2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.3 圆及其方程 新课讲义
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.3 圆及其方程 新课讲义 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 447.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-13 10:38:59 | ||
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文档简介
2.3圆及其方程（新课）
知识梳理
要点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
要点二：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程. 为圆心，为半径.
要点三：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
要点四：直线与圆的位置关系
（1）当时，直线与圆C相交；
（2）当时，直线与圆C相切；
（3）当时，直线与圆C相离.
要点五：圆与圆的位置关系
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
（1）当时，两圆外离；
（2）当时，两圆外切；
（3）当时，两圆相交；
（4） 当时，两圆内切；
（5）当时，两圆内含.
典例解析
考点一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；
(3)经过点，圆心为点．
变式1.圆心是，且过点的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．以点和为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（1）的三个顶点分别为，，，求其外接圆的方程；
（2）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；
变式1.如图，等边的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．
变式2．已知A(0,1)，B(2,1)，C(1,2)能否定圆？若能，判断D(3,4)与该圆的位置关系.
例3．求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线上，且圆过两点；
（2）过点且圆心在直线上；
变式1.求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线上，且圆与直线切于点．
（2）过点且与直线相切于点．
变式2.求下列各圆的标准方程：
（1）圆过点和，且圆在两坐标轴上截得的弦长相等．
（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．
考点二：圆的一般方程
例4. 圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
变式1．已知直线表示一个圆．
（1）求的取值范围；
（2）求这个圆的圆心和半径；
（3）求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程．
变式2.方程表示圆，则的取值范围是
A．或 B． C． D．
考点三：点与圆位置关系
例5．判断点，，与圆的位置关系．
变式1.点在圆的内部，则的取值范围是________．
变式2（多选）. 若点(1，－1)在圆外，则下列可能为m值的有（ ）
A. B. C. D. 1
考点四：直线与圆的位置关系
例6.已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
变式1．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点．
变式2.求实数m的范围，使直线与圆分别满足：
相交；(2)相切；(3)相离．
考点五：相切问题
例7．过点作圆的切线,求切线的方程.
变式1.（1）求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点；
（2）求圆x2+y2=4的切线方程，使得它经过点Q（3，0）．
变式2．由点向圆作的切线方程为___________．
考点六：相交问题
例8．直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程．
变式1. 求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程．
变式2．过点作圆的最短弦，则这条弦所在直线的方程是( )
A． B． C． D．
考点七：相离问题
例9．若直线与圆相离，则实数k的取值范围是______.
变式1．设为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值是 .
变式2.已知点P（x，y）是圆(x―3)2+(y―3)2=4上任意一点，求点P到直线2x+y+6=0的最大距离和最小距离．
考点八：圆与圆的位置关系
例10．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
变式1．已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式2．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？
例11.已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
变式1．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay―6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=________。
变式2．圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A． B． C． D．
考点九：圆的图像问题
例12．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．. C． D．
变式1．若曲线y＝与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，+∞） D．（1，3]
变式2．曲线 ()与直线有两个公共点时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点十：综合应用
例13．如果实数，满足方程，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值与最小值；
（3）的最大值与最小值.
变式1．已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
变式2．已知实数满足．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
巩固练习
1．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不确定
3．曲线关于（ ）
A．直线轴对称 B．直线轴对称
C．点中心对称 D．点中心对称
4．若方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆心在轴上的圆与轴交于两点，，此圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6.方程所表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B.两个圆 C． 半个圆 D． 四分之一个圆
7. 若直线过圆的圆心，则的最大值为( )
A. B. C.4 D.16
8．直线和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是 .
9．已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是________．
10．已知圆，当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为________．
11．已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x―4y=0，则两圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．内含
12．两圆x2+y2―2x+10y―24=0与x2+y2+2x+2y―8=0的交点坐标为（ ）
A．（4，0）或（2，0） B．（―4，0）或（2，0）C．（―4，0）或（0，2）D．（4，0）或（0，―2）
13．直线与圆交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
14．直线截圆得到的劣弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
15．过定点（1，2）作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2―15=0相切，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．―3＜k＜2 C．k＜―3或k＞2 D．以上都不对
16．过点（―4，0）作直线与圆x2+y2+2x―4y―20=0交于A、B两点，若|AB|=8，则（ ）
A．的斜率为 B．的方程为5x―12y+20=0
C．的方程为5x+12y+20=0或x+4=0 D．的方程为5x―12y+20=0或x+4=0
17．直线y=x―1上的点到圆x2+y2+4x―2y+4=0的最近距离为（ ）
A． B． C． D．1
18．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则取值范围（ ）
A． B． C． D．
19．两圆x2+y2+2x―4y+3=0与x2+y2―4x+2y+3=0上的点之间的最短距离是________。
20．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：y=x―1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为________。
21．是圆上任意一点，则的最大值是 ；点到直线的最大距离是 。
22．已知圆C过点原O且与直线x+y=4相切，它的圆心在直线y=x上，求圆C的一般方程。
23．求经过直线x+y=0与圆x2+y2+2x―4y―8=0的交点，且经过点P（―1，―2）的圆的方程。
24．已知点在圆上.
