 1 x2 6 0x 200，---2分
2 2
760 760
当 x 90时， y 100x (100x 8ln x 2180) 200 1980 8lnx
x x
1
x
2 60x 200,0 x 90
所以所求的函数关系式是： y
2
；-----------------------------4 分
1980 8ln x 760 ,x 90
x
2 当0 x 90时，y 1 x2 60x 200 1 (x 60)2 1600，即当 x 60时，y取最大值，
2 2
最大值为1600万元，------------------------------------------------------------------------6 分
760 8 760 760 8x
当 x 90时， y 1980 8ln x , y
x x x2
，
x2
当90 x 95时， y 0，当 x 95时， y 0，即 y 1980 8ln x
760
在 90,95 上单调递
x
增，在 (95, )上单调递减，----------------------------------------------------------------8 分
y 760则当 x 95时， 取得最大值，且 ymax 1980 8ln95 1980 8 4.55 8 1935.6 (万元)，95
而1600 1935.6，于是得 y的最大值是1935.6，此时 x 95，
所以，当年产量为 95万箱时，该口罩生产厂所获得年利润最大，年最大利润为1935.6万
答案第 1页，共 4页
元.---------------------------------------------------------------------------------------------------12分
19 2．解：（1）因为 x 2 a 1 x a a 2 0，即 x a x a 2 0，即 a 2 x a，
即q： a 2 x a，--------------------------------------------------------------------------------2 分
a 0
因为当 x 0时，命题 q为真，所以 ，解得0 a 2，即 a 0,2 ；--------4 分
a 2 0
（2）由（1）可知q：a 2 x a，所以 q： a 2 x或 x≥a；
令 q对应的集合 B {x | x a或 x a 2}；-----------------------------------------------6 分
因为 2x2 3x 2 0，所以 2x 1 x 2 0 x 1，解得 x 2或 ；
2
1
令 p对应的集合 A {x | x 2或 x }；-------------------------------------------------8 分
2

a
1
2 3
因为 p是 q的充分不必要条件，所以A是 B的真子集，所以 2，解得 a 2，2
a 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------10分
经检验 a
3
或 a 2时，均满足题意，
2
3
综上：实数 a的取值范围为： a | a 2 -----------------------------------------------------12分
2
20．（1）函数 f(x)的定义域为（0，+∞），
2
f x a 1 3a x
2 4ax 12a2 x 2a x 6a
2 2 2 ，--------------------------------------1 分x 4 x 4x 4x
①当 a＞0时，由 f x 0得 x＞2a，即 f(x)的单调递增区间是（2a，+∞）；
由 f x 0得 0＜x＜2a，即单调递减区间是（0，2a）．---------------------------------------3 分
②当 a＜0时，由 f x 0得 x＞﹣6a，即 f(x)的单调递增区间是（﹣6a，+∞）；
由 f x 0得 0＜x＜﹣6a，即单调递减区间是（0，﹣6a）．----------------------------------4 分
1
（2）当 a e时，由（1）知，函数 f(x)在（﹣6a，+∞）上递增，在（0，﹣6a）上递减，
6
即当 x＝﹣6a＝e∈（1，3）时，函数取得极小值，同时也是最小值 f（e）＝
2
alne 1 e 3a 1 e 1 e 1 e 1 e．
4 e 6 4 12 6
若对任意 x1∈[1，4]，存在 x2∈（1，3），使 g（x1）≥f（x2），
1
即等价为 g（x1） e即可，----------------------------------------------------------------------6 分6
答案第 2页，共 4页
2 x 1 1由 2x ﹣me e得 2x2 e≥mex，
6 6
2x2 1 e
即m 6 ，
ex
2 1 4xex 2x2 1 e ex 2 1 2 1
h(x) 2x e h′(x) 6 2x 4x e 2(x 1) 2 e设 6 ，则 6 6 ，
ex (ex )2 ex ex
由 h′(x)＝0，得 x e＝1 1 ，或 x＝1 1 e （舍），
12 12
e
即当 1＜x＜1 1 时，h′(x)＞0，函数 h(x)递增，
12
e
当 1 1 ＜x＜4时，h′(x)＜0，函数 h(x)递减，
12
e
则当 x 1 时，h(x)取得极大值同时也是最大值，-------------------------------------------8 分
12
e 2 e
∵h 1 2 （ ） 6 2 1 h 4
2 4
， （ ） 6 32 1 4 4
，
e e 6 e e 6e3
∴h（1）＜h（4），
2 1
即函数 h(x)的最小值为 h（1） ，
e 6
2 1
则 m ．-------------------------------------------------------------------------------------------12分
e 6
21．（1）由题可知，函数 f (x)是定义在 ( 4,4)上的奇函数，且 f (2) 1，
f ( 2a b 2) 1 2
则 ，解得 a 1,b 0；------------------------------------------3 分
f (0) b 0
4
（2）由（1）可知当 x 4,0 时， f (x) x ，
x 4
当 x (0, 4)
x x
时， x ( 4,0) f (x) f ( x) --------------------4 分
x 4 x 4
任取 x1，x2 （0，4），且 x1 x2，
f x1 f x2
x1 x2 4 x1 x 2
x 4 x 4 x 4 x 4 -----------------------------6 分 1 2 1 2
x1，x2 （0，4），且 x1 x2，则 x1 4 0， x2 4 0， x1 x2 0
于是 （f x1）
x
（f x2） 0，所以 f (x) 在 x （0，4）上单调递增.-------------7 分 x 4
答案第 3页，共 4页
（3）由函数 f (x)是定义在（﹣4，4）上的奇函数，且 f (x)在 x （0，4）上单调递增，
则 f (x)在 x （﹣4，4）上单调递增，
所以 （f m2 1） 1＝f（2）的解为 2 m2 1 4，-----------------------------------------9 分
解得 3 m 1或1< m < 3，
∴不等式的解集为{x | 3 m 1或1< m < 3}．--------------------------------12分
22.（1）因为 f (x) ax3 bx，所以 g(x) 3ax2 b -------------------------------1 分
27a 3b 27 1 a
所以 3
27a b
解得
3 b 12
所以 f (x)
1
x3 12x .---------------------------------------------------------------3 分
3
（2）因为 g(x) x2 12，
所以 y g(x)在点 t,12 t2 处的切线方程为： y 12 t2 2t x t ，-----------5分
2
令 x 0，得 y t2 12 t 12，令 y 0，得 x ，
2t
1 2 t 2 12
所以 S t t 12 ，-----------------------------------------------------7分2 2 | t |
不妨设 t＞0（ t＜0时，结果一样）时，
t 4 24t 2S t 144 1 3则 t 24t 144 ，
4t 4 t
1 3 t4 8t2 48
所以 S t 3t2 24
144

4 t2

4t2
3 t2 4 t2 12 3 t 2 t 2 t2 12
，----------------------------------------10分
4t2 4t2
由 S t ＞0，得 t＞2，由 S t ＜0，得0＜t＜2，
所以 S t 在 0,2 上递减，在 2, 上递增，
16 16
所以 t 2时， S t 取得极小值，也是最小值为 S 2 32 . ----------------------12分
8
答案第 4页，共 4页