14.1.1 直角三角形三边的关系(1)
文档属性
| 名称 | 14.1.1 直角三角形三边的关系(1) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 58.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-08-09 19:35:18 | ||
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文档简介
第14章 勾股定理
单元要点分析
教材内容
勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面．
本单元通过数据格子的办法发现直角三角形的三边间的数量关系，得到了“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”这个著名的勾股定理，又利用拼图的方法论证勾股定理的合理性．书中介绍了古埃及人做直角的方法，通过学生动手制作，利用勾股数为边的三角形，通过量角器发现所得的三角形是直角三角形，从而推出“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2时，那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在使用勾股定理时，应强调直角的前提并分清斜边和直角边，千万不能变成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”在使用勾股定理时，只要三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形，而不应为三角形只有三边具有勾股数，才是直角三角形．因为勾股数只局限于正整数，在信息闭塞的几千年前人们在人同的地方都发现勾股定理，这就是人们想通过勾股定理与外星人沟通的理由．
数学目标（三维目标）
知民技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；掌握制定一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题．
过程与方法：经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
情感态度与价值观：通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值．
教学重点
本单元教学重点是掌握勾股定理及其逆定理的应用．
教学难点
本单元教学难点是对勾股定理及其逆定理的认识．
教学关键
本单元为了使学生更好地认识勾股定理，采用了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理，再利用拼图方法验证勾股定理的内容．
课时划分
直角三角形三边的关系 2课时
直角三角形的判定 1课时
勾股定理的应用 2课时
小结与复习 1课时
14.1.1 直角三角形三边的关系（1）
教学目标
知识与技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．
过程与方法：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力．
情感态度与价值观：培养合作、探索的意识，体会数形结合的思想，以及识图能力．
重点、难点、关键
重点：了解勾股定理的由来，并应用勾股定理解决一些简单问题．
难点：对勾股定理的认识．
关键：让学生经历观察、归纳、猜想和验证勾股定理，再将a2、b2、c2与正方形面积联系起来，通过比较得到勾股定理．
教学准备
教师准备：投影仪、补充资料、直尺、圆规．
学生准备：两块直角三角尺，其中如下图1的直角三角形带4块来．
图1
教学过程
一、创设情境
1．教师叙述：人类一直想要弄清其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理．
教师边叙述边利用投影仪，展示有关勾股定理的图片．其中重点说明“希腊发行的一枚纪念邮票”．
投影显示问题情境：这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票（如图2所示），请你观察这枚邮票图案小方格的个数，你发现了什么？
( http: / / )
图2 图3 图4
学生活动：观察邮票，在教师的引导下发现最大的正方形面积是两个中、小正方形面积的和，即32+42=52，同时发现中间的直角三角形两直角边分别3和4，斜边是5．
继续探究．
投影显示下图：图3和图4．
教师提出问题：
（1）观察图3，正方形A中含有____个小方格，即A的面积是____个单位面积；
正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是______个单位面积；
正方形C中含有_____个小方格，即C的面积是______个单位面积．
你是怎样得到上面的结果呢？
学生活动：小组合作讨论，然后交流答案．在图3中，A有9个小方格，所以A面积是9个单位面积，B有9个小方格，所以B面积是9个单位面积，C有18个小方格，所以C面积是18个单位面积．
教师提出问题：
（2）在图4中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你发现图3中三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系呢？图4中的呢？
学生活动：小组合作讨论，然后回答问题．解决（2）的方法和（1）类似，解决（3）的问题中可以发现：两块小正方形面积和等于大正方形面积．
2．试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺 直角边a 直角边b 斜边c 关系
1
2
请你根据已经得到的数据，猜想三边的长度a、b、c之间的关系．
学生活动：小组合作交流，动手测量，从中发现a2+b2=c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方．
二、特殊→一般
问题提出．
教师提问：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？即任作Rt△ABC，∠=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如图5，那么，也就是说a2+b2=c2．
( http: / / )
图5 图6
学生活动：拿出准备好的学具：4块大小相同的任意直角三角形，小组合作，讨论，寻求答案．
分析与点拨：
如图6（甲）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到正方形I3，并且I3的边长等于Rt△ABC的斜边C．