（1）求的取值范围；
（2）求的最大值和最小值.
2.3圆及其方程答案
例1．（1）（2）（3）
变式1.A 变式2．A
例2．（1）x2+y2―4x―2y―20=0（2） （4，1）
变式1.，，
变式2．A，B，C三点可以确定圆，且点在该圆上．
例3．（1）；（2）
变式1.（1）（2）
变式2.（1）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25（2）或
例4.D
变式1．（1）（2）（t+3，4t2－1） （3）
变式2.D
例5． M在圆上 N在圆外 Q在圆内 变式1.（－∞，1） 变式2.AB
例6：相交
变式1：（1）m＞0或（2）m=0或（3）
变式2.（1）或（2）（3）
例7：或
变式1.（1）（2）
变式2．或
例8：x―2y+5=0或2x―y―5=0 变式1.x+y―2=0或7x+17y+26=0 变式2．D
例9． 变式1：1 变式2.
例10．C 变式1．D 变式2：（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m＜―1．
例11.3x―4y+6=0 公共弦长为． 变式1．1 变式2．C
例12.．B 变式1．A 变式2．D
例13．（1）最大最小（2）最大最小（3）最大，最小.
变式1．（1）最大，最小；（2）最大，最小；（3）最大，最小.
变式2．（1）0，；（2）.
巩固练习
1． A
2． A
3． D
4． A
5． A
6． C
7. B
8．
9． ．
10．（0，―1）
11.C
12.C
13.B
14.C
15.C
16.C
17.C
18.C
19．
20．x+y－3=0
21．，6
22．x2+y2―2x―2y=0。
23．圆的方程为x2+y2+3x―3y―8=0。
24．（1）；（2）最大值为，最小值为.10
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知识梳理
要点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
要点二：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程. 为圆心，为半径.
要点三：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
要点四：直线与圆的位置关系
（1）当时，直线与圆C相交；
（2）当时，直线与圆C相切；
（3）当时，直线与圆C相离.
要点五：圆与圆的位置关系
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
（1）当时，两圆外离；
（2）当时，两圆外切；
（3）当时，两圆相交；
（4） 当时，两圆内切；
（5）当时，两圆内含.
典例解析
考点一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；
(3)经过点，圆心为点．
变式1.圆心是，且过点的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．以点和为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（1）的三个顶点分别为，，，求其外接圆的方程；
（2）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；
变式1.如图，等边的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．
变式2．已知A(0,1)，B(2,1)，C(1,2)能否定圆？若能，判断D(3,4)与该圆的位置关系.
例3．求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线上，且圆过两点；
（2）过点且圆心在直线上；
变式1.求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线上，且圆与直线切于点．
（2）过点且与直线相切于点．
变式2.求下列各圆的标准方程：
（1）圆过点和，且圆在两坐标轴上截得的弦长相等．
（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．
考点二：圆的一般方程
例4. 圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
变式1．已知直线表示一个圆．
（1）求的取值范围；
（2）求这个圆的圆心和半径；
（3）求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程．
变式2.方程表示圆，则的取值范围是
A．或 B． C． D．
考点三：点与圆位置关系
例5．判断点，，与圆的位置关系．
变式1.点在圆的内部，则的取值范围是________．
变式2（多选）. 若点(1，－1)在圆外，则下列可能为m值的有（ ）
A. B. C. D. 1
考点四：直线与圆的位置关系
例6.已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
变式1．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点．
变式2.求实数m的范围，使直线与圆分别满足：
相交；(2)相切；(3)相离．
考点五：相切问题
例7．过点作圆的切线,求切线的方程.
变式1.（1）求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点；
（2）求圆x2+y2=4的切线方程，使得它经过点Q（3，0）．
变式2．由点向圆作的切线方程为___________．
考点六：相交问题
例8．直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程．
变式1. 求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程．
变式2．过点作圆的最短弦，则这条弦所在直线的方程是( )
A． B． C． D．
考点七：相离问题
例9．若直线与圆相离，则实数k的取值范围是______.
