河北省衡水市桃城区第十四中学2021-2022学年高二上学期一调考试数学试题（Word版含答案）

衡水市第十四中学2021~2022学年度第一学期高二年级一调考试
数 学 试 卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分分，考试时间分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
1. 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置。
1.已知是虚数单位，则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，那么的值为（ ）
A. －4 B. －2 C. 2 D. －8
3. 从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个不同的数，那么“这3个数和不大于8”这一事件包含的样本点的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.已知四面体，是的重心，且，若，则 为（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若，则的余弦值为（ ） A． B． C． D．
6.以为圆心，且与两条直线，都相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.已知正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，下列不正确的是（ ）
A. 平面分正方体所得两部分的体积相等； B. 平面与平面不可能垂直；
C. 四边形一定是平行四边形； D. 四边形的面积有最大值.
8.过点的直线将圆形区域分为两部分，其面积分别为，当最大时，直线的方程是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置。
9.有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同
10.已知圆的方程为，若y轴上存在一点，使得以为圆心、半径为3的圆与圆有公共点，则的纵坐标可以是（ ）
A．1 B．–2 C．5 D．-7
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是　　
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．离心率为 D．的最小值为3
12.如上图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且则下列结论不正确的是：
A. B.当时，与相交；
C.始终与平面平行 D.异面直线与所成的角为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
3．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。
13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________．
14.直线，，若则a= ；
15.2021年河北新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．
16.已知向量=(a，b，0)，=(c，d，1)，其中a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题：
①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)；②的最大值为；
③(的夹角)的最大值为；
④若定义，则的最大值为.其中正确的命题的序号是______.
四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本题10分）
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[80，200），[20020），
[22，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）在月平均用电量为[240，260），[260，280），[280，300的三组用户中，用分层抽样的方法抽取
6户居民，则月平均用电量在[260，280）的用户中应抽取多少户？若从这6户居民中选取两名代表参加下一步的调查活动，则这两人都来自[240，260）的概率为多少？
18.（本题12分）
如图所示，三棱柱中，、分别是、上的点，且，。设，，。
（1）试用、、表示向量；
（2）若，，
，求的长。
19.（本题12分）
已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且．
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程．
20.（本题12分）
设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为：，点A为椭圆在x轴正半轴上的顶点，过点A作，垂足为M，点B在椭圆上（不同于点A）且满足：，求直线l的斜率k.
21.（本题12分）
如图所示，已知三棱锥中，为等边三角形，且，平面平面，其中为中点，为中点，为上靠近的三等分点，设平面与平面的交线为。
（1）证明：直线平面；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的余弦值。
22.（本题12分）
如图，圆，点为直线上一动点，
过点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）若，求切线所在直线方程；
（2）求的最小值；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．
（答案）
1.C
2.D
3.A
4.A
5.D
6.C
7.B
8.A
9.CD
10.AB
11.ABD
12.ABD
13.
14.-1或2
15.
16.①③④
17.【解析】：（1）由频率分布直方图得：
（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解得x＝0.0075． 3分
（2）在月平均用电量为[240，260），[260，280），[280，300）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，
则从月平均用电量为[260，280）的用户中抽取6×＝2户， 5分
从月平均用电量为[240，260）的用户中抽取6×＝3户，
从月平均用电量为[280，300）的用户中抽取6×＝1户， 7分
从这6户居民中选取两名代表参加下一步的调查活动，基本事件总数n＝15， 8分
这两人都来自[240，260）包含的基本事件个数m＝3， 9分
∴这两人都来自[240，260）的概率为P＝＝＝ 10分
18.【解析】（1） 2分
； 5分
（2） 7分
， 9分
即， 11分
∴。 12分
19.【解析】（1）∵l1⊥l2，∴2． 2分
∴直线l2的方程为：y﹣0＝2（x），化为：y＝2x﹣3． 4分
联立，解得．
∴直线l1和l2的交点坐标为（2，1）． 6分
（2）当直线l3经过原点时，可得方程：yx． 8分
当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，
其方程为：1，把交点坐标（2，1）代入可得：1，解得a． 10分
可得方程：2x+y＝5． 11分
综上可得直线l3的方程为：x﹣2y＝0，2x+y﹣5＝0． 12分
20.【解析】（1）设椭圆的方程为且，
∵，在椭圆上，
∴，解之.则椭圆的方程为； 4分
（2）椭圆的右顶点A为，由题可知0，直线，
则直线AB的方程为， 5分
由可知， 7分
由得，则， 9分
∵，∴，即，10分
∵，∴， 11分
∴. 12分
21.【解析】（1）证明：设上靠近的三等分点为，连、，
∵为上靠近的三等分点，∴，
又∵为中点，为中点，∴，
∴，∴、、、共面，∴平面，
又∵平面，∴为平面与平面的交线， 3分
∴即为直线，又∵平面，平面，
∴直线平面； 4分
（2）连接，∵，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又为等边三角形，∴， 6分
∴以为原点，分别以MC,MD,MA所在直线为x,y,z轴建系如图，
设，∵，∴，
∴、、、、，
则，,
8分
设平面的法向量为，则，即，
∴，设，则，故， 10分
设直线与平面所成角的平面角为锐角，
则， 11分
∴，
∴直线与平面所成角的余弦值为。 12分
22.【解析】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得或，
故所求切线方程为，； 3分
（2）连接交于点，
设，则，
在中， ，
∵，∴，∴，∴； 6分
（3）设切线方程为，即，的斜率为，
故圆心到切线的距离，得， 8分
∴， ， 9分
在切线方程中令可得，
故， 11分
∴，此时，故的最小值为． 12分