又如图6（乙）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到边长分别为a，b的两个正方形I1，I2．
图14-1-6（甲）与图14-1-6（乙）中的两个大正方形的边长都是a+b，所以它们的面积相等，即c2+4·ab=a2+b2+4·ab
a2+b2=c2
师生共识：
勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方．
a2+b2=c2
评析：勾股定理的证明据不完全统计已有400余种证明方法，教学中可以先让学生查阅大量资料，了解勾股定理的背景及其证明，然后在教学时进行交流讨论．
三、阅读与思考
1．阅读课本P48～50内容．
2．思考下列问题．
投影显示：如图7所示，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13厘米，BC=10厘米．
（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？
（2）△ABC的面积是多少呢？
( http: / / )
图7 图8
教师活动：操作投影仪，引导学生思考问题，关注“学困生”．
学生活动：小组合作，讨论，应用所学知识解决问题，然后上讲台演示．
答案：（1）12厘米 （2）60平方厘米．
四、范例学习
例1 如图8所示，将长为5．41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB．（精确到0.01米）
思路点拨：本题是勾股定理的应用，关键是确定好Rt△ABC，AB、BC是两条直角边，AC是斜边，然后根据勾股定理可得AB=≈4.96（米），应该注意的是，斜边的平方减去其中一条直角边的平方的开平方运算问题．
教师活动：板演例1，对书写表达格式进行要求．
学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的实际应用．
媒体使用：投影显示例1．
五、随堂练习
1．课本P51练习第1，2题．
2．补充题：分别以图9（a）的直角三角形三边长为边作正方形，得到图9（b），那么这三个正方形的面积有什么关系呢？
( http: / / )
图9
六、课堂总结
1．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；
2．勾股定理应用提示：
（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时，必须分清斜边、直角边，然后再使用；若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解．
（2）勾股定理将“形”转化为“数”，而这对于实际问题的解决起着积极的作用．
3．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系；
（4）作长为的线段．
七、布置作业
1．课本P54习题14．1第1，2，3题．
2．选用课时作业设计．
八、课后反思（略）．
第一课时作业设计
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．
（1）若a=8，b=15，则c=________．
（2）c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．
（3）若a=b，c2=m，则a2=________．
（4）若c=61，a=60，则b=________．
2．请写出满足勾股定理：a2+b2=c2的三组数组________．
3．要登上12m高的建筑物，为安全起见，需使梯子的底端离建筑物5m，至少需要_______m长的梯子．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=_______．
5．等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC=16cm，则底边上的高为______．面积为____．
6．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=4，BC=6，则以DC为边的正方形面积为_______．
7．在△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c=_______．
8．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．
二、判断
9．若a，b，c是△ABC的三边，则a2+b2=c2．（ ）
10．若a，b，c是直角△ABC的三边，则a2+b2=c2．（ ）
11．若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长为2cm．（ ）
三、选择题
12．下列几组数中，能满足勾股定理的是（ ）．
A．3，4，6 B．4，5，6 C．6，7，8 D．9，40，41
13．直角三角形两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．8cm C．cm
14．正方形的对角线长10m，正方形的面积是（ ）m2．
A．100 B．75 C．50 D．25
四、解答题
15．如图所示，在△ABC中，AB=20cm，AC=13cm，BC边上的高AD=12cm，求BC的长．
16．如图所示，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？
( http: / / )
17．已知△ABC为直角三角形（如图所示），且∠B=90°，D、E分别在BC和AB上，AD2+CE2=AC2+DE2吗？为什么？
18．某车间的人字形层架（如图所示）为等腰三角形ABC，跨度AB=24m，上弦AC=13m，求中柱CD（D为底AB的中点）．
答案:
一、1．（1）17 （2）6 8 （3） （4）11
2．8，15，17或3，4，5或5，12，13 3．13 4．13cm
5．6m 48cm2 7．13 8．6 8 10
二、9．× 10．× 11．∨
三、12．D 13．D 14．D
四、15．在Rt△ABC中，由勾股定理得BD=16cm，
同理CD=5cm，则BC=BD+DC=21cm．
16．设AE=xkm，由勾股定理得AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=CE2，
又DE=CE，所以AE2+AD2=BE2+BC2，即x2+152=（25-x）2+102，
解得x=10，故E站应建在距A站10km处．
17．提示：运用勾股定理列等式，再进行恒等变形
18．CD=5.
