2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.6双曲线及其方程讲义

2.6双曲线（新课）
知识梳理
定义及标准方程
定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于） 的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：
方程：（1）焦点在x轴上：
（2）焦点在y轴上：
简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
顶点
轴
离心率
渐近线
通径
a,b,c关系
典例解析
考点一：双曲线定义问题
例1．已知双曲线的方程是，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点是的中点，求的大小(为坐标原点)．
变式1：已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为________.
变式2：是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值
考点二：求双曲线方程
例2．已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8.求该双曲线的方程。
变式1：双曲线的一个焦点坐标为，经过点.求该双曲线方程
变式2：已知双曲线的两个焦点之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。
例3．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为10的双曲线的标准方程.
变式1：求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。
变式2：已知两焦点,该双曲线上的点满足，求该双曲线方程。
考点三：双曲线离心率相关问题
例4．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在轴，焦距为10，的双曲线的标准方程.
变式1：已知双曲线的离心率，过点A(0,-b)和B(,0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程.
变式2：设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为 ____
例5．双曲线的焦距为，直线过点和，且点到直线l的距离与点到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围．
变式1：已知别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程无实根，则双曲线离心率的取值范围是____
变式2．若直线y＝2x与双曲线 (a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1， ] D．[，＋∞)
考点四：双曲线渐近线问题
例6．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1：双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于____
变式2．设点F1，F2分别是双曲线C:的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线渐近线方程为（　　）
A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±
考点五：焦点三角形问题
例7．已知双曲线实轴长6，过左焦点的直线交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.
变式1：已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为__________
变式2：已知是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足，则______
考点六：双曲线综合问题
例8．讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
变式1.已知双曲线，直线l：，讨论直线与双曲线公共点个数。并思考交点位置的判断依据
变式2：若双曲线(m>0，n>0)和椭圆(a>b>0)有相同的焦点，为两曲线的交点，等于________．
例9.求直线被双曲线截得的弦长
变式1.求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
变式2.一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与轴交于点，且，求直线和双曲线方程.
巩固练习
1．焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A. B. C. D.
2．双曲线=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ 　）
A.2 　　　 B. 　 　C. 　　D.
3.双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4．过双曲线=1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PF1Q=90，则双曲线的离心率是（　 ）
A. 　　 　B.1+ 　 C.2+ 　　 D.
5. 已知双曲线(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x
6．与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点(-3,2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（　）.
A.8 　　 　B.4 　　　 　C.2 　 　 　D.1
7.已知双曲线的一条渐进线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知是双曲线： 上一点，是上两个焦点，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，O为坐标原点，则等于(　　)
A. 　　　 B.1 　 　C.2 　 　D.4
10.设θ∈(，π)，则关于x、y的方程 所表示的曲线是(　　)
A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆
11.已知方程表示双曲线，则k的取值范围是____
12．已知双曲线C：( ＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．
13．椭圆与双曲线焦点相同，则＝________.
14．双曲线以椭圆的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．
15．中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________．
过双曲线的左焦点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则离心率为 .
17. 设分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐进线的距离为，则双曲线的方程为 .
18. 设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
19.设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
20．设双曲线=1（）的半焦距为c，直线过，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c，求双曲线的离心率.
21．已知双曲线( ，)过点，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程．
22．已知双曲线的两个焦点分别为，点P在双曲线上且满足，求的面积.
23．如下图，已知F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．
2.6双曲线答案
典例解析
例1:1或9 变式1： 变式2：33
例2： 变式1： 变式2： 或
例3： 或 变式1： 变式2：
例4： 变式1 变式2：
例5： 变式1： 变式2 ．B
例6：B 变式1：4 变式2．D
例7:28 变式1： 变式2：
例8：（1） （2）（3）
变式1：（1） （2）（3）
变式2：
例9：
变式1：
变式2：
巩固练习：
1.B
2.C
3.D
4.B
5.B
6.C
7.A
8.A
9.D
10.C
11.
12.；
13.
14.
15.
16.2
17
18
19.
20.2
21.
22.1
23.2
1