2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册5.3概率讲义

5.3概率（新课）
知识梳理
1. 随机事件：在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生。
2．必然事件：在一定条件下必然会发生的某种结果的现象。
3．不可能事件：在同样的条件下，重复进行试验，结果始终不会发生的事件。
4．事件：必然事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A,B,C… 来表示。
5. 基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示。
6. 基本事件空间：所有基本事件构成的集合，用大写希腊字母来表示。
7. 概率与频率：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，随着n的增加，频率总是在某个常数附近摆动，把这个常数叫做事件A发生的概率。
8. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件。
9. 对立事件：不可能同时发生且必有一个发生的两个事件。对立事件是互斥事件的特例。
10.古典概型的概念：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，这种条件下的概率模型就叫古典概型。古典概型具备两个特点：（1）试验结果的有限性；（2）所有结果的等可能性。每个事件发生的概率都是。
11.古典概型的解题步骤：①求出总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式。
12.概率加法公式：
（1）若A，B是互斥事件：
（2）若A，B不是互斥事件：
典例解析
考点一：样本空间与事件
例1（基本事件）.试判断下列事件是不可能事件，必然事件还是随机事件：
中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
某人购买福利彩票10注，均未中奖；
任意两个奇数和为偶数；
电荷同性相吸，异性相斥。
变式1．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当为某一实数时，可使”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
例2（确定事件与随机事件的概率）．抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．某种彩中奖的概率为.若购买该种彩票10000张，则下列说法正确的是（ ）
A．一定有1张中奖 B．一定有3张中奖 C．可能0张中奖 D．不可能3张中奖
变式2．设某厂产品的次品率为3%，估计该厂8000件产品中次品的件数为 (　　)
A．3 B．160 C．240 D．7480
例3（样本空间与样本点）.从含有两件正品，和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，
写出这个试验的基本事件空间；
下列随机事件由哪些基本事件构成；
事件A：取出的两件产品都是正品；
事件B：取出的两件产品恰有1件次品。
变式1．为了丰富高学生的课外生活，某校要组建数学 计算机 航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则包含的样本点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
考点二：事件之间的关系
例4.判断下列事件是否是互斥事件，是否是对立事件，并说明理由。
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，
恰有1名男生和恰有2名女生；
至少有1名男生和至少有1名女生；
至少有1名男生和全是男生；
至少有1名男生和全是女生。
变式1．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
变式2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是( )
A．至少有一个黑球 B．恰好一个黑球
C．至多有一个红球 D．至少有一个红球
例5．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ）
A． B． C． D．
变式1．打靶3次，事件“击中发”，其中.那么表示（ ）
A．全部击中 B．至少击中1发 C．至少击中2发 D．全部未击中
变式2．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为1”，事件“向上的点数为5”，事件“向上的点数为1或5”，则有（ ）
A． B． C． D．
考点三：古典概型
例6．连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式1．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．袋中共有完全相同的4只小球、编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
例7．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（ ）
A． B． C． D．
变式2．《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双壁.三十六计共分胜战计 敌战计 攻战计 混战计 并战计 败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点四：频率与概率
例8．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )
A．频率就是概率 B．频率是随机的，与试验次数无关
C．概率是稳定的，与试验次数无关 D．概率是随机的，与试验次数有关
变式1．下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（ ）
（1）在大量随机试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
（3）计算频率通常是为了估计概率．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
变式2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用M表示“抽到次品”这一事件，则对事件M的说法正确的是（ ）
A．概率为 B．频率为 C．概率接近 D．频率接近
考点五：概率的综合应用
例9．3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；
（2）若从这50个零件中质量位于之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率
（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：
A．所有零件均以50元/百克收购；
B．质量位于的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.
请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.
变式1．疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发.为测试疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，选定2000个样本分成三组，测试结果如“下表:
组 组 组
疫苗有效 673
疫苗无效 77 90
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到组疫苗有效的概率是0.33.
（1）求，的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，求组应抽取多少个
（3）已知，，求疫苗能通过测试的概率.
变式2．一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
（1）求z的值.
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
巩固练习
1．下列事件中，随机事件的个数为(　　)
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4°C时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ）
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书 C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
3．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验的样本点是（ ）
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二点枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
5．一个口袋中装有个白球和个黑球，下列事件中，是独立事件的是（ ）
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
6．10件同类产品中,有8件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为( )
A．恰有1件次品 B．至多有1件次品 C．至少有1件次品 D．既有正品也有次品
7．某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与B对立 B． C．事件A与B互斥 D．
8．从3，5，7，9，10中任取3个数作为边长，不能够围成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法正确的有(　　)
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）.
（1）若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自元和元区间（两区间都有）的概率；
（2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案.
方案一：全场商品打八五折.
方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由.
14．2020年初，一场突如其来的疫情打乱了人们的生活节奏，也改变了很多人的消费方式，某集团在各地区共有20家商品销售门店，为应对疫情，确保公司商品销售营业额，集团决定在所有门店重点推行线上销售模式，经过半年的努力，公司统计了所有门店在1月~6月的商品销售营业额，发现营业额均分布在600万元~1100万元之间，其频率分布直方图如图.
（Ⅰ）估计集团20家门店在上半年的平均营业额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）为帮助营业额落后的门店，集团决定在营业额超过900万元的门店中抽取若干家对销售额不超过700万元的门店实施一对一帮扶，规定销售额超过1000万元的门店必须参与，若甲门店上半年的销售额为950万元，求甲门店被选中的概率.
15．某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
5.3概率答案
典例解析
例1.（1）（2）随机事件（3）必然事件（4）不可能事件
变式1．C
变式2．C
例2．D
变式1．C
变式2．C
例3.(1)a1 a2 ,a1 b1,a2 b1 (2)A a1 a2 B a1 b1,a2 b1
变式1．C
变式2．C
例4.（1）互斥不对立（2）不是互斥（3）不是互斥（4）对立
变式1．A
变式2．D
例5．B
变式1．B
变式2．C
例6．A
变式1．D
变式2．D
例7．B
变式1．C
变式2．C
例8．C
变式1．D
变式2．B
例9．（1）中位数为71.47；（2）；（3）该厂选择方案B；原因略.
变式1．（1），=500（2）90（3）
变式2．（1）400 （2） （3）0.75
巩固练习
1．C
2．D
3．B
4．B
5．B
6．A
7．D
8．A
9．A
10．B
11．B
12．C
13．(1) ;(2) 略.
14．（Ⅰ）835万元；（Ⅱ）.
15．（1）a=0.03；（2）544人；（3）.
6
5