2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.5 椭圆及其方程 新课讲义

2.5椭圆（新课）
知识梳理
定义及标准方程
定义：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：（）
方程：（1）焦点在轴上： （2）焦点在轴上：
简单几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
顶点
轴
离心率
关系
通径
典例解析
考点一：椭圆的定义与标准方程
例1．求下列椭圆的标准方程
(1)，焦点在x轴上；(2)，椭圆过点，焦点在y轴上；
(3)，椭圆过点；(4)椭圆的焦点在坐标轴上，且经过点和
变式1：已知中心在原点的椭圆的右焦点为则的方程为( )
A. B. C. D.
变式2：如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
B. C. D.
例2．已知是定点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．直线 C．椭圆 D．线段　
变式1：已知，为椭圆 的两个焦点，过椭圆的焦点的直线交椭圆于点，若，则________________.
变式2:椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过的直线交与两点，且的周长为16，那么的方程为__________.
考点二：椭圆的几何性质
例3．椭圆则焦点坐标为_____________，长轴长________，短轴长_________.
变式1：椭圆的焦距为4，则=( )
A.4 B.8 C.4或8 D.12
变式2：已知椭圆的短轴长为6，离心率为，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为( )
A.9 B.1 C.1或9 D.以上都不对
考点三：求离心率的值或范围
例4．过椭圆的左焦点且与长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则离心率为 .
变式1：椭圆：的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆一个交点满足,则该椭圆的离心率为 .
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点，面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．1 C． D．
例5．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
变式1：已知是椭圆上一点，是其左右焦点。若存在点使得，求离心率的取值范围。
变式2．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四：焦点三角形问题
例6．点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，，则面积为 .
变式1：已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的离心率为（ ）
B. C. D.
变式2：是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
考点五：中点弦问题（点差法）
例7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于点,
若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1：已知椭圆，以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在的直线斜率是（ ）
A． B． C． D．
变式2：椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点六：向量在椭圆中的应用
例8．已知椭圆的焦点为，，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式1：经过椭圆的一个右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于、两点，设为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
变式2．已知椭圆的左顶点为，左焦点为，点为该椭圆上任意一点.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率，则的取值范围是_________.
巩固练习
1.设F,F是椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，是底角为的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.中心为（0,0），一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
3.已知过原点的直线与椭圆 （a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，AFBF,且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知椭圆 （a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，BF
X轴，直线AB交y轴于点P，若=3,则椭圆的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
5.已知F,F为椭圆的两焦点，点M在椭圆上，且则点M到x轴的距离为( )
A B C D
6.已知椭圆:的左右焦点分别为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.椭圆的焦距为2，则( )
A.5或3 B.8 C.5 D.16
8.已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为
9.椭圆的焦点为F,F，点P在椭圆上，若丨PF丨=2，则sin∠FP F=
10.已知椭圆的左焦点为，则( )
A.2 B.3 C.4 D.9
11.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.或
12.已知，椭圆在x轴上的焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的顶点距离为，求椭圆的标准方程.
13.设AB为过椭圆中心的弦，F1为左焦点.求：△A B F1的最大面积.
14.AB是过椭圆的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长
15.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，并且椭圆与圆x-4x-2y+交于A,B两点,若线段AB的长等于圆的直径。
（1）求直线AB的方程；
（2）求椭圆的方程.
16.在直角坐标系中，△ABC两个顶点C、A的坐标分别为、，三个内角A、B、C满足.
（1）求顶点B的轨迹方程；
（2）过顶点C作倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当时，求△APQ面积S(θ)的最大值.
17.如图,椭圆=1(a>b>0)的上顶点为A,左顶点为B F为右焦点,过F作平行于AB的直线交椭圆于C D两点,作平行四边形OCED,E恰在椭圆上
(1)求椭圆的离心率;
(2)若平行四边形OCED的面积为,求椭圆方程.
18.已知直线l: 6x-5y-28=0与椭圆c:(,且b为整数)交于M N两点,B为椭圆c短轴的上端点,若△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F.
(1)求椭圆c的方程;
(2)设椭圆c的左焦点为,问在椭圆c上是否存在一点P,使得,并证明你的结论.
19.已知直线y= -x +1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x - 2y=0上.
（1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2+ y2=4上，求此椭圆的方程.
2.5椭圆答案
例1：（1） (2) （3）（4） 变式1：D 变式2：A
例2：D 变式1：8 变式2：
例3： 2 变式1：C 变式2：C
例4： 变式1： 变式2．A
例5：D 变式1： 变式2：C
例6： 变式1： D 变式2：C
例7：D 变式1：B 变式2：A
例8：B 变式1：B 变式2．
巩固练习
1.C
2.C
3.C
4.C
5.C
6.A
7.A
8.20
9.
10.B
11.D
12.
13.12
14.
15.（1）（2）
16.（1）（2）2
17.（1）（2）
18.（1）（2）不存在
19.（1）（2）
4
5