2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册4.3 指数函数与对数函数的关系新课讲义

4.3指数函数与对数函数的关系（新课）
知识梳理
反函数的概念
1.定义：一般的在函数中，给定值域中的任何一个y的值，只有惟一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为的反函数。
反函数的性质
1.一般的，函数的反函数记做，的定义域与的值域相同；的值域与的定义域相同，与的图像关于直线对称；如果点在函数上，那么点一定在上。
2．如果是单调函数，那么一定是单调函数；如果是增函数，那么一定也是增函数；如果是减函数，那么一定也是减函数。
典例解析
考点一：求反函数的解析式
例1：求函数的反函数的解析式。
变式1．函数的反函数为（　　）
变式2. 已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（　　）
A. B. 1 C. 12 D. 2
例2．设函数（其中为常数）的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为____．
变式1．若点既在图象上，又在其反函数的图象上，则____
变式2．已知函数=的图象经过点(1,3),其反函数的图象经过点(2.0),则=___________.
考点二：反函数的性质
例3. 函数且的反函数过点，则______．
变式1：已知点在函数的反函数的图象上．
（1）求实数的值；
（2）若，求的取值范围．
变:2：若函数是函数的反函数，且，则（ ）
例4. 若函数的图象位于第一、二象限，则它的反函数的图象位于（ ）
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第二、三象限 D. 第一、四象限
变式1. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 10 B. -1 C. 2 D. -2
变式2．函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的单调减区间为 ___________
考点三：反函数的图像
例5. 已知a＞1，函数y=ax与其反函数的图象只可能是（　　）
A. B. C. D.
变式1. 如果函数的反函数是增函数，那么函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
变式2. 已知，且，为的反函数，若，那么与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
考点四：反函数与零点结合
例6．若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）
A． B．1 C． D．-1
变式1．已知与分别是函数与的零点，则值为（ ）
A． B． C．4 D．5
变式2．若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
巩固练习
1. 已知函数的反函数为，．求的解析式，并指出的定义域；
2.函数的图象过点，则它的反函数的图象过点（　　）
3．已知函数，若函数是的反函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则 （ ）
A．-7 B．-9 C．-11 D．-13
5．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的反函数是,则
A． B． C． D．
7．函数存在反函数是函数为单调函数的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
8．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若函数的反函数的图象经过点，则实数a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．函数的反函数为___________
11．函数的反函数是______．
12．（）的反函数________
13．函数，的反函数为______．
14．若函数的图象恒过点，则函数的图象一定经过定点______．
4.3指数函数与对数函数的关系答案
典例解析
例1：
变式1.D
变式2.A
例2．
变式1．
变式2．
例2：3
变式1：（1）1（2）
变式2：A
例3. D
变式1. C
变式2．（0,1）
例4. A
变式1. C
变式2. C
例5．B
变式1．D
变式2．D
巩固练习
1．；定义域为 ；
2.D
3．B
4．C
5．C
6．D
7．B
8．C
9．C
10．
11．
12．（）
13．，
14．4
1