2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共23张PPT)

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名称 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共23张PPT)
格式 pptx
文件大小 852.8KB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2021-10-11 20:11:19

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文档简介

(共23张PPT)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
第二章
一元二次方程
2021-2022学年九年级数学上册同步(北师版)
1.了解一元二次方程根与系数的关系;
2.利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题;
3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程,体会从特殊到一般的思想;
学习目标
 
1.一元二次方程的一般形式是什么?
3.一元二次方程的根的情况怎样确定?
2.一元二次方程的求根公式是什么?
导入新课
探索一元二次方程的根与系数的关系
1.解下列方程:
(1) x2-2x+1=0;
(3) 2x2 - 3x + 1 = 0
因式分解
配方法
公式法
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2
x2 - 2x + 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0
1
1
2
-1
-1
1
探究新知
思考:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,那么,你可以发现什么结论?
思考:对于任何一个一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)都成立吗?
探究新知
证明:已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,则
探究新知
证明:已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,则
探究新知
一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理)
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2,那么
注意
1.满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
归纳总结
2.注意符号问题
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1:利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2 + 7x + 6 = 0;
解:这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
探究新知
(2)2x2 -3x -2 = 0.
解:这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = (- 3)2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
例1:利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.
探究新知
例2:已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
解:设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2,
其中x1=2 .
∴ x1 · x2=2x2=
即:x2=
由于x1+x2=2+ =
得:k=-7.
答:方程的另一个根是 ,k=-7.
探究新知
例3:已知x1,x2是方程x2-4x+1=0的两根,
(1)求x12+x22的值
(2)求(x1-x2)2的值
解: 由题意,得
x1 + x2= 4 ,x1·x2=1
∴ x12+x22 = (x1+x2 )2- 2 x1x2 = 16 - 2×1 =14
∴ (x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2 = 16 - 4×1 =12
探究新知
总结常见的求值:
(2) (x1-x2)2
(3) (x1+1) (x2+1)
=x1x2+(x1+x2 )+1
= (x1+x2 )2-4x1x2
(1) x12 + x22
= (x1+x2 )2-2x1x2
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
归纳总结
两根均为负的条件: x1+x2 ,且x1x2 .
两根均为正的条件: x1+x2 ,且x1x2 .
两根一正一负的条件:x1x2 .
当然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件:
b2-4ac≥0
规律补充
<0
>0
>0
>0
<0
课堂练习
1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A. -10 B. 10 C. -16 D. 16
A
2. 已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba的值是( )
A. 1/4 B. -1/4 C. 4 D. -1
A
 
3.不解方程,求方程两根的和与两根的积:
(1)x2 + 3x -1= 0; (2)2x2 - 4x + 1 = 0.
解:(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1.
Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .
(2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1.
Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .
课堂练习
 
4.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值.
解:将x = 1代入方程中: 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则:
1 × x1 =
∴x1 =
课堂练习
 
5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得:
(1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
(2)
课堂练习
6. 当k为何值时,方程2x2-kx+1=0的两根差为1。
解:设方程两根分别为x1,x2(x1>x2),则x1-x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
拓展提升
由根与系数的关系,得
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解:(1)方程有实数根
∴m的取值范围为m>0
(2)∵方程有实数根x1,x2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
解得m=8.
经检验m=8是原方程的解.
课堂练习
课堂小结
一元二次方程的
根与系数的关系
如果方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)
有两个实数根x1,x2,那么x1 + x2
= ,x1 x2 =
关系
应用
1.应用利用根与系数的关系求代数式的值.
2.已知方程一根,利用根与系数的关系求方
程的另一根或字母系数的值.
3.判别式及根与系数的关系的综合应用.
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