单元要点分析
教材内容
勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面．
本单元通过数据格子的办法发现直角三角形的三边间的数量关系，得到了“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”这个著名的勾股定理，又利用拼图的方法论证勾股定理的合理性．书中介绍了古埃及人做直角的方法，通过学生动手制作，利用勾股数为边的三角形，通过量角器发现所得的三角形是直角三角形，从而推出“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2时，那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在使用勾股定理时，应强调直角的前提并分清斜边和直角边，千万不能变成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”在使用勾股定理时，只要三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形，而不应为三角形只有三边具有勾股数，才是直角三角形．因为勾股数只局限于正整数，在信息闭塞的几千年前人们在人同的地方都发现勾股定理，这就是人们想通过勾股定理与外星人沟通的理由．
数学目标（三维目标）
知民技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；掌握制定一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题．
过程与方法：经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
情感态度与价值观：通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值．
教学重点
本单元教学重点是掌握勾股定理及其逆定理的应用．
教学难点
本单元教学难点是对勾股定理及其逆定理的认识．
教学关键
本单元为了使学生更好地认识勾股定理，采用了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理，再利用拼图方法验证勾股定理的内容．
课时划分
直角三角形三边的关系 2课时
直角三角形的判定 1课时
勾股定理的应用 2课时
小结与复习 1课时
14.1.1 直角三角形三边的关系（1）
教学目标
知识与技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．
过程与方法：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力．
情感态度与价值观：培养合作、探索的意识，体会数形结合的思想，以及识图能力．
重点、难点、关键
重点：了解勾股定理的由来，并应用勾股定理解决一些简单问题．
难点：对勾股定理的认识．
关键：让学生经历观察、归纳、猜想和验证勾股定理，再将a2、b2、c2与正方形面积联系起来，通过比较得到勾股定理．
教学准备
教师准备：投影仪、补充资料、直尺、圆规．
学生准备：两块直角三角尺，其中如下图1的直角三角形带4块来．
图1
教学过程
一、创设情境
1．教师叙述：人类一直想要弄清其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理．
教师边叙述边利用投影仪，展示有关勾股定理的图片．其中重点说明“希腊发行的一枚纪念邮票”．
投影显示问题情境：这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票（如图2所示），请你观察这枚邮票图案小方格的个数，你发现了什么？
( http: / / )
图2 图3 图4
学生活动：观察邮票，在教师的引导下发现最大的正方形面积是两个中、小正方形面积的和，即32+42=52，同时发现中间的直角三角形两直角边分别3和4，斜边是5．
继续探究．
投影显示下图：图3和图4．
教师提出问题：
（1）观察图3，正方形A中含有____个小方格，即A的面积是____个单位面积；
正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是______个单位面积；
正方形C中含有_____个小方格，即C的面积是______个单位面积．
你是怎样得到上面的结果呢？
学生活动：小组合作讨论，然后交流答案．在图3中，A有9个小方格，所以A面积是9个单位面积，B有9个小方格，所以B面积是9个单位面积，C有18个小方格，所以C面积是18个单位面积．
教师提出问题：
（2）在图4中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你发现图3中三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系呢？图4中的呢？
学生活动：小组合作讨论，然后回答问题．解决（2）的方法和（1）类似，解决（3）的问题中可以发现：两块小正方形面积和等于大正方形面积．
2．试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺 直角边a 直角边b 斜边c 关系
1
2
请你根据已经得到的数据，猜想三边的长度a、b、c之间的关系．
学生活动：小组合作交流，动手测量，从中发现a2+b2=c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方．
二、特殊→一般
问题提出．
教师提问：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？即任作Rt△ABC，∠=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如图5，那么，也就是说a2+b2=c2．
( http: / / )
图5 图6
学生活动：拿出准备好的学具：4块大小相同的任意直角三角形，小组合作，讨论，寻求答案．
分析与点拨：
如图6（甲）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到正方形I3，并且I3的边长等于Rt△ABC的斜边C．
又如图6（乙）那样，将四个与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b的正方形内，得到边长分别为a，b的两个正方形I1，I2．