变式1．设为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值是 .
变式2.已知点P（x，y）是圆(x―3)2+(y―3)2=4上任意一点，求点P到直线2x+y+6=0的最大距离和最小距离．
考点八：圆与圆的位置关系
例10．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
变式1．已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式2．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？
例11.已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
变式1．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay―6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=________。
变式2．圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A． B． C． D．
考点九：圆的图像问题
例12．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．. C． D．
变式1．若曲线y＝与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，+∞） D．（1，3]
变式2．曲线 ()与直线有两个公共点时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点十：综合应用
例13．如果实数，满足方程，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值与最小值；
（3）的最大值与最小值.
变式1．已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
变式2．已知实数满足．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
巩固练习
1．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不确定
3．曲线关于（ ）
A．直线轴对称 B．直线轴对称
C．点中心对称 D．点中心对称
4．若方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆心在轴上的圆与轴交于两点，，此圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6.方程所表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B.两个圆 C． 半个圆 D． 四分之一个圆
7. 若直线过圆的圆心，则的最大值为( )
A. B. C.4 D.16
8．直线和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是 .
9．已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是________．
10．已知圆，当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为________．
11．已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x―4y=0，则两圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．内含
12．两圆x2+y2―2x+10y―24=0与x2+y2+2x+2y―8=0的交点坐标为（ ）
A．（4，0）或（2，0） B．（―4，0）或（2，0）C．（―4，0）或（0，2）D．（4，0）或（0，―2）
13．直线与圆交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
14．直线截圆得到的劣弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
15．过定点（1，2）作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2―15=0相切，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．―3＜k＜2 C．k＜―3或k＞2 D．以上都不对
16．过点（―4，0）作直线与圆x2+y2+2x―4y―20=0交于A、B两点，若|AB|=8，则（ ）
A．的斜率为 B．的方程为5x―12y+20=0
C．的方程为5x+12y+20=0或x+4=0 D．的方程为5x―12y+20=0或x+4=0
17．直线y=x―1上的点到圆x2+y2+4x―2y+4=0的最近距离为（ ）
A． B． C． D．1
18．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则取值范围（ ）
A． B． C． D．
19．两圆x2+y2+2x―4y+3=0与x2+y2―4x+2y+3=0上的点之间的最短距离是________。
20．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：y=x―1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为________。
21．是圆上任意一点，则的最大值是 ；点到直线的最大距离是 。
22．已知圆C过点原O且与直线x+y=4相切，它的圆心在直线y=x上，求圆C的一般方程。
23．求经过直线x+y=0与圆x2+y2+2x―4y―8=0的交点，且经过点P（―1，―2）的圆的方程。
24．已知点在圆上.
（1）求的取值范围；
（2）求的最大值和最小值.
2.3圆及其方程答案
例1．（1）（2）（3）
变式1.A 变式2．A
例2．（1）x2+y2―4x―2y―20=0（2） （4，1）
变式1.，，
变式2．A，B，C三点可以确定圆，且点在该圆上．
例3．（1）；（2）
变式1.（1）（2）
变式2.（1）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25（2）或
例4.D
变式1．（1）（2）（t+3，4t2－1） （3）
变式2.D
例5． M在圆上 N在圆外 Q在圆内 变式1.（－∞，1） 变式2.AB
例6：相交
变式1：（1）m＞0或（2）m=0或（3）
变式2.（1）或（2）（3）
例7：或
变式1.（1）（2）
变式2．或
例8：x―2y+5=0或2x―y―5=0 变式1.x+y―2=0或7x+17y+26=0 变式2．D
例9． 变式1：1 变式2.
例10．C 变式1．D 变式2：（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m＜―1．
例11.3x―4y+6=0 公共弦长为． 变式1．1 变式2．C
例12.．B 变式1．A 变式2．D
例13．（1）最大最小（2）最大最小（3）最大，最小.
变式1．（1）最大，最小；（2）最大，最小；（3）最大，最小.
变式2．（1）0，；（2）.
巩固练习
1． A
2． A
3． D
4． A
5． A
6． C
7. B
8．
9． ．
10．（0，―1）
11.C
12.C
13.B
14.C
15.C
16.C
17.C
18.C
19．
20．x+y－3=0
21．，6
22．x2+y2―2x―2y=0。
23．圆的方程为x2+y2+3x―3y―8=0。
24．（1）；（2）最大值为，最小值为.10
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