24.2.1 点和圆的位置关系 同步导学案（含答案）

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第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
4.了解反证法的证明思想.
重点：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
难点：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
一、知识链接
1.一个点与一条直线有哪几种关系(画图说明)？
2.经过一点可以画多少条直线？经过两点可以画多少条直线？
二、要点探究
探究点1：点和圆的位置关系
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
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问题2 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？2-1-c-n-j-y
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要点归纳：设点P到圆心的距离OP=d，⊙O的半径为r，则有：
点P在⊙O内 d＜r；
点P在⊙O上 d＝r；
点P在⊙O外 d＞r；
练一练
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .21*cnjy*com
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在( )
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
(1) 以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
(2) 若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？(直接写出答案)【来源：21cnj*y.co*m】
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探究点2：三角形的外接圆及外心
问题1 如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
问题2 如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
要点归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
试一试 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
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要点归纳：1. 外接圆：⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
2.三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
判一判 下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆 ( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( )
画一画 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 21世纪教育网版权所有
试一试 某一个城市在一块空地新建 ( http: / / www.21cnjy.com )了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？21教育网
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例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
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探究点3：反证法
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
要点归纳：先假设命题的结论不成立，然后由此经 ( http: / / www.21cnjy.com )过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．www.21-cn-jy.com
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
三、课堂小结
点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 点在圆外 d＞r；点在圆上 d＝r；点在圆内 d＜r；
作圆 过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；过不在同一直线上的三个点确定一个圆.
反证法的一般步骤 ①假设命题的结论不成立②从这个假设出发，经过推理，得出矛盾③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
1.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为(3，4)， 则点P与⊙O的位置关系为 ( )
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点M
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3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A . 2·1·c·n·j·y
4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= .
5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是 ．
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6.判断：
(1) 经过三点一定可以作圆 ( )21·世纪*教育网
(2) 三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 ( )
(3) 三角形的外心到三边的距离相等 ( )
(4) 等腰三角形的外心一定在这个三角形内 ( )
7. 请将如图所示的破损的圆盘复原.
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8.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°，若 AC=12cm，BC=5cm，求△ABC的外接圆半径.
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拓展提升：一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准备安装几个 怎样安装 请说明理由.www-2-1-cnjy-com
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参考答案
自主学习
一、知识链接
1.如图，点与直线的位置关系有两种：点在直线上，点在直线外
2.经过一个点，可以画无数条直线，经过两点，有且只能画一条直线.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：点和圆的位置关系
问题1.如图，点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
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问题2
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d＜r d=r d＞r
练一练：1.圆内 圆上 圆外 2.D
典例精析
例1 解：（1）AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3r，故C点在⊙A外.
（2）3探究点2：三角形的外接圆及外心
问题1：以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
问题2：作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.21cnjy.com
问题3：能，经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.（其中A，B，C不在同一直线上）【来源：21·世纪·教育·网】
试一试
解：如图所示.
判一判 （1）√ （2）× （3）× （4）√
画一画
解：如图所示
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锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
试一试
如图，连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，其交点即为建立中学的位置.
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例2 解：连接OB，过点O作OD⊥BC.则OD＝5cm，BD=BC=12cm.
在Rt△OBD中,OB==13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm.
探究点3：反证法
思考：
如图，假设过同一条直线l上三点A ( http: / / www.21cnjy.com )、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．21·cn·jy·com
例3 解：已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个内角小于或等于60°，则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.即三角形的内角和为180°.这与∠A+∠B【出处：21教育名师】
+∠C>180°矛盾．假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.　　　　　　　
当堂检测
1.B 2.B 3.上 外 上 4.5 5.70°
6.（1）× （2）√ （3）× （4）×
7.解：方法:1．在圆弧上任取三点A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C；2．作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；3．以点O为圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求．【版权所有：21教育】
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8.解：设Rt△ABC 的外接圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.∴O是斜边AB 的中点.∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm.∴AB=13cm，OA=6.5cm.故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.21教育名师原创作品
拓展提升
如图，安装两个，将大矩形平分成两个长为8，宽为6的矩形，在两个小矩形的对角线的交点位置安装自动喷水装置即可.21*cnjy*com
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课堂探究
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