28.1（1） 锐角三角函数-正弦-九年级数学下册教学课件（人教版）(共21张PPT)

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第二十八章 锐角三角函数
§28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上建一座扬水站,对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚(∠A)为30 ,为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管
30°
情境导入
已知直角三角形的边长求正弦值
已知正弦值求直角三角形的边长
知识点
从上述情境中,你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
A
B
C
30°
35m

探究新知一
A
B
C
30°
35m
如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,BC=35m,求AB.
根据“在直角三角形中,30 角所对的边等于斜边的一半”.
即
可得AB=2BC=70(m).也就是说，
需要准备70m长的水管.
如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
探究新知一
归纳：在直角三角形中,如果一个锐角等于30 ,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于1 : 2.
Rt△ABC中,如果∠C=90 ,∠A= 45 ,那么BC:AB是一个定值吗？
因为∠A=45 ,则AC=BC,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2=2BC2.
所以
因此
探究新知一
归纳：在直角三角形中,如果一个锐角等于45 ,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于 .
A
B
C
当∠A是任意一个确定的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
任意画Rt△ABC和Rt△A B C ,使得∠C=∠C =90 ,∠A=∠A =α,，那么 与 有什么关系 你能解释一下吗
A
B
C
A
B
C
探究新知一
∵∠C=∠C =90 ,∠A=∠A =α,
∴Rt△ABC∽Rt△A B C .
∴
这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA即
正弦的几种表示方法：
①sinA；②sinα；③sin30
④sin∠1；⑤sin∠BAC；
⑥(sinA)2=sin2A
⑦2msinA (注意：顺序)
A
B
C
c
a
b
1
α
对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是∠A的函数.
注意:(1)sinA是一个比值 (2)sinA没有单位
(3)sinA不是一个角 (4)sinA不是sin与A的乘积
知识归纳一
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,求sinA 和sinB的值.
A
B
C
4
3
图(1)
A
B
C
13
5
图(2)
解：如图(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得：
如图(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得：
典型例题
当堂训练一
A
B
C
c
a
b
1
α
当∠A=30 时,sinA=sin30 =____.
当∠A=45 时,sinA=sin45 =____.
当∠A=60 时,sinA=sin60 =____.
sinα随α的增大而增大。
1.用“＞”“＜”“＝”填空：sin15 ____sin20 .
归纳：
＜
一、判断对错:
1.如图1(1)sinA= ( )(2)sinB= ( )
(3)sinA=0.6m( )(4)sinB=0.8 ( )
2.如图2,sinA= ( )
二、填空
1.如图2,则sinA=____.
2.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍,sinA( )
A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
√
√
×
×
×
1
2
A
B
C
3
7
30
C
A
10m
6m
B
C
当堂训练一
1.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB=____.
2.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=_____.
y
x
O
B
C
A
D
当堂训练一
已知直角三角形的边长求正弦值
已知正弦值求直角三角形的边长
知识点
【例2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90 , ,BC=3,
求sinB及Rt△ABC的面积.
A
B
C
典型例题二
解：∵ ∴
∴ AB = 3BC =3×3=9.
∴
∴
∴
1.在Rt△ABC中,∠C=90 ,sinA= ,BC=6,则AB的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.在△ABC中,∠C=90 ,如果sinA= ,AB=6,那么BC=___.
D
当堂训练二
2
3.在△ABC中,∠C=90 ,AC=24cm,sinA= ,求这个三角形的周长.
所以△ABC的周长为:AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).
当堂训练二
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
课堂小结
补 充 练 习
OPTION
基础练习
1.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则 sin∠OBD=______.
解析：连接CD,可得出∠OBD=∠OCD,根据点
D(0,3),C(4,0),得OD=3,OC=4,由勾股定理得出 CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD即可．
O
x
y
A
C
B
D
基础练习
2.如图,在△ABC中,AB=BC=5,sinA= ,求△ABC的面积.
D
5
5
C
B
A
解：作BD⊥AC于点D，
∵sinA= ，
∴
又∵△ABC为等腰三角形,BD⊥AC，
∴AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
基础练习
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB.
(1)sinB可以由哪两条线段之比表示
(2)若AC=5,CD=3,求sinB的值.
A
C
B
D
解：(1)∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90 ，
∴△ACD∽△ABC,∴∠ACD=∠B，
∴
(2)由题(1)知