图14-1-6（甲）与图14-1-6（乙）中的两个大正方形的边长都是a+b，所以它们的面积相等，即c2+4·ab=a2+b2+4·ab
a2+b2=c2
师生共识：
勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方．
a2+b2=c2
评析：勾股定理的证明据不完全统计已有400余种证明方法，教学中可以先让学生查阅大量资料，了解勾股定理的背景及其证明，然后在教学时进行交流讨论．
三、阅读与思考
1．阅读课本P48～50内容．
2．思考下列问题．
投影显示：如图7所示，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13厘米，BC=10厘米．
（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？
（2）△ABC的面积是多少呢？
( http: / / )
图7 图8
教师活动：操作投影仪，引导学生思考问题，关注“学困生”．
学生活动：小组合作，讨论，应用所学知识解决问题，然后上讲台演示．
答案：（1）12厘米 （2）60平方厘米．
四、范例学习
例1 如图8所示，将长为5．41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB．（精确到0.01米）
思路点拨：本题是勾股定理的应用，关键是确定好Rt△ABC，AB、BC是两条直角边，AC是斜边，然后根据勾股定理可得AB=≈4.96（米），应该注意的是，斜边的平方减去其中一条直角边的平方的开平方运算问题．
教师活动：板演例1，对书写表达格式进行要求．
学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的实际应用．
媒体使用：投影显示例1．
五、随堂练习
1．课本P51练习第1，2题．
2．补充题：分别以图9（a）的直角三角形三边长为边作正方形，得到图9（b），那么这三个正方形的面积有什么关系呢？
( http: / / )
图9
六、课堂总结
1．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；
2．勾股定理应用提示：
（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时，必须分清斜边、直角边，然后再使用；若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解．
（2）勾股定理将“形”转化为“数”，而这对于实际问题的解决起着积极的作用．
3．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系；
（4）作长为的线段．
七、布置作业
1．课本P54习题14．1第1，2，3题．
2．选用课时作业设计．
八、课后反思（略）．
第一课时作业设计
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．
（1）若a=8，b=15，则c=________．
（2）c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．
（3）若a=b，c2=m，则a2=________．
（4）若c=61，a=60，则b=________．
2．请写出满足勾股定理：a2+b2=c2的三组数组________．
3．要登上12m高的建筑物，为安全起见，需使梯子的底端离建筑物5m，至少需要_______m长的梯子．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=_______．
5．等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC=16cm，则底边上的高为______．面积为____．
6．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=4，BC=6，则以DC为边的正方形面积为_______．
7．在△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c=_______．
8．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．
二、判断
9．若a，b，c是△ABC的三边，则a2+b2=c2．（ ）
10．若a，b，c是直角△ABC的三边，则a2+b2=c2．（ ）
11．若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长为2cm．（ ）
三、选择题
12．下列几组数中，能满足勾股定理的是（ ）．
A．3，4，6 B．4，5，6 C．6，7，8 D．9，40，41
13．直角三角形两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．8cm C．cm
14．正方形的对角线长10m，正方形的面积是（ ）m2．
A．100 B．75 C．50 D．25
四、解答题
15．如图所示，在△ABC中，AB=20cm，AC=13cm，BC边上的高AD=12cm，求BC的长．
16．如图所示，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？
( http: / / )
17．已知△ABC为直角三角形（如图所示），且∠B=90°，D、E分别在BC和AB上，AD2+CE2=AC2+DE2吗？为什么？
18．某车间的人字形层架（如图所示）为等腰三角形ABC，跨度AB=24m，上弦AC=13m，求中柱CD（D为底AB的中点）．
答案:
一、1．（1）17 （2）6 8 （3） （4）11
2．8，15，17或3，4，5或5，12，13 3．13 4．13cm
5．6m 48cm2 7．13 8．6 8 10
二、9．× 10．× 11．∨
三、12．D 13．D 14．D
四、15．在Rt△ABC中，由勾股定理得BD=16cm，
同理CD=5cm，则BC=BD+DC=21cm．
16．设AE=xkm，由勾股定理得AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=CE2，
又DE=CE，所以AE2+AD2=BE2+BC2，即x2+152=（25-x）2+102，
解得x=10，故E站应建在距A站10km处．
17．提示：运用勾股定理列等式，再进行恒等变形
18．CD=5.