2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量在立体几何中的应用新课讲义

1.2空间向量在立体几何中的应用（新课）
知识梳理
线线角的求法
设直线AB、CD对应的方向向量分别为，则直线AB与CD所成的角为。
。
注意：线线角的范围
线面角的求法
设是平面的法向量，是直线的方向向量，直线与平面所成角为。
。
注意：线面角的范围
二面角的求法
设分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小。
注意：二面角的范围
距离的求法
设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，是平面的法向量。则点A到平面的距离：
典例解析
考点一：空间中的点线
例1．在空间直角坐标系中，点，点为线段的中点，则点的位置向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知点为线段上一点且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，DC的中点，则异面直线AE与D1F的夹角为(　　)
A. B. C. D.
变式1：把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形的中心，则折起后，直线OE与OF的夹角的大小是(　　)
A. B. C. D.
变式2:如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, .求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
考点二：线面角的计算
例3．如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，,，CD⊥AD，AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（1）证明：平面PAB；
（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
变式1：如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
变式2：正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面夹角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
考点三：二面角的计算
例4．在四棱锥中，底面为矩形，，,,点在侧棱上，。
（1）证明：在侧棱中点；
（2）求二面角的余弦值大小。
变式1：在四棱锥中，底面为矩形，已知，，，，。
（1）证明：
（2）求异面直线与所成角的正切值
（3）求二面角的正切值大小。
变式2．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若E为线段BD中点，求二面角D–AE–C的余弦值.
考点四：斜棱柱问题
例5.如图，在三棱柱中， AB=AC=2,，在底面的射影为的中点，为的中点
（1）证明： 平面；
（2）求直线和平面所成的角的正弦
变式1.如图三棱柱中，侧面为菱形，
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值。
变式2.如图，四边形是平行四边形，，，，，,，，为的中点。
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值。
考点五：距离问题
例6．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
变式2．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 （ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1.已知四棱锥中，底面为菱形，，，分别是，的中点。
（1）证明：
（2）若，求二面角的余弦值。
2.如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，．
（1）证明：；
（2）若D为直线AC的中点，求二面角的余弦值．
3.如图，在四棱锥中，平面平面，，。
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小。
4.（2017北京，理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B-PD-A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
5.（2015广东理，18）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，。点是边的中点，点分别在线段上，且。
（1）证明：；
（2）求二面角的正切值；
（3）求直线与直线所成角的余弦值。
6.（2015安徽理）如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于。
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值。
7.（2016新课标2理,）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
8．（2016天津理）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.
9.（2015重庆理）如图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值。
10.（2014新课标1）如图，三棱柱中，。
（1）证明；
（2）若平面⊥平面，求直线 与平面所成角的正弦值。
11.（2013浙江20）如图，在四棱锥中，平面，
，是线段上的点．
（1）证明：平面；
（2）若是线段的中点，求与平面所成的角的正切值；
（3）若满足平面，求的值．
12.（2015湖南）如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。
13.（2016浙江理）如图,在三棱台中, , ,平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
14. 如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝ ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
15. 已知Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D.E分别是AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）若BC＝2CD＝4，求点D到平面PBE的距离．
16. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
1.2空间向量在立体几何中的应用答案
典例解析
例1．B
变式1．A
变式2．C
例2： D
变式1:A
变式2：
例3：（1）略（2）
变式1：（1）略（2）
变式2： A
例4：（1）略（2）
变式1：（1）略（2） （3）
变式2：（1）略（2）
例5:（1）略（2）
变式1：（1）略（2）
变式2：（1）略（2）略（3）
例6．D
变式1．B
变式2．B
巩固练习
1：（1）略（2）
2：（1）略（2）:
3：（1）略（2）
4：（1）略（2） （3）
5：（1）略（2）（3）
6：（1）略（2）
7：（1）略（2）
8：（1）略（2）（3）
9：（1）略（2）
10：（1）略（2）
11：（1）略（2）（3）
12：（1）略（2）
13：（1）略（2）
14.存在点Q满足题意，此时
15.（1）证明略；（2） 16.（1）证明略；（2）.
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