2.2基本不等式(共19张PPT)

(共19张PPT)
2.2 基本不等式
学习目标
1.通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明，并会应用几何语言进行解释
2.能够运用基本不等式来求代数式的最值
重要不等式：a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
创设情境
如果a＞0，b＞0，用 代替a，b，得到：
当且仅当a＝b时取等号．
几何平均数
算术平均数
基本不等式
证明：要证明 ，
只需证明 ，
所以原不等式成立．
只需证 ，
只要证
而 显然成立．
过程：执果索因
分析法
新知探究
解：半径OD为 ，
可得弦DE长的一半CD为 ，
由CD≤OD，得到
几何解释：半径不小于半弦
新知探究
问题1　如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
解：因为x＞0，所以 ，
即x2＝1，x＝1时，等号成立．
因此最小值为2．
当且仅当 时，
新知探究
例1　已知x＞0，求 的最小值．
目标检测
（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值为 ，这时 ．
（1）已知x＞0，求 的最小值及相应的x值．
2
解： （1） ∵x＞0，∴ ，
目标检测
由
当且仅当1－x＝x，即 时取等号．
（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．
（1）已知x＞0，求 的最小值及相应的x值．
2
解： （2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 ．
证明：因为x，y是正数，所以 ．
当且仅当x＝y时等号成立，
（1）当积为定值P时，　　　　　 ，
于是，当x＝y时，x＋y有最小值　　 ．
新知探究
例2　已知x，y都是正数，求证：
证明：因为x，y是正数，所以 ．
当且仅当x＝y时等号成立，
（2）当和为定值S时，　　　　，
于是，当x＝y时， xy有最大值 　　．
新知探究
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 ．
例2　已知x，y都是正数，求证：
归纳小结
（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上进行解释？
（3）基本不等式可以解决哪两类数学问题？使用的条件是什么？应注意什么？
问题2　（1）什么是基本不等式？如何推导基本不等式？
作业：习题2.2第1，2，4，5题．
作业布置
目标检测
只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．
即　　　　　　　　 ，
即 ，
即需证 ，
而 显然成立，
已知a，b∈R，求证
1
证明：要证明 　　　　　　，只需证明 　　　　　　　　，
目标检测
（1） ； （2） ．
又由于x≠y，所以等号取不到．
∴ ，
∴ ．
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
3
证明：（1）∵x，y都是正数，
目标检测
又由于x≠y，所以等号取不到．
∴ ，
∴ ．
两边同乘 ，得 ．
（1） ； （2） ．
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
3
证明：（2）∵x，y都是正数，
目标检测
当两条直角边的长度各为10 cm时，
两条直角边的和最小，最小值为20．
则由已知得 ＝50，即ab＝100，
∵ ，当且仅当a＝b＝10时取等号．
已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
4
解：设直角三角形两边为a，b ，
1
变式：（1）已知x≥2，求 的最小值；
（2） 有最小值吗？为什么？
新知探究
反思：结合函数的图象及例1的解答，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？
x
y
O
总结：1．若代数式能转化为两个正数积为定值，可以利用基本不等式求和的最小值；
2．若代数式能转化为两个正数和为定值，可以利用基本不等式求积的最大值．
新知探究
反思：结合函数的图象及例1的解答，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？
x
y
O
注意：在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件．
新知探究