2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.8直线与圆锥曲线的位置关系新课讲义

2.8直线与圆锥曲线的位置关系（新课）
典例解析
考点一：公共点问题
例1．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2．(2018·兰州一模)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
考点二：抛物线的标准方程
例2．已知椭圆，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（　　）
A．3 B．2 C． D．
变式1．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A． B．
C． D．
变式2．过点Q(4，1)作抛物线的弦AB，该弦恰被Q平分，则直线AB的方程为_____________．
考点三：弦长问题
例3．椭圆被直线截得的弦长为________.
变式1．已知直线与椭圆交于M，N两点，且，则_________.
变式2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A．2 B．2 C．2 D．2
考点四：线段长问题
例4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l 过点M(2，0)且与C交于A，B两点，，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝(　　)
A． B．2 C．4 D．6
变式1．如图，圆F：和抛物线，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
变式2．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
巩固练习
1．已知椭圆C: 及点B(0,a),过B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则∠ABF等于( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．已知抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于、两点,若为直角三角形,其中为直角顶点,则
A．6 B． C． D．
3．已知.则使成立的充要条件是（ ）.
A．. B．. C．. D．.
4．已知常数满足.设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知平面上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中；②；③；④是“单曲型直线”的是________.
6．如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．
7．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则_______．
8．设椭圆C：过点（0，4），离心率为.
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
9．已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
10．椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
11．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
求双曲线C的标准方程；
是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
12．已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为,
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求m的值.
13．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若AF＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB的长的最小值．
14．已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .
（1）求抛物线的方程;
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.
15．椭圆，过的直线交椭圆于A，B两点，点C在直线上，若为正三角形，求的面积.
28．圆上一点处的切线交抛物线于A，B两点，且满足，其中O为坐标原点，求．
2.8直线与圆锥曲线的位置关系答案
例1．C
变式1．C
变式2．A
例2．C
变式1．D
变式2．
例3．
变式1．
变式2．B
例4．C
变式1．A
变式2．10
巩固练习
1．B
2．D
3．A
4．C
5．①②
6．4
7．
8．（1）；（2）.
9．（1） （2）1或－1.
10．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定点满足题意.
11．（1）（2）直线l不存在．理由略
12．（1）（2）
13．（1） （3，2）或（3，－2） （2）4
14．（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.
15．
16．．
2
1